Relazioni

Definizione (di relazione)

Dati due insiemi e , una relazione è un sottoinsieme del prodotto cartesiano . Possiamo quindi identificare come un elemento dell'insieme delle parti di :

Se la coppia ordinata allora scriveremo e diremo che è in relazione con

 


Esempio

Consideriamo gli insiemi e e sia la relazione seguente:

Allora si ha che:

 

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Una relazione si dice:

  • Riflessiva, cioè per ogni , cioè ogni è in relazione con se stesso
  • Irriflessiva, cioè per ogni , cioè nemmeno un è in relazione con se stesso
  • Simmetrica, cioè ogni volta che esite esiste anche
  • Asimmetrica, cioè ogni volta che eiste non esiste mai
  • Antisimmetrica, cioè che se e possiamo dire che
  • Transitiva, cioè se e c’è anche

Una relazione si dice: di equivalenza (o equivalente) se gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva.

Una relazione si dice invece essere di ordine se gode delle proprietà rifelssiva, antisimmetrica e transitiva.

Esempio

a)

b)

c)

Possiamo osservare che la relazione "a)" sia una relazione di equivalenza, in quanto risulta essere riflessiva, simmetrica e transitiva.

 


Chiarimenti sulla proprietà antisimmetrica[modifica | modifica wikitesto]

Definizione (Proprietà Antisimmetrica)

Se e allora

 


Esempio

Considero l’insieme degli abitanti dell’Italia e considero la relazione “abita nella stessa citta’” la relazione non e’ antisimmetrica: infatti se Maria abita nella stessa citta’ di Carlo e Carlo abita nella stessa citta’ di Maria non segue che Carlo e’ uguale a Maria

 
Esempio

Considero i numeri naturali e considero la relazione “e’ maggiore od uguale a” La relazione e’ antisimmetrica perche’ perche’ se un numero e’ maggiore od uguale ad un secondo numero ed il secondo e’ maggiore uguale del primo allora i due numeri sono uguali

 

Nella rappresentazione a grafi si capisce che una relazione è antisimmetrica perchè ha cicli di lunghezza massima 1 (sono ammessi solo cappi)

Proposizioni derivate dalle proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Dalla riflessiva:

  • Se è riflessiva anche (l’inversa) è riflessiva
  • è riflessiva se e solo se è irriflessiva
  • Se e sono riflessive anche e sono riflessive


Dalla simmetrica:

  • è simmetrica se e solo se
  • se è simmetrica anche e sono simmetriche
  • se e sono simmetriche anche e sono simmetriche


Dall’ antisimmetrica:

  • è antisimmetrica se e solo se
  • è antisimmetrica se e solo se


Dalla transitiva:

  • Se e sono transitive anche è transitiva
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