Teorema 2.5
Sia
un'estensione di grado finito, allora sono equivalenti le seguenti affermazioni:
è un'estensione normale
è separabile su
e
è campo di spezzamento di un polinomio
su
.
è campo di spezzamento su
di un polinomio i cui fattori irriducibili sono separabili.
Dimostrazione
: prima mostro che
è separabile su
. Prendo
, e considero il suo polinomio minimo
.
Poiché
ammette una radice
e l'estensione
è normale, allora
si spezza su
in fattori lineari distinti (per un risultato sulle estensioni normali dimostrato parlando di stabilita', precisamente il Lemma 0.2.4 della Lezione del 17 marzo). Allora
è separabile pertanto lo è
.
Consideriamo ora una base
per
su
; siccome
è finita ciascun
è algebrico su
, e sia
il polinomio minimo di
su
. Poniamo
. Mostro che
è campo di spezzamento di
su
.
Ciascun
si spezza su
in fattori lineari (distinti), e quindi anche
si spezza su
in fattori lineari. Osservo che
, infatti ovviamente
, e viceversa, siccome gli
sono una base per
su
, ogni elemento
si può scrivere come

allora

.
Sia

il campo di spezzamento di

su

. Siccome

si spezza in fattori lineari su

,

per la minimalità di

. Viceversa,

e

essendo radici di

. Ma

è un campo e quindi contiene

.
: per ipotesi
è il campo di spezzamento su
di un certo polinomio
a coefficienti in
. Sia

la fattorizzazione in irriducibili di

in
![{\displaystyle K[x]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/8a9e6c2ac2830d6a9abe078b47450777c41d69a9)
. Ciascun

è il polinomio minimo di ogni sua radice, e le radici di ciascun

sono tutte in

. Dall'ipotesi che

è separabile segue che ogni

dev'essere separabile.
: per mostrare che
è normale è sufficiente mostrare che
con
. Infatti, sappiamo che
, e
, inoltre
è sempre normale. Consideriamo la catena di estensioni
. Allora
; di conseguenza, per la normalità di
,
, quindi

Se provo che

, sostituendo nella formula precedente ottengo che

, cioè

cioè

, e quindi

è normale.
Per mostrare la relazione, procedo per induzione sul grado di
su
. Se
, non c'è niente da dimostrare, perché
. Allora posso supporre
. Per ipotesi
è campo di spezzamento su
di un polinomio
, i cui fattori irriducibili sono separabili.
significa che
ammette un fattore
irriducibile di grado
. Considero
radice di
, che esiste perché
è campo di spezzamento di
, e sia
.
è separabile quindi
.
Pongo
.
agisce su
e lo stabilizzatore di
(indicato con
) è
. Allora
(cardinalità dell'orbita). Inoltre
agisce transitivamente su
, infatti dato
, esiste un isomorfismo
tale che
e
.
è campo di spezzamento per
su
, e quindi anche per
sia su
che su
. Allora, per un lemma dimostrato parlando dell'unicità dei campi di spezzamento,
si solleva a un automorfismo
di
che manda
in
ed è l'identità su
, cioè esiste
con
.
Allora
, e
(relazione 1).
Considero la catena di estensioni
, e
perché
.
è campo di spezzamento per
su
e quindi anche per
su
. I fattori irriducibili di
in
dividono quelli di
in
. Allora siccome i secondi sono separabili, anche i primi sono separabili. Per induzione,
.
Per concludere, sfruttando l'ipotesi induttiva e il fatto che
, si ha

Da questa dimostrazione si evince il seguente fatto: sia
un'estensione di campi, con
campo di spezzamento su
di un certo polinomio
. Sia
un polinomio irriducibile e sia

Se

, allora

agisce
transitivamente su

.