Nozioni di base

Definizione di applicazione lineare[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 9.1

Siano e spazi vettoriali su . La funzione si dice lineare o anche di e se

vale che
cioe' rispetta le combinazioni lineari.

 

Questa singola condizione e' equivalente alle due seguenti

Applicazione lineare: R → V[modifica | modifica wikitesto]

Sia uno spazio vettoriale reale arbitrario e supponiamo di avere una funzione lineare. Allora per ogni si deve avere . Quindi se , ha la forma .

Viceversa se e' un qualsiasi elemento fissato dello spazio vettoriale, definiamo ponendo .

Verifichiamo se l'applicazione soddisfa le due proprieta'.

  1. Per l'associatività del prodotto per scalari:

L'applicazione soddisfa le due proprietà, quindi e' lineare.

In generale, le applicazioni lineari da in sono tutte e sole quelle della forma al variare di per , fissato, con .

Le applicazioni lineari da in sono in corrispondenza biunivoca con gli elementi di .

Applicazioni lineari colon R2 → R2[modifica | modifica wikitesto]

Descriviamo le applicazioni lineari . Consideriamo la base canonica di , , e poniamo .

Allora per ogni si ha che

Viceversa siano dati e definiamo un'applicazione ponendo . Allora quest'applicazione è lineare, infatti

Allo stesso modo
Per associatività ottengo:
Per distributività:
Concludo che tutte le applicazioni lineari di sono della forma con e .

Applicazioni lineari sul quoziente[modifica | modifica wikitesto]

Sia uno spazio vettoriale e sia in un sottospazio vettoriale. Sia lo spazio vettoriale quoziente in base alla relazione tale che .

Sia la funzione che associa a la sua classe di equivalenza.

Per la definizione di somma di classi di equivalenza si ha che

quindi e' un'applicazione lineare.

Osservazione 9.1

Sia lineare. Allora e' necessariamente il vettore nullo di .

 
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