Complemento ortogonale

Definizione 16.4

Sia $\phi :V\times V\to K$$\phi :V\times V\to K$ un prodotto scalare e sia $W$$W$ un sottospazio vettoriale di $V$$V$. Un complemento ortogonale di $W$$W$ rispetto a $\phi$$\phi$ indicato con $(W\perp )_{\phi }$$(W\perp )_{\phi }$ è l'insieme dei $v\in V$$v \in V$ tali che $\phi (w,v)=0$$\phi (w,v)=0$ per ogni $w\in W$$w\in W$.

 

Il complemento ortogonale è un sottospazio vettoriale.

Dimensione del complemento ortogonale

Ci si chiede quale sia la dimensione del complemento ortogonale.

Sia $W$$W$ lo spazio nullo, cioè

$$W=\{v'\,t.c.\,\phi (v,v')=0\forall v\in V\}.$$

$$W=\{v'\,t.c.\,\phi (v,v')=0\forall v\in V\}.$$

Allora $W^{\perp }=\{v\in V\,t.c.\phi (v,v')=0,\forall v'\in W\}$$W^{\perp }=\{v\in V\,t.c.\phi (v,v')=0,\forall v'\in W\}$ e coincide con $V$$V$.

Allora non è vero che la dimensione del complemento ortogonale di $W$$W$ è la differenza delle dimensioni di $V$$V$ e di $W$$W$.

Se $\phi :V\times V\to \mathbb {R}$$\phi :V\times V\to \mathbb {R}$ è non nullo e prendiamo un vettore di $V$$V$ tale che $\phi (v,v)\neq 0$$\phi (v,v)\neq 0$, allora ${\rm {{span}\{v\}^{\perp }}}$${\rm {{span}\{v\}^{\perp }}}$ ha dimensione $\mathrm {dim} V-1$$\mathrm {dim} V-1$ perché $V$$V$ è somma diretta dello span di $V$$V$ e del complemento dello span, anche se $\phi$$\phi$ è non degenere.

Teorema 16.6

Se $\phi$$\phi$ è non degenere e $V$$V$ ha dimensione finita $d$$d$, allora per ogni spazio vettoriale $W$$W$ di $V$$V$ si ha che $\mathrm {dim} W^{\perp }=\mathrm {dim} V-\mathrm {dim} W$$\mathrm {dim} W^{\perp }=\mathrm {dim} V-\mathrm {dim} W$.