Condizioni equivalenti alla normalità di un'estensione

Teorema 2.5

Sia $M\supseteq K$$M\supseteq K$ un'estensione di grado finito, allora sono equivalenti le seguenti affermazioni:

1. $M\supseteq K$$M\supseteq K$ è un'estensione normale
2. $M$$M$ è separabile su $K$$K$ e $M$$M$ è campo di spezzamento di un polinomio $f(x)$$f(x)$ su $K$$K$.
3. $M$$M$ è campo di spezzamento su $K$$K$ di un polinomio i cui fattori irriducibili sono separabili.

 

Dimostrazione

$1\longrightarrow 2$$1\longrightarrow 2$: prima mostro che $M$$M$ è separabile su $K$$K$. Prendo $\alpha \in M$$\alpha \in M$, e considero il suo polinomio minimo $g(x)\in K[x]$$g(x)\in K[x]$. Poiché $g(x)$$g(x)$ ammette una radice $\alpha \in M$$\alpha \in M$ e l'estensione $M\supseteq K$$M\supseteq K$ è normale, allora $g(x)$$g(x)$ si spezza su $M$$M$ in fattori lineari distinti (per un risultato sulle estensioni normali dimostrato parlando di stabilita', precisamente il Lemma 0.2.4 della Lezione del 17 marzo). Allora $g(x)$$g(x)$ è separabile pertanto lo è $\alpha$$\alpha$. Consideriamo ora una base $\{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r}\}$$\{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r}\}$ per $M$$M$ su $K$$K$; siccome $M\supseteq K$$M\supseteq K$ è finita ciascun $\alpha _{i}$$\alpha _{i}$ è algebrico su $K$$K$, e sia $f_{i}(x)\in K[x]$$f_{i}(x)\in K[x]$ il polinomio minimo di $\alpha _{i}$$\alpha _{i}$ su $K$$K$. Poniamo $f(x)=f_{1}(x)*f_{2}(x)*\dots *f_{r}(x)\in K[x]$$f(x)=f_{1}(x)*f_{2}(x)*\dots *f_{r}(x)\in K[x]$. Mostro che $M$$M$ è campo di spezzamento di $f$$f$ su $K$$K$.

Ciascun $f_{i}(x)$$f_{i}(x)$ si spezza su $M$$M$ in fattori lineari (distinti), e quindi anche $f(x)$$f(x)$ si spezza su $M$$M$ in fattori lineari. Osservo che $M=K(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r})$$M=K(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r})$, infatti ovviamente $K(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r})\subseteq M$$K(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r})\subseteq M$, e viceversa, siccome gli $\alpha _{i}$$\alpha _{i}$ sono una base per $M$$M$ su $K$$K$, ogni elemento $\xi \in M$$\xi \in M$ si può scrivere come

$$\xi =\sum _{i=1}^{r}k_{i}\alpha _{i},\,k_{i}\in K,$$

$$\xi =\sum _{i=1}^{r}k_{i}\alpha _{i},\,k_{i}\in K,$$

allora $\xi \in K(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r})$$\xi \in K(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r})$.
Sia $M_{0}$$M_0$ il campo di spezzamento di $f(x)$$f(x)$ su $K$$K$. Siccome $f(x)$$f(x)$ si spezza in fattori lineari su $M$$M$, $M_{0}\subseteq M$$M_{0}\subseteq M$ per la minimalità di $M_{0}$$M_0$. Viceversa, $K\subseteq M_{0}$$K\subseteq M_{0}$ e $\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{r}\in M_{0}$$\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{r}\in M_{0}$ essendo radici di $f$$f$. Ma $M_{0}$$M_0$ è un campo e quindi contiene $K(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r})=M$$K(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r})=M$.

$2\longrightarrow 3$$2\longrightarrow 3$: per ipotesi $M$$M$ è il campo di spezzamento su $K$$K$ di un certo polinomio $f(x)$$f(x)$ a coefficienti in $K$$K$. Sia

$$f(x)=f_{1}(x)*f_{2}(x)*\dots *f_{r}(x)$$

$$f(x)=f_{1}(x)*f_{2}(x)*\dots *f_{r}(x)$$

la fattorizzazione in irriducibili di $f(x)$$f(x)$ in $K[x]$$K[x]$. Ciascun $f_{i}$$f_{i}$ è il polinomio minimo di ogni sua radice, e le radici di ciascun $f_{i}(x)$$f_{i}(x)$ sono tutte in $M$$M$. Dall'ipotesi che $M\supseteq K$$M\supseteq K$ è separabile segue che ogni $f_{i}$$f_{i}$ dev'essere separabile.

$3\longrightarrow 1$$3\longrightarrow 1$: per mostrare che $M\supseteq K$$M\supseteq K$ è normale è sufficiente mostrare che $|M:K|=o(G)$$|M:K|=o(G)$ con $G={\mathcal {G}}(M/K)$$G={\mathcal {G}}(M/K)$. Infatti, sappiamo che $K''\supseteq K$$K''\supseteq K$, e ${\mathcal {G}}(M/K)={\mathcal {G}}(M/K'')$${\mathcal {G}}(M/K)={\mathcal {G}}(M/K'')$, inoltre $M\supseteq K''$$M\supseteq K''$ è sempre normale. Consideriamo la catena di estensioni $M\supseteq K''\supseteq K$$M\supseteq K''\supseteq K$. Allora $|M:K|=|M:K''|*|K'':K|$$|M:K|=|M:K''|*|K'':K|$; di conseguenza, per la normalità di $K''$$K''$, $|M:K''|=o({\mathcal {G}}(M/K''))=o({\mathcal {G}}(M/K))$$|M:K''|=o({\mathcal {G}}(M/K''))=o({\mathcal {G}}(M/K))$, quindi

$$|M:K|=o(G)*|K'':K|.$$

$$|M:K|=o(G)*|K'':K|.$$

Se provo che $o(G)=|M:K|$$o(G)=|M:K|$, sostituendo nella formula precedente ottengo che $o(G)=o(G)*|K'':K|$$o(G)=o(G)*|K'':K|$, cioè $|K'':K|=1$$|K'':K|=1$ cioè $K''=K$$K''=K$, e quindi $M\supseteq K$$M\supseteq K$ è normale.

Per mostrare la relazione, procedo per induzione sul grado di $M$$M$ su $K$$K$. Se $M=K$$M=K$, non c'è niente da dimostrare, perché $G=\{1\}$$G=\{1\}$. Allora posso supporre $M\neq K$$M\neq K$. Per ipotesi $M$$M$ è campo di spezzamento su $K$$K$ di un polinomio $f(x)$$f(x)$, i cui fattori irriducibili sono separabili. $M\neq K$$M\neq K$ significa che $f(x)$$f(x)$ ammette un fattore $g(x)\in K[x]$$g(x)\in K[x]$ irriducibile di grado $r>1$$r>1$. Considero $\alpha \in M$$\alpha \in M$ radice di $g(x)$$g(x)$, che esiste perché $M$$M$ è campo di spezzamento di $f$$f$, e sia $\Omega =\{\beta \in M\,t.c.\,g(\beta )=0\}$$\Omega =\{\beta \in M\,t.c.\,g(\beta )=0\}$. $g(x)$$g(x)$ è separabile quindi $|\Omega |=r$$|\Omega |=r$.

Pongo $L=K(\alpha )$$L=K(\alpha )$. $G={\mathcal {G}}(M/K)$$G={\mathcal {G}}(M/K)$ agisce su $\Omega$$\Omega$ e lo stabilizzatore di $\alpha$$\alpha$ (indicato con $G_{\alpha }$$G_{\alpha }$) è $L'$$L'$. Allora $|G:L'|=|\alpha ^{G}|$$|G:L'|=|\alpha ^{G}|$ (cardinalità dell'orbita). Inoltre $G$$G$ agisce transitivamente su $\Omega$$\Omega$, infatti dato $\beta \in \Omega$$\beta \in \Omega$, esiste un isomorfismo $\sigma :K(\alpha )\to K(\beta )$$\sigma :K(\alpha )\to K(\beta )$ tale che $\alpha \mapsto \beta$$\alpha \mapsto \beta$ e $\sigma _{|_{K}}=1_{K}$$\sigma _{|_{K}}=1_{K}$. $M$$M$ è campo di spezzamento per $f(x)$$f(x)$ su $K$$K$, e quindi anche per $f(x)$$f(x)$ sia su $K(\alpha )$$K(\alpha )$ che su $K(\beta )$$K(\beta )$. Allora, per un lemma dimostrato parlando dell'unicità dei campi di spezzamento, $\sigma$$\sigma$ si solleva a un automorfismo $g$$g$ di $M$$M$ che manda $\alpha$$\alpha$ in $\beta$$\beta$ ed è l'identità su $K$$K$, cioè esiste $g\in G$$g\in G$ con $\alpha ^{g}=\beta$$\alpha ^{g}=\beta$. Allora $\alpha ^{G}=\Omega$$\alpha ^{G}=\Omega$, e $|G:L'|=|\alpha ^{G}|=|\Omega |=r$$|G:L'|=|\alpha ^{G}|=|\Omega |=r$ (relazione 1).

Considero la catena di estensioni $M\supseteq L=K(\alpha )\supseteq K$$M\supseteq L=K(\alpha )\supseteq K$, e $|M:L|<|M:K|$$|M:L|<|M:K|$ perché $r=|M:K|>1$$r=|M:K|>1$. $M$$M$ è campo di spezzamento per $f(x)$$f(x)$ su $K$$K$ e quindi anche per $f(x)$$f(x)$ su $L$$L$. I fattori irriducibili di $f$$f$ in $L[x]$$L[x]$ dividono quelli di $f(x)$$f(x)$ in $K[x]$$K[x]$. Allora siccome i secondi sono separabili, anche i primi sono separabili. Per induzione, $|M:L|=o({\mathcal {G}}(M/L))=o(L')$$|M:L|=o({\mathcal {G}}(M/L))=o(L')$.

Per concludere, sfruttando l'ipotesi induttiva e il fatto che $|L:K|=r$$|L:K|=r$, si ha

$$|M:K|=|M:L|*|L:K|=o(L')*r=o(L')*|G:L'|=o(G)$$

$$|M:K|=|M:L|*|L:K|=o(L')*r=o(L')*|G:L'|=o(G)$$

 

Da questa dimostrazione si evince il seguente fatto: sia $M\supseteq K$$M\supseteq K$ un'estensione di campi, con $M$$M$ campo di spezzamento su $K$$K$ di un certo polinomio $f(x)\in K[x]$$f(x)\in K[x]$. Sia $g(x)\in K[x]$$g(x)\in K[x]$ un polinomio irriducibile e sia

$$\Omega =\{\alpha \in M\,t.c.\,g(\alpha )=0\}$$

$$\Omega =\{\alpha \in M\,t.c.\,g(\alpha )=0\}$$

Se $\Omega \neq \emptyset$$\Omega \neq \emptyset$, allora ${\mathcal {G}}(M/K)$${\mathcal {G}}(M/K)$ agisce transitivamente su $\Omega$$\Omega$.