Autovalori di un endomorfismo

Ci si pone il problema di trovare autovalori e autovettori di un dato endomorfismo di .

Sia lineare, allora è autovalore di se e solo se il nucleo di è diverso dallo spazio nullo, cioè se e solo se non è un isomorfismo.

Prendo una qualsiasi base di . Sia la matrice di in questa base. Allora la matrice nella base di è che equivale a .

è un autovalore di se e solo se la matrice non è invertibile e quindi se e solo se .
Osservazione 17.3

Siano e basi di , e siano e . Se chiamo so che è invertibile e che vale la relazione .

 

Per ogni , si ha allora

dove l'ultimo passaggio vale perché Matrici simili hanno lo stesso determinante.

In conclusione, la funzione che porta nel determinante di , con , dipende solo da e non dalla base scelta quindi la chiamo .

Se , allora , la matrice è un numero.

Caso particolare: Se , e , supponiamo che la matrice di nella base sia

allora
quindi

Polinomio caratteristico[modifica | modifica wikitesto]

In generale, il determinante di , se è una matrice è un polinomio monico (di grado 1) in della forma

o equivalentemente è
dove i sono invarianti per similitudine, perché la loro espressioni non cambia per matrici simili, ovvero se e sono simili. In forma sintetica

dove , , (i termini in mezzo sono più complicati da scrivere)

Definizione 17.5

Il polinomio caratteristico di una matrice è il polinomio monico di grado tale che .

Se è lineare e , il polinomio caratteristico di è per una qualsiasi scelta di base di . è il polinoio caratteristico della matrice che rappresenta l'applicazione lineare in una qualsiasi base.

Allora gli autovalori di sono tutti e soli le radici del polinomio caratteristico.

 
Sia spazio vettoriale su finitodimensionale e sia lineare. Allora è autovalore di se e solo se è una radice del polinomio caratteristico di , cioè tale che .
Definizione 17.6

Se è un autovalore di l'autospazio corrispondente è il nucleo di . Questo è non nullo perché è un autovalore.

 


Esempio 17.2

Sia dove ha tutte le entrate uguali a 1.

Determinare se l'applicazione lineare è diagonalizzabile e nel caso determinare una base di autovettori

Calcolo il polinomio caratteristico, che è il determinante di .

Gli autovalori di sono e .

Diremo che ha molteplicità algebrica 2 perché compare con l'esponente 2. ha molteplicità algebrica 1 perché ha esponente 1.

Calcoliamo gli autospazi.

Quindi nel caso di l'autospazio è il nucleo della matrice , che è .

L'autospazio relativo all'autovalore 3 è .

L'autospazio relativo all'autovalore 3 è lo span di

Se prendo i tre vettori e li metto in colonna, ottengo la matrice

che ha rango 3 quindi ho una base di , data da . Di conseguenza la matrice di in questa base è la matrice diagonale che ha come entrate diagonali gli autovalori associati agli autovettori. Le prime due corrispondono all'autovalore 0 e l'ultima all'autovalore 3.

Verificare facendo i calcoli che

dove C è la matrice che ha per colonne i tre vettori

 


Esempio 17.3

Prendo

(il determinante di una matrice triangolare superiore è il prodotto delle entrate sulla diagonale.) con molteplicità algebrica 1.

Calcolo autospazi e autovettori

La matrice ha rango 2 e il nucleo ha dimensione 1 e coincide con lo span di .

Il kehr ha dimensione 1.
anche questo autospazio ha dimensione 1.

Possiamo trovare solo due autovettori linearmente indipendenti, e quindi non possiamo trovare una base di composta da autovettori.

Gli autovettori di sono multipli scalari di o di diversi da 0.

Quindi non è possibile trovare una base di composta da autovettori.

 
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