Oggetti chiusi

Vogliamo caratterizzare gli oggetti chiusi in . "Oggetti chiusi si ottengono da oggetti chiusi per estensioni finite".
Lemma 2.1

Siano estensioni di campi, con . Allora l'indice di in (indicato con ), è . In altre parole

 


Dimostrazione

Procediamo per induzione su . Se , e non c'è niente da dimostrare, e possiamo supporre . Supponiamo che esista un campo intermedio proprio tra e (cioè tale che ). Siccome grado e indice sono entrambi moltiplicativi l'induzione risolve. Infatti pongo e , dunque si ha . Poiche'e' un campo propriamente contenuto tra e deve essere e dunque . Ora , e per induzione . Analogamente la condizione implica . Infine l'indice e' moltiplicativo dunque .

Supponiamo ora che non esistano campi propriamente compresi tra e , considero , allora il campo contiene propriamente ed è contenuto in . Dato che per ipotesi non esistono campi intermedi tra e , segue subito che .

Sia il polinomio minimo di , e chiamo l'insieme delle radici di contenute in . In particolare, perché contiene almeno . Considero , che agisce su in questo modo: dati e , allora . mostro che sta ancora in , infatti

e se applico l'automorfismo a entrambi i membri ottengo
infatti agisce come l'identità sui coefficienti di che stanno in , e quindi è ancora una radice di .

Nell'azione di gruppo considerata, gli elementi dello stabilizzatore di fissano elemento per elemento (infatti, devono fissare elemento per elemento, essendo elementi di , e devono fissare essendo elementi del suo stabilizzatore), quindi lo stabilizzatore di e'.

Infine osservo che , indice di in , è uguale alla cardinalità dell'orbita, , di sotto l'azione di , e l'orbita è contenuta in . Ma quindi .

 


Lemma 2.2

Sia un'estensione di campi, e . Siano sottogruppi di , con . Se l'indice di in è uguale a , allora . In altre parole

 
Dimostrazione

Per definizione, si ha che .

PASSO 1: Considero i laterali destri di in , e per e laterale destro di in , definisco . Questa definizione è ben posta e non dipende dalla scelta del laterale, perché se , allora per un certo , e quindi

dove l'ultimo passaggio vale perché .

PASSO 2: per assurdo, suppongo che , allora esistono elementi di , linearmente indipendenti su . Considero il sistema

dove sono i laterali destri di in , e , e dove .

Il sistema lineare scritto sopra è omogeneo della forma , dove è una matrice e il sistema ha incognite. Dunque il sistema ammette soluzioni non banali. Tra tutte le soluzioni non banali, ne considero una per cui il numero di elementi non nulli sia minimo.

A meno di riordinamenti posso scrivere questa soluzione in modo che abbia gli zeri nelle ultime posizioni, cioè

Posso supporre, a meno di moltiplicare tutto per (e posso farlo perche' ottengo ancora una soluzione del sistema che e' omogeneo), che il primo coefficiente sia uguale a 1 e che la soluzione sia
PASSO 3: Se gli stanno in per ogni , si ha un assurdo, perché la prima equazione del sistema diventa
dove . Ora , quindi la prima equazione si riscrive come
e ho una relazione di dipendenza lineare degli su , ma questo è assurdo perché sono stati scelti linearmente indipendenti. Quindi deve esistere almeno un elemento che non sta in . A meno di riordinamenti suppongo che . Quindi , ed esiste pertanto un elemento tale che .

PASSO 4: Considero la i-esima equazione del sistema precedente:

Applico a quest'equazione e ottengo
dove, posto , si ha che
La sequenza è una permutazione di . Applicando questo ragionamento a tutte le righe, trovo che se il vettore è una soluzione del sistema , allora anche è una soluzione di (perche' il ragionamento di prima prova che il secondo vettore e' soluzione di un sistema che si ottiene da permutandone le righe). Allora anche la differenza
è ancora una soluzione del sistema , e non e' la soluzione banale perche'. Ma questo va contro la minimalità di perché ha un numero di entrate non nulle minore di , assurdo!

 

Caratterizzazione di oggetti chiusi[modifica | modifica wikitesto]

Sono stati dimostrati i seguenti lemmi:
Lemma 2.3 (versione campi intermedi)

Siano estensioni di campi, e sia , allora l'indice .

 


Lemma 2.4 (versione sottogruppi)

Sia un'estensione di campi, e sia . Siano sottogruppi di con , e sia , allora (grado).

 

"Oggetti chiusi si ottengono da oggetti chiusi per estensioni finite", e precisamente

Lemma 2.5
campi intermedi
Siano estensioni di campi, con e chiuso. Allora è chiuso, e l'indice di in è uguale al grado di su , in simboli .
sottogruppi
Sia un'estensione di campi, , e sottogruppi di , con e . Sia chiuso, allora è chiuso e .
 
Dimostrazione

VERSIONE PER CAMPI INTERMEDI: Sia , allora se applico i lemmi 1 e 2 si ha

ma , inoltre è chiuso, quindi . In termini di estensioni di campi si ha , e implica (relazione 2). Per le relazioni 1 e 2 segue e quindi cioè è chiuso. Se riscrivo la relazione 1 ottengo
e quindi .

VERSIONE PER I SOTTOGRUPPI: La parte 2 si dimostra in modo analogo. Infatti

ma è chiuso, allora , e , allora per un ragionamento simile al precedente , e .

 

Teorema fondamentale della teoria di Galois[modifica | modifica wikitesto]

Osservazione 2.4

Sia un'estensione di campi, . Il sottogruppo banale di , e' sempre chiuso perche' si ha

Per quanto visto, sono chiusi tutti i sottogruppi di di ordine finito.

 


Osservazione 2.5

Se è normale, è chiuso, e quindi sono chiusi tutti i campi intermedi tra ed dove con estensione di grado finito di .

 
Abbiamo allora provato il teorema fondamentale della teoria di Galois:
Teorema 2.2

Sia un'estensione normale, di grado finito, e sia . Allora tutti i campi intermedi tra ed e tutti i sottogruppi di sono chiusi. Le applicazioni "primo" stabiliscono una corrispondenza biunivoca tra campi intermedi e sottogruppi di . In tale corrispondenza la dimensione relativa tra due campi intermedi è uguale all'indice relativo tra i sottogruppi corrispondenti. In particolare

 


Osservazione 2.6

Dire che 'la dimensione relativa tra due campi intermedi è uguale all'indice relativo tra i sottogruppi corrispondenti' significa che, se si ha . In particolare l'ordine di e' dato dall'indice di 1 in e dunque è uguale a , cioè l'ordine del gruppo di Galois è uguale al grado dell'estensione.

 
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