Definizione 16.4
Sia
un prodotto scalare e sia
un sottospazio vettoriale di
. Un complemento ortogonale di
rispetto a
indicato con
è l'insieme dei
tali che
per ogni
.
Il complemento ortogonale è un sottospazio vettoriale.
Ci si chiede quale sia la dimensione del complemento ortogonale.
Sia
lo spazio nullo, cioè

Allora

e coincide con

.
Allora non è vero che la dimensione del complemento ortogonale di
è la differenza delle dimensioni di
e di
.
Se
è non nullo e prendiamo un vettore di
tale che
, allora
ha dimensione
perché
è somma diretta dello span di
e del complemento dello span, anche se
è non degenere.
Teorema 16.6
Se
è non degenere e
ha dimensione finita
, allora per ogni spazio vettoriale
di
si ha che
.