Insiemi

Richiameremo qui alcune nozioni di teoria "ingenua" degli insiemi (ovvero non assiomatica), necessarie per una comprensione dei contenuti del corso di Algebra Lineare.

Definizione (di insieme)

Una collezione di elementi costituisce un insieme in senso matematico se esiste un criterio oggettivo che permette di stabilire se un elemento appartiene o non appartiene all'insieme.

 


Un insieme si può caratterizzare in tre modi:

(1) elencando gli elementi dell'insieme,

(2) caratterizzando gli elementi dell'insieme mediante una proprietà p,

(3) disegnando un diagramma di Eulero-Venn.

Esempio

L'insieme dei numeri naturali maggiori di 5 e minori o uguali a 9 è:

cioè:

oppure:

Esempio di insieme rappresentato tramite un diagramma di Eulero-Venn
 


Per indicare che un elemento appartiene a un insieme usiamo il simbolo . Nell'esempio sopra citato, . In modo analogo, se un elemento non appartiene a un insieme useremo il simbolo . Nel nostro esempio .

Si noti come la caratterizzazione di un insieme per elencazione risulta vantaggiosa quando l'insieme ha infiniti elementi.

Qui di seguito elenchiamo gli insiemi numerici fondamentali, alcuni dei quali sono già familiari allo studente.

è l'insieme dei numeri naturali.

è l'insieme dei numeri interi relativi.

è l'insieme dei numeri razionali.

è l'insieme dei numeri reali, unione dei numeri razionali, a cui corrispondono allineamenti decimali periodici e numeri irrazionali, a cui corrispondono allineamenti decimali non periodici. Il simbolo verrà chiarito più avanti.

è l'insieme dei numeri complessi.

Definizioni e notazioni[modifica | modifica wikitesto]

Definizione (di insieme vuoto)

Un insieme privo di elementi viene detto insieme vuoto e si indica con il simbolo .

 


Definizione (di sottoinsiemi)

Siano e due insiemi. Si dice che è sottoinsieme di , e si scrive , se . Se ogni elemento di appartiene ad ma esistono elementi di che non appartengono a , scriveremo . Un tale si dice sottoinsieme proprio di .

 


Esempio

Se e , allora . Considerando gli insiemi numerici fondamentali si hanno le inclusioni proprie:

 


Rappresentazione di insieme tramite diagramma di Eulero-Venn

N.B. L'insieme vuoto è sottoinsieme di ogni insieme.

Definizione (di uguaglianza tra insiemi)

Due insiemi e sono uguali se hanno gli stessi elementi, ovvero se e . Scriveremo dunque .

 


Definizione (di insieme delle parti)

Sia un insieme. L'insieme costituito da tutti i sottoinsiemi di è detto insieme delle parti di e si indica con il simbolo :

 


Osservazione

L'insieme delle parti non è mai vuoto! Infatti è sottoinsieme di ogni insieme.

 


Definizione (di unione e intersezione)

Dati due insiemi e , sottoinsiemi di un insieme più grande :

(1) Si dice unione e si indica con l'insieme

ovvero l'insieme degli elementi che appartengono ad almeno uno degli insiemi.

Il simbolo sta per 'o': l'elemento appartiene o ad , o a , o a entrambi.

(2) Si dice intersezione e si indica con l'insieme

ovvero l'insieme degli elementi che appartengono ad entrambi gli insiemi.

Il simbolo sta per 'e': l'elemento appartiene sia ad che a .

 


Esempio

Se e ,

allora ,

e

 


Definizione (di unione e intersezione di insiemi indicizzati)
Sia  un insieme. Sia  un insieme di indici e  sia  un sottoinsieme di .

(1) L'insieme

è l'unione di tutti gli insiemi al variare di in .

(2) L'insieme

è l'intersezione di tutti gli insiemi al variare di in .

 
Esempio

Se :

 


Proprietà dell'unione e dell'intersezione[modifica | modifica wikitesto]

  • Unione
  1. insieme vuoto:
  2. proprietà commutativa:
  3. proprietà associativa:
  • Intersezione
  1. insieme vuoto:
  2. proprietà commutativa:
  3. proprietà associativa:
  • Proprietà distributiva
  1. distributiva dell'unione rispetto all'intersezione:
  2. distributiva dell'intersezione rispetto all'unione:
Esempio

Se

  • Proprietà associativa:

  • Proprietà distributiva:

 


Definizione (di insieme differenza)

Siano e due insiemi. Si dice insieme differenza e si indica con l'insieme di elementi di che non appartengono a :

 


Definizione (di complementare)

Sia un insieme e un suo sottoinsieme. Si dice complementare di e si indica con l'insieme di elementi di che non appartengono ad :

ovvero

 


N.B.

Definizione (di partizione)

Sia un insieme non vuoto. Si dice partizione e si indica con una famiglia di sottoinsiemi di non vuoti, a due a due disgiunti, la cui unione è :

Ogni appartiene ad un solo degli insiemi che compongono la partizione. I sottoinsiemi sono detti classi della partizione.

 


Esempio

L'insieme dei numeri pari e l'insieme dei numeri dispari sono una partizione dell'insieme

 


Definizione (di cardinalità)

Sia un insieme. si dice finito se contiene un numero finito di elementi. Si dice cardinalità e si indica con il numero di elementi contenuti in un insieme:

Se non è finito, si dice che la cardinalità di è infinita.

 


Definizione (di prodotto cartesiano)

Siano e due insiemi non vuoti. Si dice prodotto cartesiano di e l'insieme delle coppie ordinate con , e si scrive:

 


N.B. In generale, .

Leggi di De Morgan[modifica | modifica wikitesto]

Le due leggi di De Morgan sono dei teoremi che riguardano delle proprietà della differenza rispetto all'unione e all'intersezione.

Teorema (leggi di De Morgan)

Siano e sottoinsiemi di .

(1)

(2)

 
 PrecedenteSuccessivo