Stabilità e normalità

Stabilità[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 2.4

Siano estensioni di campi, e sia , allora è un campo intermedio stabile (relativamente a e ) se succede che .

 


Osservazione 2.9

Un campo intermedio è stabile se e solo se .

Infatti, se , è chiaro che è stabile.

Viceversa, mostro che se è stabile, si ha . Prendo , allora siccome è stabile e la relazione vale per ogni , deve valere anche per e quindi , e dunque, applicando , , cioè .

 

Corrispondenza tra campi stabili e sottogruppi normali[modifica | modifica wikitesto]

Proposizione 2.2

Sia un'estensione di campi, e . Allora,

  1. se è un campo intermedio stabile, è un sottogruppo normale in , ovvero è normale in .
  2. se è un sottogruppo normale di , allora è un campo intermedio stabile.
 
Dimostrazione
  1. Per ipotesi, è un campo intermedio stabile, e mostro che è normale in , cioè, applicando la definizione, mostro che dati , ; equivalentemente mostro che fissa elemento per elemento. Prendo , e calcolo
    ma e fissa elemento per elemento, quindi
    e quindi la tesi è vera.
  2. Sia un sottogruppo normale di , allora mostro che è un campo intermedio stabile, ovvero che per ogni . Considero e mostro che, fissato arbitrariamente , si ha .Siccome è normale, si ha per un certo . Allora (infatti ), e quindi .
 

La stabilità di è legata alla normalità dell'estensione .

Per la dimostrazione della prossima proposizione è necessario il seguente lemma:
Lemma 2.6

Sia un'estensione di campi normale, e sia un polinomio monico e irriducibile. Se ammette una radice in , allora si spezza in in prodotto di fattori lineari distinti.

 
Dimostrazione

Sia una radice di , che esiste per ipotesi. Sia , e l'insieme delle immagini distinte di sotto l'azione di . Se è un elemento di , allora sarà della forma per . Sappiamo che è radice di , e quindi è finito, e ha cardinalità . Scriviamo .

Consideriamo il polinomio . I coefficienti di sono le funzioni simmetriche elementari in , definite come segue

Quindi
Le funzioni elementari sono invarianti se permuto . D'altra parte gli elementi di permutano e quindi fissano i coefficienti di . è normale per ipotesi, allora è un polinomio a coefficienti in (i coefficienti stanno in ). D'altra parte , e , essendo irriducibile, è il polinomio minimo di . Allora . In particolare , e siccome si aveva , segue che . Poi e sono entrambi monici dunque , cioè si spezza su .

 


Proposizione 2.3
  1. supponiamo che siano estensioni di campi, con normale e stabile. Allora l'estensione è normale.
  2. Siano estensioni di campi, e supponiamo che sia normale e algebrica. Allora è stabile.
 
Dimostrazione
  1. Considero , e mostro che esiste tale che . Siccome è normale e sta in , esiste tale che . Se considero , ( perché è stabile), allora .
  2. Per la seconda parte è necessario il lemma dimostrato prima.Mostro che dato e , allora . Per ipotesi è algebrico su , allora posso considerare il polinomio minimo di su .Per il lemma precedente, si spezza in fattori lineari distinti in .D'altra parte, è una radice di , e quindi .
 

Sia , un campo intermedio stabile, allora possiamo considerare l'applicazione , tale che . è un omomorfismo di gruppi, con

è l'isieme degli automorfismi di su (cioè che fissano elemento per elemento), che si sollevano ad automorfismi di su .

Dalle proposizioni precedenti si ha il seguente risultato:
Proposizione 2.4 (conseguenza)

Supponiamo che sia normale e di grado finito. Allora campo intermedio è stabile se e solo se è normale. Inoltre l'omomorfismo è suriettivo.

 
Dimostrazione

Osservo in particolare che il fatto che sia di grado finito implica che è algebrica, e quindi il "se e solo se" segue dalla proposizione precedente.

Per quanto riguarda la suriettività di , per il teorema fondamentale

 
Possiamo aggiungere al teorema fondamentale della teoria di Galois anche il seguente fatto:
Teorema 2.3

Sia un campo intermedio tra e , allora è un'estensione normale se e solo se è normale in , e in tal caso è isomorfo a .

 
Dimostrazione

Va giustificato solo il fatto che è normale se e solo se è normale in .

Dalla "conseguenza" segue che è stabile, allora è normale in per la relazione tra la normalità di sottogruppi e la stabilità dei campi intermedi. Viceversa, normale in implica che è stabile, ma siccome e' chiuso si ha e quindi è stabile.

 
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