Esempio di campo di spezzamento non normale

Caratteristica di un campo finito

Dato un campo $K$$K$ possiamo considerare l'applicazione $\eta :\mathbb {Z} \to K$$\eta :\mathbb {Z} \to K$ tale che $\eta (z)=z1_{K}$$\eta (z)=z1_{K}$. $\eta$$\eta$ è un omomorfismo di anelli, e $\mathbb {Z} ^{\eta }\subseteq K$$\mathbb {Z} ^{\eta }\subseteq K$. In particolare, siccome $K$$K$ è un campo, $\mathbb {Z} ^{\eta }$$\mathbb {Z} ^{\eta }$ è un dominio. Se $K$$K$ è finito,

$$\ker \eta :=\{z\in \mathbb {Z} \,t.c.\,z*1_{K}=0_{K}\}\neq \{0\}$$

$$\ker \eta :=\{z\in \mathbb {Z} \,t.c.\,z*1_{K}=0_{K}\}\neq \{0\}$$

(se per assurdo fosse $\ker \eta =\{0\}$$\ker \eta =\{0\}$, $K$$K$ contiene $K^{\eta }$$K^{\eta }$ che sarebbe una copia isomorfa di $\mathbb {Z}$$\mathbb {Z}$ e non sarebbe finito).

Perché ${\frac {\mathbb {Z} }{\ker \eta }}$${\frac {\mathbb {Z} }{\ker \eta }}$ sia un dominio, dev'essere $\ker \eta =(p)$$\ker \eta =(p)$ con $p$$p$ numero primo. Allora si dice che $K$$K$ ha caratteristica $p$$p$. Notiamo anche che $K^{\eta }\cong F_{p}$$K^{\eta }\cong F_{p}$, dove pongo $F_{p}={\frac {\mathbb {Z} }{p\mathbb {Z} }}$$F_{p}={\frac {\mathbb {Z} }{p\mathbb {Z} }}$ (campo con $p$$p$ elementi). Identificando $K^{\eta }$$K^{\eta }$ con $F_{p}$$F_{p}$, segue che $F_{p}$$F_{p}$ è un sottocampo di $K$$K$; in particolare $F_{p}$$F_{p}$ coincide con il campo primo di $K$$K$ ovvero l'intersezione di tutti i sottocampi di $K$$K$.

Ordine di un campo finito

$K$$K$ campo finito di caratteristica $p$$p$ avrà necessariamente ordine $p^{n}$$p^{n}$ per un certo $n\geq 1$$n\geq 1$. Infatti $K$$K$ può essere considerato come spazio vettoriale su $F_{p}$$F_{p}$. La dimensione di $K$$K$ come spazio vettoriale su $F_{p}$$F_{p}$ dev'essere necessariamente finita, diciamo $n$$n$, allora esiste una base $\{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}\}$$\{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}\}$ per $K$$K$ su $F_{p}$$F_{p}$. Ogni elemento di $K$$K$ si scrive in modo unico come

$$\sum _{i=1}^{n}a_{i}\alpha _{i},\quad a_{i}\in F_{p}.$$

$$\sum _{i=1}^{n}a_{i}\alpha _{i},\quad a_{i}\in F_{p}.$$

e quindi gli elementi di $K$$K$ sono $p^{n}$$p^{n}$ perché ciascun $a_{i}$$a_{i}$ può essere scelto in $p$$p$ modi.

Teorema 2.6

Un campo $K$$K$ ha $p^{n}$$p^{n}$ elementi se e solo se $K$$K$ è il campo di spezzamento su $F_{p}$$F_{p}$ di $f(x)=x^{p^{n}}-x$$f(x)=x^{p^{n}}-x$.

 

Dimostrazione

$1\longrightarrow 2$$1\longrightarrow 2$: Sia $K$$K$ un campo con $o(K)=p^{n}$$o(K)=p^{n}$, allora $K^{*}$$K^{*}$ ha $p^{n}-1$$p^{n}-1$ elementi ed è un gruppo; segue che per ogni $\alpha \in K^{*}$$\alpha \in K^{*}$, $\alpha ^{p^{n}-1}=1$$\alpha ^{p^{n}-1}=1$, equivalentemente per ogni $\alpha \in K$$\alpha \in K$, $\alpha ^{p^{n}}=\alpha$$\alpha ^{p^{n}}=\alpha$. Allora $f(x)$$f(x)$ ha $p^{n}$$p^{n}$ radici distinte in $K$$K$ e pertanto si spezza in fattori lineari su $K$$K$. Siccome le radici di $f(x)$$f(x)$ costituiscono tutto $K$$K$ abbiamo che $K$$K$ è campo di spezzamento di $f(x)$$f(x)$ su $F_{p}$$F_{p}$. $2\longrightarrow 1$$2\longrightarrow 1$: Viceversa, prendo $M$$M$ campo di spezzamento di $f(x)$$f(x)$ su $F_{p}$$F_{p}$, sia $E$$E$ l'insieme delle radici di $f(x)$$f(x)$ in $M$$M$, cioè

$$E=\{\alpha \in M\,t.c.\,\alpha ^{p^{n}}=\alpha \}$$

$$E=\{\alpha \in M\,t.c.\,\alpha ^{p^{n}}=\alpha \}$$

Affermiamo che $E$$E$ è un campo, infatti:

• $0,1\in E$$0,1\in E$;
• chiusura rispetto alla somma: per $\alpha ,\beta \in E$$\alpha ,\beta \in E$, segue che $\alpha +\beta \in E$$\alpha +\beta \in E$, infatti
  $$(\alpha +\beta )^{p^{n}}=\alpha ^{p^{n}}+\beta ^{p^{n}}=\alpha +\beta ,$$

  $$(\alpha +\beta )^{p^{n}}=\alpha ^{p^{n}}+\beta ^{p^{n}}=\alpha +\beta ,$$
  dove nel secondo passaggio ho sfruttato il fatto che il campo ha caratteristica $p$$p$;

• chiusura rispetto al prodotto: dati $\alpha ,\beta \in E$$\alpha ,\beta \in E$, anche $\alpha \beta \in E$$\alpha \beta \in E$ infatti si ha
  $$(\alpha \beta )^{p^{n}}=\alpha ^{p^{n}}\beta ^{p^{n}}=\alpha \beta ;$$

  $$(\alpha \beta )^{p^{n}}=\alpha ^{p^{n}}\beta ^{p^{n}}=\alpha \beta ;$$

• chiusura rispetto agli inversi: per $\alpha \in E$$\alpha \in E$, $-\alpha \in E$$-\alpha \in E$ infatti $(-\alpha )^{p^{n}}=-\alpha ^{p^{n}}=-\alpha ;$$(-\alpha )^{p^{n}}=-\alpha ^{p^{n}}=-\alpha ;$

se $\alpha \neq 0$$\alpha \neq 0$, $\alpha ^{-1}\in E$$\alpha ^{-1}\in E$ infatti $(\alpha ^{-1})^{p^{n}}=(\alpha ^{p^{n}})^{-1}=\alpha ^{-1}$$(\alpha ^{-1})^{p^{n}}=(\alpha ^{p^{n}})^{-1}=\alpha ^{-1}$.

Segue che $E$$E$ è un campo, la cardinalità di $E$$E$ è $p^{n}$$p^{n}$ perché $f'(x)=-1$$f'(x)=-1$ e quindi $f(x)$$f(x)$ non ha radici multiple.

$E$$E$ contiene $F_{p}$$F_{p}$, allora $E$$E$ deve necessariamente coincidere con $M$$M$.

 

Da quest'ultima proposizione, per i risultati sull'esistenza e unicità dei campi di spezzamento, segue che dati un primo $p$$p$ e un intero $n\geq 1$$n\geq 1$, esiste sempre un campo di ordine $p^{n}$$p^{n}$, e due campi di ordine $p^{n}$$p^{n}$ sono isomorfi tra loro.

Normalità delle estensioni finite e gruppo di Galois

Mostriamo che, dati $M,K$$M,K$ campi finiti, l'estensione $M\supseteq K$$M\supseteq K$ è normale, e ${\mathcal {G}}(M/K)$${\mathcal {G}}(M/K)$ è ciclico.

Mostro prima che basta considerare il caso in cui $K=F_{p}$$K=F_{p}$: in generale, considero la catena di estensioni $M\supseteq K\supseteq F_{p}$$M\supseteq K\supseteq F_{p}$, allora $M\supseteq F_{p}$$M\supseteq F_{p}$ normale implica $M\supseteq K$$M\supseteq K$ normale. Infatti, sia $M\supseteq F_{p}$$M\supseteq F_{p}$ normale, allora $M$$M$ è campo di spezzamento su $F_{p}$$F_{p}$ di un polinomio i cui fattori irriducibili sono separabili. Allora $M$$M$ è anche campo di spezzamento su $K$$K$ di tale polinomio, e i suoi fattori irriducibili in $K[x]$$K[x]$ devono dividere i fattori irriducibili in $F_{p}[x]$$F_{p}[x]$. Siccome i secondi sono separabili per ipotesi, lo sono anche i primi, e quindi segue che $M\supseteq K$$M\supseteq K$ è normale. Inoltre, se ${\mathcal {G}}(M/F_{p})$${\mathcal {G}}(M/F_{p})$ è ciclico, anche ${\mathcal {G}}(M/K)$${\mathcal {G}}(M/K)$, che è un sottogruppo in esso, è ciclico.

Consideriamo allora il caso $K=F_{p}$$K=F_{p}$, identificando $M$$M$ con $F_{p^{n}}$$F_{p^{n}}$.

NORMALITÀ DI $M\supseteq K$$M\supseteq K$: L'estensione $M\supseteq K$$M\supseteq K$ è normale perché $M$$M$ è campo di spezzamento su $F_{p}$$F_{p}$ di $f(x)=x^{p^{n}}-x$$f(x)=x^{p^{n}}-x$ che non ha radici multiple. CICLICITÀ DEL GRUPPO DI GALOIS: considero l'omomorfismo di Frobenius $\phi :M\to M$$\phi :M\to M$ tale che $\phi (\alpha )=\alpha ^{p}$$\phi (\alpha )=\alpha ^{p}$. Osservo che:

1. $\phi$$\phi$ è un omomorfismo perché#*$\phi (\alpha +\beta )=(\alpha +\beta )^{p}=\alpha ^{p}+\beta ^{p}=\phi (\alpha )+\phi (\beta )$$\phi (\alpha +\beta )=(\alpha +\beta )^{p}=\alpha ^{p}+\beta ^{p}=\phi (\alpha )+\phi (\beta )$;#*$\phi (\alpha \beta )=(\alpha \beta )^{p}=\alpha ^{p}\beta ^{p}=\phi (\alpha )*\phi (\beta )$$\phi (\alpha \beta )=(\alpha \beta )^{p}=\alpha ^{p}\beta ^{p}=\phi (\alpha )*\phi (\beta )$.
2. $\phi$$\phi$ è iniettivo perché manda 1 in sé, è anche suriettivo perché $M$$M$ è un campo finito;
3. $\phi$$\phi$ fissa il campo $F_{p}$$F_{p}$ elemento per elemento, cioè per ogni $a\in F_{p}$$a\in F_{p}$, $\phi (a)=a^{p}=a$$\phi (a)=a^{p}=a$.

Segue quindi che $\phi \in {\mathcal {G}}(M/K)$$\phi \in {\mathcal {G}}(M/K)$.

Determino l'ordine di $\phi$$\phi$ e considero le sue potenze: per ogni $k$$k$, $\phi ^{k}:M\to M$$\phi ^{k}:M\to M$ è tale che $\phi ^{k}(\alpha )=\alpha ^{p^{k}}$$\phi ^{k}(\alpha )=\alpha ^{p^{k}}$. Allora $\phi ^{n}=1$$\phi ^{n}=1$, perché è tale che $\alpha \mapsto \alpha ^{p^{n}}=\alpha$$\alpha \mapsto \alpha ^{p^{n}}=\alpha$.

Se per assurdo $o(\phi )<n$$o(\phi )<n$, esiste $d<n$$d<n$ tale che $\phi ^{d}=1$$\phi ^{d}=1$, allora per ogni $\alpha \in M$$\alpha \in M$ si avrebbe $\alpha ^{p^{d}}=\alpha$$\alpha ^{p^{d}}=\alpha$: quindi gli elementi di $M$$M$ sarebbero radici del polinomio $f(x)=x^{p^{d}}-x$$f(x)=x^{p^{d}}-x$; ma questo polinomio ha esattamente $p^{d}$$p^{d}$ radici distinte, e gli elementi di $M$$M$ sono $p^{n}>p^{d}$$p^{n}>p^{d}$, assurdo. Allora $o(\phi )=n$$o(\phi )=n$.

Segue quindi che ${\mathcal {G}}(M/K)$${\mathcal {G}}(M/K)$ contiene $<\phi >=\{1,\phi ,\phi ^{2},\dots ,\phi ^{n-1}\}$$<\phi >=\{1,\phi ,\phi ^{2},\dots ,\phi ^{n-1}\}$. Ma $o({\mathcal {G}}(M/K))=|M:K|=n$$o({\mathcal {G}}(M/K))=|M:K|=n$, e quindi ${\mathcal {G}}(M/K)$${\mathcal {G}}(M/K)$ coincide con il gruppo ciclico generato da $\phi$$\phi$.

Un gruppo ciclico $G$$G$ di ordine $n$$n$ ha uno e un solo sottogruppo ciclico di ordine $m$$m$ per ogni $m$$m$ divisore di $n$$n$. Allora $F_{p^{n}}$$F_{p^{n}}$ ha uno e un solo sottocampo di ordine $p^{m}$$p^{m}$ per ogni $m$$m$ divisore di $n$$n$.

Esempio di un campo di spezzamento non normale

In caratteristica 0, ogni campo di spezzamento da luogo a una estensione normale perché ogni polinomio irriducibile è separabile.

Non posso nemmeno scegliere di lavorare con campi finiti, infatti mostro che ogni polinomio irriducibile su un campo finito è anche separabile. Sia $K=F_{p}$$K=F_{p}$ e $f(x)$$f(x)$ un polinomio in $K[x]$$K[x]$ monico e irriducibile; sia $\alpha$$\alpha$ una radice di $f(x)$$f(x)$, e considero $K(\alpha )\supseteq K$$K(\alpha )\supseteq K$. Si ha $|K(\alpha ):K|={\rm {{gr}(f(x))=n}}$$|K(\alpha ):K|={\rm {{gr}(f(x))=n}}$, allora $K(\alpha )=F_{p^{n}}$$K(\alpha )=F_{p^{n}}$. $F_{p^{n}}\supseteq F_{p}$$F_{p^{n}}\supseteq F_{p}$ è normale per le osservazioni precedenti, quindi $K(\alpha )\supseteq K$$K(\alpha )\supseteq K$ è normale, e $f(x)$$f(x)$ ammette una radice in $K(\alpha )$$K(\alpha )$. Segue quindi che $f(x)$$f(x)$ si spezza su $K(\alpha )$$K(\alpha )$ in fattori lineari distinti, e inparticolare è separabile.

Questo argomento si può generalizzare al caso di $K=F_{p^{s}}$$K=F_{p^{s}}$ con $s$$s$ intero.

COSTRUZIONE DEL CAMPO DI SPEZZAMENTO NON NORMALE: Sia $F=F_{p}$$F=F_{p}$, $t$$t$ un'indeterminata su $F$$F$ e consideriamo $M=F(t)$$M=F(t)$ campo delle funzioni razionali nell'indeterminata $t$$t$ a coefficienti in $F$$F$. Sia $K=F(t^{p})$$K=F(t^{p})$, campo delle funzioni razionali nell'indeterminata $t^{p}$$t^{p}$. Valgono le seguenti osservazioni:

• $t\notin K$$t\notin K$, perché se lo fosse, si avrebbe $t={\frac {f(t^{p})}{g(t^{p})}}$$t={\frac {f(t^{p})}{g(t^{p})}}$ dove $f(t),g(t)$$f(t),g(t)$ sono polinomi in $F[t]$$F[t]$, $g\neq 0$$g\neq 0$. Sia $n={\rm {{gr}(f(t))}}$$n={\rm {{gr}(f(t))}}$ e $m={\rm {{gr}(g(t))}}$$m={\rm {{gr}(g(t))}}$, allora
  $$t={\frac {f(t^{p})}{g(t^{p})}}$$

  $$t={\frac {f(t^{p})}{g(t^{p})}}$$
  $$\longrightarrow \,t*g(t^{p})=f(t^{p})$$

  $$\longrightarrow \,t*g(t^{p})=f(t^{p})$$
  e i gradi dei polinomi ai due membri devono essere uguali, cioè $mp+1=np$$mp+1=np$, che non può avvenire.

• $M=K(t)$$M=K(t)$ e $M\supseteq K$$M\supseteq K$ è un'estensione algebrica semplice. Mostro che $M=K(t)$$M=K(t)$, e quindi che valgono le due inclusioni: $K(t)\subseteq M$$K(t)\subseteq M$ perché $K\subseteq M$$K\subseteq M$ e $t\in M$$t\in M$; viceversa, $M=F(t)$$M=F(t)$, $F\subseteq K$$F\subseteq K$ e quindi $M\subseteq K(t)$$M\subseteq K(t)$.

$t$$t$ è algebrico su $K$$K$, perché può essere visto come radice del polinomio $\psi (x)=x^{p}-t^{p}$$\psi (x)=x^{p}-t^{p}$, a coefficienti in $K$$K$.

Inoltre, $\psi (x)$$\psi(x)$ è il polinomio minimo di $t$$t$ sopra $K$$K$. Infatti, in $M$$M$ si ha $\psi (x)=(x-t)^{p}$$\psi (x)=(x-t)^{p}$ (siamo in caratteristica $p$$p$ e $t\in M$$t\in M$). Se esiste una fattorizzazione non banale di $\psi (x)$$\psi(x)$ in $K[x]$$K[x]$ essa dev'essere della forma:

$$\psi (x)=(x-t)^{a}*(x-t)^{b},\,0<a,b<p$$

$$\psi (x)=(x-t)^{a}*(x-t)^{b},\,0<a,b<p$$

Sviluppando $(x-t)^{a}$$(x-t)^{a}$ ottengo

$$(x-t)^{a}=\sum _{k}{\binom {a}{k}}x^{k}t^{a-k}$$

$$(x-t)^{a}=\sum _{k}{\binom {a}{k}}x^{k}t^{a-k}$$

$$=x^{a}-atx^{a-1}+{\hbox{termini di grado minore}}$$

$$=x^{a}-atx^{a-1}+{\hbox{termini di grado minore}}$$

Siccome i coefficienti di questo polinomio devono stare in $K$$K$, in particolare si ha $at\in K$$at\in K$, e siccome $a\neq 0$$a\neq 0$, $t\in K$$t\in K$, ma questo non avviene per quanto detto prima. Allora $\psi (x)$$\psi(x)$ è irriducibile su $K$$K$ ed è il polinomio minimo di $t$$t$ su $K$$K$. Ha come unica radice $t$$t$ di molteplicità $p$$p$.

• Il gruppo ${\mathcal {G}}(M/K)$${\mathcal {G}}(M/K)$ si riduce all'identità. Infatti, siccome $M$$M$ è un'estensione algebrica semplice di $K$$K$, si ha $|M:K|=p$$|M:K|=p$. Allora preso $g\in {\mathcal {G}}(M/K)$$g\in {\mathcal {G}}(M/K)$, $t^{g}$$t^{g}$ dev'essere radice di $\psi (x)$$\psi(x)$, però l'unica radice di $\psi (x)$$\psi(x)$ è $t$$t$, allora $t^{g}=t$$t^{g}=t$, cioè $g$$g$ fissa $K$$K$ e fissa $t$$t$, quindi fissa $M=K(t)$$M=K(t)$, cioè $g=1$$g=1$.
• $M=K(t)$$M=K(t)$ è campo di spezzamento di $\psi (x)$$\psi(x)$ su $K$$K$, e $M\supseteq K$$M\supseteq K$ non è normale perché $M$$M$ non è separabile.