Introduzione

Applicazioni lineari[modifica | modifica wikitesto]

Sia uno spazio vettoriale sul campo . Sia un'applicazione lineare e supponiamo di avere una base di con la proprietà che la matrice che rappresenta rispetto a questa base è una matrice diagonale.

Siano , per le entrate diagonali di .

Quindi

Se allora

Allora se e solo se e quindi se e solo se , quindi se e solo se appartiene allo span dei tali per cui (e quindi gli unici che contribuiscono alla combinazione lineare sono quelli con perché per gli altri ).

Il nucleo di è lo span dei vettori con

Invece , è lo span di e quindi lo span di .

Quindi è lo span dei tali che .


Esercizio 17.1

Se considero la matrice in tale che , allora . Invece .

 

Sotto le ipotesi diagonale si ricava che è la somma diretta di nucleo e immagine.

Questo non vale in generale.

Il fatto che i due spazi sono in somma diretta non vale per ogni applicazione lineare, ma solo nelle ipotesi precedenti. Se infatti considero con

allora l'immagine di è lo span dei vettori corrispondenti ai gradini, e quindi è . Anche il ker è lo span di , quindi non può essere somma diretta di questi due sottospazi.

Non esiste invertibile tale che è diagonale.

Le applicazioni lineari rappresentabili in qualche base da matrici diagonali sono particolarmente semplici da esaminare.

Prodotti scalari[modifica | modifica wikitesto]

Un discorso analogo vale per i prodotti scalari. Sia un prodotto scalare e sia una base ortogonale per allora la matrice del prodotto scalare nella base ha entrate e lo spazio nullo è lo span dei tali che .

C'è una differenza tra prodotti scalari e applicazioni lineari. Qualsiasi prodotto scalare ammette una base ortogonale e quindi si può sempre trovare una base ortogonale per cui il prodotto può essere rappresentato da una matrice diagonale. Questo non vale sempre per le applicazioni.

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