Traccia e norma

Definizione 3.8

Sia un'estensione normale di grado finito, e considero . Se , definiamo

 

Valgono le seguenti osservazioni:

  • e stanno in . Infatti, dato , se lo applico alla traccia ottengo:
    infatti l'insieme è uguale al gruppo di partenza. Allora viene fissato da ogni elemento di , e siccome è normale, segue che .

Vale un discorso analogo per la norma.

  • è additiva e è moltiplicativa. Infatti

e per le proprietà dei morfismi:

e vale un discorso analogo per la norma.

  • Per , e . Infatti viene fissato da tutti gli elementi del gruppo di Galois.
Esercizio 3.1

Sia un campo di caratteristica 0, allora l'applicazione traccia è suriettiva.

 
Dimostrazione

Per , si ha che

e siccome viene fissato dai :
L'applicazione è -lineare, e , allora è necessariamente suriettiva essendo diversa dall'applicazione banale.

 
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