Concetti principali

Autovalori[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 17.1

Sia uno spazio vettoriale su . Sia lineare. Un autovalore di è uno scalare tale che esiste un vettore con per il quale .

 

è un autovalore di se e solo se esiste non nullo, con e quindi se e solo se esiste con , quindi se e solo se

Autovettori[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 17.2

Sia lineare e sia un autovalore di . Un autovettore di relativo all'autovalore è un vettore con tale che , ossia privato del vettore nullo.

 


Osservazione 17.1

Se è una base di e la matrice di è la matrice diagonale con entrate , allora , e essendo elementi di una base, allora sono autovalori di e per ogni j è autovettore di relativo a .

 
Esempio 17.1

Se prendo con righe

allora
cioè 0 è autovalore di e è autovettore di relativo all'autovalore 0.

 

Applicazione diagonalizzabile[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 17.3

Sia lineare e sia finitodimensionale. Diremo che è diagonalizzabile se e solo se esiste una base di composta da autovettori di .

 
Osservazione 17.2

Se , è autovettore di f, allora lo è rispetto a un unico autovalore. Se infatti v fosse autovettore di relativo a e , avremo , allora e quindi per distributività ma siccome questo implica che .

 


Lemma 17.1

Sia , lineare e sia una base di . Allora le seguenti condizioni sono equivalenti:

  1. è composta solo da autovettori di , cioè ogni è autovettore di ;
  2. la matrice di rispetto a questa base è una matrice diagonale.
 


Dimostrazione 17.1

, infatti se è diagonale, allora la colonna delle coordinate di e quindi quindi la base è composta solo da autovettori.

Quindi è autovettore relativo a .

Viceversa se suppongo che è un autovettore di relativo a qualche autovalore univocamente determinato, allora quindi la colonna delle coordinate di nella base è . Quindi la matrice è diagonale.

cvd

 

Matrice diagonalizzabile[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 17.4

Una matrice si dice diagonalizzabile se è simile a una matrice diagonale, ossia se esiste invertibile tale che è diagonale.

 
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