Matrici

Definizione (di matrice)

Una matrice è una tabella di elementi in disposti come segue:

dove si chiama scrittura per riga;

e  si chiama scrittura per colonna.
 


è la scrittura per riga; è la scrittura per colonna.

Notazione: è l'insieme di tutte le matrici su , è l'elemento che appartiene all'i-esima riga e alla j-esima colonna.

Nel caso in cui , la matrice si dice quadrata, e si indica con .

Operazioni sulle matrici[modifica | modifica wikitesto]

Definizione (di somma)

sia e con ; si definisce somma di e , la matrice .

 


Definizione (di prodotto per uno scalare)

Si definisce prodotto di per uno scalare , la matrice )

 


Definizione (di prodotto riga per colonna)

Siano , si definisce prodotto riga per colonna la matrice ,


dove ogni elemento è così definito , con .

 


Osservazione

per moltiplicare due matrici e è necessario che il numero di colonne di sia uguale al numero di righe di , la matrice avrà lo stesso numero di righe di e lo stesso numero di colonne di . Il prodotto tra matrici non è commutativo.

 


Esempio

Siano ;

;

mentre il prodotto tra matrice e matrice non si può fare in quanto , pertanto il numero di colonne di B, cioè 3, è diverso dal numero di righe di A, cioè 2.

 


Matrici notevoli[modifica | modifica wikitesto]

Definizione (di matrice nulla)

Si definisce matrice nulla, una matrice in cui tutte le entrate sono nulle.

con .

 


Definizione (di matrice identica)

Si definisce matrice identica la matrice quadrata , dove tutte le entrate sono nulle, tranne gli elementi con .

 


Definizione (di matrice trasposta)

Sia , si dice trasposta di A, la matrice che scambia le righe con le colonne.

 


Esempio

Sia , la trasposta di sarà .

 


Definizione (di matrice simmetrica)

Una matrice quadrata si dice simmetrica se è uguale alla sua trasposta, ovvero le entrate sono simmetriche rispetto alla diagonale.

 


Esempio

Sia , la trasposta di sarà , noto che , pertanto è una matrice simmetrica.

 


Definizione (di matrice antisimmetrica)

Una matrice quadrata si dice antisimmetrica se è uguale all'opposto della sua trasposta, cioè ; o analogamente ha trasposta e opposta coincidenti: .

In questo tipo di matrice, gli elementi sulla diagonale sono tutti nulli.

 


Esempio

Sia , la trasposta di sarà , mentre l'opposto della trasposta di sarà: . Noto che pertanto la matrice è antisimmetrica.

 


Definizione (di matrice diagonale)

Una matrice quadrata si dice diagonale se ha tutte entrate nulle tranne quelle sulla diagonale; .

 


Definizione (di matrice triangolare)

Una matrice quadrata si dice triangolare inferiore o superiore se ha tutti gli elementi al di sopra o al di sotto della diagonale nulli;

(triangolare inferiore)

(triangolare superiore)

 
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