Dato un campo
possiamo considerare l'applicazione
tale che
.
è un omomorfismo di anelli, e
. In particolare, siccome
è un campo,
è un dominio. Se
è finito,

(se per assurdo fosse

,

contiene

che sarebbe una copia isomorfa di

e non sarebbe finito).
Perché
sia un dominio, dev'essere
con
numero primo. Allora si dice che
ha caratteristica
.
Notiamo anche che
, dove pongo
(campo con
elementi).
Identificando
con
, segue che
è un sottocampo di
; in particolare
coincide con il campo primo di
ovvero l'intersezione di tutti i sottocampi di
.
campo finito di caratteristica
avrà necessariamente ordine
per un certo
. Infatti
può essere considerato come spazio vettoriale su
. La dimensione di
come spazio vettoriale su
dev'essere necessariamente finita, diciamo
, allora esiste una base
per
su
. Ogni elemento di
si scrive in modo unico come

e quindi gli elementi di

sono

perché ciascun

può essere scelto in

modi.
Teorema 2.6
Un campo
ha
elementi se e solo se
è il campo di spezzamento su
di
.
Dimostrazione
: Sia
un campo con
, allora
ha
elementi ed è un gruppo; segue che per ogni
,
, equivalentemente per ogni
,
.
Allora
ha
radici distinte in
e pertanto si spezza in fattori lineari su
. Siccome le radici di
costituiscono tutto
abbiamo che
è campo di spezzamento di
su
.
: Viceversa, prendo
campo di spezzamento di
su
, sia
l'insieme delle radici di
in
, cioè

Affermiamo che
è un campo, infatti:
;
- chiusura rispetto alla somma: per
, segue che
, infatti
dove nel secondo passaggio ho sfruttato il fatto che il campo ha caratteristica
;
- chiusura rispetto al prodotto: dati
, anche
infatti si ha
- chiusura rispetto agli inversi: per
,
infatti 
se
,
infatti
.
Segue che
è un campo, la cardinalità di
è
perché
e quindi
non ha radici multiple.
contiene
, allora
deve necessariamente coincidere con
.
Da quest'ultima proposizione, per i risultati sull'esistenza e unicità dei campi di spezzamento, segue che dati un primo
e un intero
, esiste sempre un campo di ordine
, e due campi di ordine
sono isomorfi tra loro.
Normalità delle estensioni finite e gruppo di Galois[modifica | modifica wikitesto]
Mostriamo che, dati
campi finiti, l'estensione
è normale, e
è ciclico.
Mostro prima che basta considerare il caso in cui
: in generale, considero la catena di estensioni
, allora
normale implica
normale. Infatti, sia
normale, allora
è campo di spezzamento su
di un polinomio i cui fattori irriducibili sono separabili. Allora
è anche campo di spezzamento su
di tale polinomio, e i suoi fattori irriducibili in
devono dividere i fattori irriducibili in
. Siccome i secondi sono separabili per ipotesi, lo sono anche i primi, e quindi segue che
è normale. Inoltre, se
è ciclico, anche
, che è un sottogruppo in esso, è ciclico.
Consideriamo allora il caso
, identificando
con
.
NORMALITÀ DI
: L'estensione
è normale perché
è campo di spezzamento su
di
che non ha radici multiple.
CICLICITÀ DEL GRUPPO DI GALOIS: considero l'omomorfismo di Frobenius
tale che
. Osservo che:
è un omomorfismo perché#*
;#*
.
è iniettivo perché manda 1 in sé, è anche suriettivo perché
è un campo finito;
fissa il campo
elemento per elemento, cioè per ogni
,
.
Segue quindi che
.
Determino l'ordine di
e considero le sue potenze: per ogni
,
è tale che
. Allora
, perché è tale che
.
Se per assurdo
, esiste
tale che
, allora per ogni
si avrebbe
: quindi gli elementi di
sarebbero radici del polinomio
; ma questo polinomio ha esattamente
radici distinte, e gli elementi di
sono
, assurdo. Allora
.
Segue quindi che
contiene
.
Ma
, e quindi
coincide con il gruppo ciclico generato da
.
Un gruppo ciclico
di ordine
ha uno e un solo sottogruppo ciclico di ordine
per ogni
divisore di
. Allora
ha uno e un solo sottocampo di ordine
per ogni
divisore di
.
In caratteristica 0, ogni campo di spezzamento da luogo a una estensione normale perché ogni polinomio irriducibile è separabile.
Non posso nemmeno scegliere di lavorare con campi finiti, infatti mostro che ogni polinomio irriducibile su un campo finito è anche separabile. Sia
e
un polinomio in
monico e irriducibile; sia
una radice di
, e considero
. Si ha
, allora
.
è normale per le osservazioni precedenti, quindi
è normale, e
ammette una radice in
. Segue quindi che
si spezza su
in fattori lineari distinti, e inparticolare è separabile.
Questo argomento si può generalizzare al caso di
con
intero.
COSTRUZIONE DEL CAMPO DI SPEZZAMENTO NON NORMALE: Sia
,
un'indeterminata su
e consideriamo
campo delle funzioni razionali nell'indeterminata
a coefficienti in
. Sia
, campo delle funzioni razionali nell'indeterminata
. Valgono le seguenti osservazioni:
, perché se lo fosse, si avrebbe
dove
sono polinomi in
,
. Sia
e
, allora

e i gradi dei polinomi ai due membri devono essere uguali, cioè
, che non può avvenire.
e
è un'estensione algebrica semplice. Mostro che
, e quindi che valgono le due inclusioni:
perché
e
; viceversa,
,
e quindi
.
è algebrico su
, perché può essere visto come radice del polinomio
, a coefficienti in
.
Inoltre,
è il polinomio minimo di
sopra
. Infatti, in
si ha
(siamo in caratteristica
e
). Se esiste una fattorizzazione non banale di
in
essa dev'essere della forma:

Sviluppando

ottengo


Siccome i coefficienti di questo polinomio devono stare in

, in particolare si ha

, e siccome

,

, ma questo non avviene per quanto detto prima.
Allora

è irriducibile su

ed è il polinomio minimo di

su

. Ha come unica radice

di molteplicità

.
- Il gruppo
si riduce all'identità. Infatti, siccome
è un'estensione algebrica semplice di
, si ha
. Allora preso
,
dev'essere radice di
, però l'unica radice di
è
, allora
, cioè
fissa
e fissa
, quindi fissa
, cioè
.
è campo di spezzamento di
su
, e
non è normale perché
non è separabile.