Spazio quoziente

Per poter definire lo spazio quoziente, è necessario introdurre la relazione :

Teorema

Sia uno spazio vettoriale sul campo e ( è un sottospazio vettoriale di ). La relazione su definita:

è una relazione di equivalenza

 
Dimostrazione
  • proprietà riflessiva: , perché è sottospazio vettoriale di .
  • proprietà simmetrica: Siano , perché .
  • proprietà transitiva: Siano e , e e poiché dato che allora .
 


Osservazione
Stiamo dicendo che  è equivalente a  se uno può essere ottenuto dall'altro aggiungendo un elemento del sottospazio .

La classe di equivalenza di v è spesso denotata con:

dal momento che è data da:

 

Definizione formale[modifica | modifica wikitesto]

Definizione (di spazio quoziente)

Dato spazio vettoriale sul campo e . Si dice spazio vettoriale quoziente l'insieme , che è l'insieme delle classi di equivalenza degli elementi rispetto alla relazione .

 
Definizione (di spazio affine di giacitura)

Le classi di equivalenza è detto spazio affine di giacitura o laterali di e corrispondono all'insieme:

 
Esempio

Se e

Qual è lo spazio affine di giacitura che contiene ? E quale contiene ?

  • perché in quanto combinazione lineare dei vettori che generano
 

Proprietà dello spazio quoziente[modifica | modifica wikitesto]

Definizione (di compatibilità)

Una relazione di equivalenza in spazio vettoriale su , si dice:

  • compatibile con la somma se con e
  • compatibile con il prodotto per uno scalare se e con
 
Lemma

è compatibile con la somma e con il prodotto per uno scalare

 
Dimostrazione
  • e e
  • e ma allora poichè W è spazio vettoriale ovvero
 
Teorema

è uno spazio vettoriale in cui sono definite le operazioni:

 

La dimostrazione di questo teorema è semplicemente ottenibile applicando la definizione di compatibilità.

Osservazione
  • Lo zero di è poiché
  • L'opposto di è

(ricordando le proprietà dei sottospazi vettoriali)

 
Teorema

Se è uno spazio vettoriale di dimensione , suo sottospazio con dimensione , allora lo spazio quoziente ha dimensione

 
Dimostrazione

Sia base per , la si può completare ad una base di .

Per dimostrare il teorema posso dimostrare che è base di :

  • Dimostro che :

  • Dimostro che è formato da elementi linearmente indipendenti:

Sia

poiché

 
Esempio

Considero e dove

 

In questo caso è l'insieme :

Se considero la parallela ad per , ovvero

comunque risulta che

I vettori P e Q di questo esempio rispettano le condizioni per cui la loro somma B è parallela ad A
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