Teorema di Sylvester

Il teorema di Sylvester è uno dei teoremi fondamentali dell'algebra lineare poiché permette di classificare i prodotti scalari.

Per presentare il teorema è utile dimostrare prima il seguente lemma:

Lemma

Sia una base ortogonale per , spazio vettoriale dotato di prodotto scalare . Se è ordinata in maniera tale che con e con , allora .

 


Dimostrazione

Per infatti:

dove sono le coordinate del vettore .

.

se .

Quindi si può concludere che è generato dai vettori , che formano quindi una base per .

 


Definizione (di indice di nullità)

La dimensione dell'insieme del lemma è detto indice di nullità.

 


Ora si può introdurre il teorema:

Teorema (di Sylvester)

Sia spazio vettoriale con definito il prodotto scalare , allora esiste un intero tale che se è una base ortonormale per , esistono esattamente vettori tali che .

 


Dimostrazione

Siano e basi ortogonali per .

Supponiamo che i vettori della base \mathcal{B} vengano ordinati in maniera tale che:

se

se

se

e analogamente, per la base \mathcal{B \ prime }:

se

se

se

Iniziamo dimostrando che i vettori, sono linearmente indipendenti.

Se questi vettori fossero linearmente dipendenti, ovvero:

e quindi

Definendo che e e calcolando questi prodotti per ogni nell'equazione precedente, si ottiene:

Il membro di sinistra è necessariamente e quella di destra è , quindi devono essere entrambi uguali a 0.

Che è possibile se e solo se e .

Dall'ipotesi per cui si può concludere che:

Ovvero

Invertendo il ruolo delle due basi nella dimostrazione si può concludere anche che . Queste due conclusioni, entrambe vere, comportano che:

dimostrando che r è invariante alla scelta della base, per un dato prodotto scalare.

 


Definizione (di indice di positività)

Il valore di nel teorema è detto indice di positività.

 


Segnatura[modifica | modifica wikitesto]

Definizione (di segnatura)

Si dice segnatura di un prodotto scalare il vettore del tipo dove è l' indice di positività, è l' indice di negatività (la differenza tra le dimensioni dell'insieme, l'indice di positività e quello di negatività), e è l' indice di positività.

 


Due prodotti scalari che hanno la stessa segnatura, sono isomorfici, ovvero sono legati da un'applicazione lineare biunivoca.

Osservazione

La segnatura di un prodotto scalare si può trovare calcolando il polinomio caratteristico della matrice associata al prodotto. Gli indici della segnatura corrispondono al numero di radici del polinomio rispettivamente positive, negative e nulle, moltiplicate per la loro molteplicità algebrica.

 


Esempio

Se il polinomio caratteristico della matrice associata a un prodotto scalare si può scomporre come:

ha come segnatura: Dove