Funzioni

Definizione (di funzione)

Una funzione da un insieme a un insieme è una relazione che associa a ogni elemento di uno e un solo elemento di .

 


In questo caso si dice dominio della funzione e si dice essere il suo codominio.

Grafico di una funzione[modifica | modifica wikitesto]

Definizione (di grafico di una funzione)

Ad ogni viene associata una corrispondenza (intesa come tipo di relazione) . Sia una funzione che lega gli elementi dell'insieme a quelli dell'insieme , viene definito grafico di come:

 


Un esempio di grafico di funzione (f(x)=x sinx)
Osservazione

In generale una relazione non è una funzione, nonostante sia un sottoinsieme () di , poiché, formalmente:

 

Definizioni e notazioni[modifica | modifica wikitesto]

Data una funzione diamo le seguenti definizioni:

Definizione (di Insieme immagine)

L'insieme degli elementi di che sono funzione di un elemento di si dice insieme immagine di e si indica con:

 


Definizione (di Controimmagine)

Se si dice controimmagine l'insieme degli elementi di sono funzione di e si indica con

 


Osservazione

La controimmagine non corrisponde necessariamente alla funzione inversa.

 


Definizione (di funzione iniettiva)

Una funzione si dice essere iniettiva se ad ogni coppia di elementi distinti corrispondono immagini distinte , e . Quindi:

Oppure, equivalentemente:

 


Definizione (di funzione suriettiva)

Una funzione si dice essere suriettiva se l'insieme delle sue immagini corrisponde al codominio. Per cui:

 


Ogni funzione è suriettiva nel suo codominio.

Definizione (di funzione biettiva)

Una funzione si dice essere biettiva se è sia suriettiva che iniettiva

 


Esempio
  • la funzione dell'iperbole: è iniettiva, ma non suriettiva, poiché il dominio non è definito in
  • la funzione della parabola: è suriettiva, ma non iniettiva in ad ogni elemento del codominio corrispondono da 0 a 2 elementi del dominio
  • la funzione: è biettiva, in quanto sia iniettiva che suriettiva
 


Definizione (di funzione indentica)

Se il dominio corrisponde al codominio , la funzione identica è quella che ad ogni associa . Questa funzione è biettiva e si indica con:

 


Composizione di funzioni[modifica | modifica wikitesto]

La composizione è un'applicazione fondamentale per le funzioni che consiste nell'applicazione del risultato di una funzione ad una seconda

Definizione (di composizione di funzioni)

Se e sono funzioni, allora si dice composizione di in :

 


Questa scrittura si può leggere come "f composto g" e corrisponde alla funzione

Osservazione

Una funzione si può comporre con se stessa volte e il risultato dell'iterazione della composizione si indica con .

 


Teorema

è una funzione biettiva se

 


Dimostrazione

quindi è suriettiva, ma deve associare un solo a , e quindi è iniettiva.

 


Definizione (di funzione inversa)

Se è funzione, è invertibile se si dice funzione inversa e si indica con Quindi:

Per il teorema presentato in precedenza, perché sia invertibile deve essere biettiva.

 
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