Rango di un'applicazione

Definizione e osservazioni sul rango[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 9.4

Siano e spazi vettoriali finito-dimensionali. Sia un'applicazione lineare, allora il rango di ( ) è la dimensione dello spazio immagine di .

Lo spazio immagine e' un sottospazio di , quindi la dimensione dello spazio immagine e' sicuramente minore o uguale di quella di e vale l'uguale se e solo se e' suriettiva.

Se inoltre e' la dimensione di , si può considerare la base di .

Lo spazio immagine di è l'insieme di tutti i trasformati . D'altra parte e' combinazione lineare dei vettori della base quindi posso scrivere:

al variare degli in .

Siccome è lineare:

Quindi lo spazio immagine di e' .

Concludo che la dimensione dello spazio immagine di è minore o uguale della dimensione di , in ogni caso il rango di è sempre minore o uguale del minimo tra la dimensione del dominio e la dimensione del codominio.

 
Osservazione 9.3

Il rango di e' uguale alla dimensione di quando l'applicazione e' iniettiva.

 


Dimostrazione 9.4

se e solo se sono linearmente indipendenti, quindi se e solo se vale l'implicazione seguente:

se e solo se gli sono tutti nulli.

Siccome , segue che solo se gli scalari sono tutti nulli, quindi solo se , e quindi solo se il nucleo è ridotto al vettore nullo e è iniettiva.

Q.E.D ∎

 

Teorema del rango[modifica | modifica wikitesto]

Teorema 9.1

In generale, siano e spazi vettoriali finito-dimensionali. Sia un'applicazione lineare. Allora la somma della dimensione dello spazio immagine di e della dimensione del di è uguale alla dimensione dello spazio di partenza.

 
Osservazione 9.4

Verifichiamo il teorema in due casi particolari.

  1. se in effetti la dimensione di e' uguale alla dimensione di .
  2. Se si ha , quindi è l'applicazione identicamente nulla. . Quindi lo spazio immagine di è uguale al vettore nullo. La dimensione dello spazio immagine di è uguale a 0.
 
Dimostrazione 9.5

Verifichiamo il teorema nei casi intermedi, cioè con . Sia la dimensione del e sia una base di . Per il teorema della base incompleta esistono tali che e' una base di . Allora lo spazio immagine di e' generato dai trasformati (questo vale per qualsiasi base).

Allora sono uguali a perché sono una base del . Concludo che l'immagine di e' uguale a (i vettori nulli non contano).

La dimensione dell'immagine di e' minore o uguale di , quindi minore o uguale di e vale l'uguale se i vettori sono linearmente indipendenti (si potrebbe pensare che applicando a vettori linearmente indipendenti la lineare indipendenza venga persa).

Siano quindi scalari tali che . Siccome e' lineare,

Questi implica che appartengono al di .
Esistono tali che

Quindi ma questi vettori presi insieme formano una base di , quindi se una combinazione lineare di vettori linearmente indipendenti è uguale il vettore nullo, significa che tutti gli scalari sono nulli.

Quindi la stringa ordinata e' una base di e la dimensione dell'immagine di è.

cvd

 

Applicazioni del teorema del rango[modifica | modifica wikitesto]

Esempio 9.7

Sia uno spazio vettoriale finitodimensionale e sia un sottospazio vettoriale di . Consideriamo la proiezione da al quoziente . Questa e' un'applicazione lineare, suriettiva, e il suo nucleo e' tutto .

Applicando il teorema la dimensione dello spazio immagine e' data da . Ma il ker e' , quindi otteniamo , cioè il teorema del rango conferma quanto già dimostrato in precedenza relativamente alla dimensione dello spazio quoziente.

 
Esempio 9.8

Siano in non tutti nulli. Consideriamo l'applicazione tale che

Questa applicazione è lineare infatti

Raccolgo e
e applicando a ritroso la definizione di ottengo:

è suriettiva, infatti sia per esempio . Allora applicando al vettore con tutte le coordinate nulle tranne la j-esima che e' , si ha

Qualsiasi numero reale appartiene all'immagine, quindi e' tutto .

Allora

(iperpiano o complemento ortogonale del vettore ).

In base al teorema del rango

come gia' calcolato.

 
Esempio 9.9

Sia tale che per fissato. Il polinomio viene mappato da in .

e' lineare infatti

Il nucleo è dato da
cioè è l'insieme dei polinomi di cui e' una radice.

Prendo e considerato come un polinomio di grado 0: se applico a ottengo stesso, quindi l'applicazione è suriettiva, perché ogni numero reale può essere considerato come un polinomio di grado 0 e rientra quindi nell'immagine.

Applicando il teorema del rango, per l'insieme dei polinomi che hanno come radice , che coincide con il nucleo, si ha

Questo era gia' stato dimostrato precedentemente, quando era stato stabilito che una base di e' data dai vettori .

 
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