Applicazioni lineari tra due spazi vettoriali

Applicazioni coincidenti[modifica | modifica wikitesto]

Teorema 9.3

Sia finitodimensionale. Siano , spazi vettoriali e sia la dimensione di . Sia una base e siano e da in lineari. Allora se e solo se per ogni .

 


Dimostrazione 9.7

Se e' un generico elemento di , siano le sue coordinate nella base . Allora , quindi

ma quindi
Uso la linearità nella direzione opposta
Conclusione: per ogni .

cvd

 

In altre parole, Due applicazioni lineari coincidono se e solo se coincidono sui vettori di una base.

Unicità dell'applicazione lineare da V in W[modifica | modifica wikitesto]

Siano una base di e siano vettori arbitrari. Il generico elemento si puo' esprimere come . Definiamo .

e' un'applicazione ben definita, perche' a ogni elemento di associa uno e un solo elemento di .

Osserviamo che in particolare , perche' le coordinate sono tutte nulle.

Verifico che l'applicazione è lineare: Siano e siano e rispettivamente i vettori colonna di e nella base . Allora per ogni scelta di

Il coefficiente di ogni e' .

Pertanto vale il seguente

Teorema 9.4

Sia uno spazio vettoriale -dimensionale con finito e almeno 1. Sia una base di , Allora per ogni spazio vettoriale e per ogni scelta di elementi di , esiste ed e' unica un'applicazione lineare tale per cui .

 


Dimostrazione 9.8

Poniamo se . Gli sono univocamente determinati. Come dimostrato sopra e' ben definita e lineare.

Per dimostrare l'unicita' di , se e da in sono lineari, soddisfano la stessa condizione, sono t.c. per . Ma questo implica che perche' le due applicazioni sono uguali sui vettori di una base.

cvd

 

Esistenza di un'applicazione suriettiva[modifica | modifica wikitesto]

Proposizione 9.3

Sia uno spazio vettoriale -dimensionale e sia . Allora esiste suriettiva.

 


Dimostrazione 9.9

Sia una base di . Consideriamo la base canonica di , . Sia per esempio l'unica applicazione lineare tale che

Allora questa e' l'unica applicazione lineare tale che l'immagine di e' .

per ipotesi e' una base di , quindi lo span di questi vettori e' tutto e è suriettiva.

cvd

 

Esistenza di un'applicazione iniettiva[modifica | modifica wikitesto]

Proposizione 9.4

Siano e spazi vettoriali finitodimensionali. Supponiamo che . Allora esiste lineare e iniettiva.

 


Dimostrazione 9.10

Sia la dimensione di , la dimensione di . Allora . Sia una base di . Siccome esistono linearmente indipendenti. Sia l'unica applicazione lineare tale che . Allora l'immagine di e' lo span dei trasformati dei vettori di una base dello spazio di partenza, quindi e' .

La dimensione di e' uguale a , perche' i vettori sono linearmente indipendenti. Allora per il teorema del rango la dimensione del nucleo e' necessariamente 0 quindi la funzione e' iniettiva.

cvd

 

Esistenza di un'applicazione biunivoca[modifica | modifica wikitesto]

In particolare, se l'applicazione lineare appena costruita non e' solo iniettiva, ma anche suriettiva, quindi e' biunivoca, perche' e' una base di .


Teorema 9.5

Se e sono spazi vettoriali finitodimensionali, allora se e solo se esiste un'applicazione lineare biunivoca.

 
Corollario 9.1 (del teorema del rango)

Siano e spazi vettoriali finitodimensionali e supponiamo che . Allora se e' lineare si ha che e' biunivoca se e solo se vale una delle due condizioni: e' iniettiva o e' suriettiva.

 
Dimostrazione 9.11

Per l'ipotesi e per il teorema del rango:

Dimostro che è iniettiva se e solo se è suriettiva.

e' iniettiva se e solo se la dimensione del ker e' 0, questo equivale a dire che , quindi . Quindi e' anche suriettiva.

cvd

 
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