Ripasso di teoria dei campi

Estensioni di campi

Definizione 1.1

Sia $M$$M$ un campo, e $K$$K$ un sottoanello di $M$$M$, che è a sua volta un campo. Diciamo che $M\supseteq K$$M\supseteq K$ è un'estensione di campi (si scrive anche $M/K$$M/K$). Il campo $M$$M$ può essere visto come spazio vettoriale su $K$$K$. La dimensione di $M$$M$ come spazio vettoriale su $K$$K$ si dice grado dell'estensione, e si indica con $|M:K|$$|M:K|$.

 

Teorema 1.1 (teorema della torre)

Supponiamo di avere $K,L,M$$K,L,M$ campi con $K\subseteq L\subseteq M$$K\subseteq L\subseteq M$, allora $|M:K|$$|M:K|$ è finito se e solo se sono finiti $|M:L|$$|M:L|$ e $|L:K|$$|L:K|$. In tal caso: $|M:K|=|M:L|*|L:K|$$|M:K|=|M:L|*|L:K|$.

 

Dimostrazione

$1\longrightarrow 2$$1\longrightarrow 2$: Supponiamo che $|M:K|$$|M:K|$ sia finito, allora siccome $L\subseteq M$$L\subseteq M$, anche $|L:K|$$|L:K|$ è finito (infatti $L$$L$e' un sottospazio di $M$$M$). Sia inoltre $\{\gamma _{1},\dots ,\gamma _{t}\}$$\{\gamma _{1},\dots ,\gamma _{t}\}$ una base per $M$$M$ su $K$$K$. Allora ogni $\alpha \in M$$\alpha \in M$ si può scrivere come

$$\sum _{i}k_{i}\gamma _{i}$$

$$\sum _{i}k_{i}\gamma _{i}$$

per certi $k_{i}\in K\subseteq L$$k_{i}\in K\subseteq L$, quindi $\{\gamma _{i}\}_{i=1}^{t}$$\{\gamma _{i}\}_{i=1}^{t}$ è un insieme finito di generatori per $M$$M$ su $L$$L$, e anche $|M:L|$$|M:L|$ è finito.

$2\longrightarrow 1$$2\longrightarrow 1$: Viceversa, siano $n=|M:L|<\infty$$n=|M:L|<\infty$ e $m=|L:K|<\infty$$m=|L:K|<\infty$, e siano $\{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}\}$$\{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}\}$ e $\{\beta _{1},\dots ,\beta _{m}\}$$\{\beta _{1},\dots ,\beta _{m}\}$ basi rispettivamente di $M$$M$ su $L$$L$ e di $L$$L$ su $K$$K$. Affermo che ${\mathcal {B}}=\{\alpha _{i}\beta _{j}|i=1,\dots ,n,\,j=1\dots ,m\}$${\mathcal {B}}=\{\alpha _{i}\beta _{j}|i=1,\dots ,n,\,j=1\dots ,m\}$ è una base per $M$$M$ su $K$$K$, infatti:

1. ${\mathcal {B}}$${\mathcal {B}}$ genera $M$$M$. Prendo $\alpha \in M$$\alpha \in M$, allora siccome gli $\{\alpha _{i}\}_{i=1}^{n}$$\{\alpha _{i}\}_{i=1}^{n}$ sono una base per $M$$M$ su $L$$L$ posso scrivere
   $$\alpha =\sum _{i}l_{i}\alpha _{i}$$

   $$\alpha =\sum _{i}l_{i}\alpha _{i}$$
   per certi $l_{i}\in L$$l_{i}\in L$. Inoltre i $\{\beta _{i}\}_{i=1}^{m}$$\{\beta _{i}\}_{i=1}^{m}$ sono una base di $L$$L$ su $K$$K$, quindi per $i=1,\dots ,n$$i=1,\dots ,n$ posso scrivere
   $$l_{i}=\sum _{j}k_{ij}\beta _{j}$$

   $$l_{i}=\sum _{j}k_{ij}\beta _{j}$$
   e sostituendo nell'espressione di $\alpha$$\alpha$:
   $$\alpha =\sum _{i}\sum _{j}k_{ij}\beta _{j}\alpha _{i},$$

   $$\alpha =\sum _{i}\sum _{j}k_{ij}\beta _{j}\alpha _{i},$$
   cioè ${\mathcal {B}}$${\mathcal {B}}$ genera $M$$M$.
2. Gli elementi di ${\mathcal {B}}$${\mathcal {B}}$ sono linearmente indipendenti, infatti supponiamo per assurdo che non lo siano, allora per certi ${\bar {k}}_{ij}\in K$${\bar {k}}_{ij}\in K$ si ha
   $$\sum _{i,j}{\bar {k}}_{ij}\alpha _{i}\beta _{j}=0$$

   $$\sum _{i,j}{\bar {k}}_{ij}\alpha _{i}\beta _{j}=0$$
   $$\longrightarrow \,\sum _{i}(\sum _{j}{\bar {k}}_{ij}\beta _{j})\alpha _{i}=0$$

   $$\longrightarrow \,\sum _{i}(\sum _{j}{\bar {k}}_{ij}\beta _{j})\alpha _{i}=0$$
   Posto ${\bar {l}}_{i}=\sum _{j}{\bar {k}}_{ij}\beta _{j}$${\bar {l}}_{i}=\sum _{j}{\bar {k}}_{ij}\beta _{j}$ la condizione si riscrive come
   $$\sum _{i}{\bar {l}}_{i}\alpha _{i}=0$$

   $$\sum _{i}{\bar {l}}_{i}\alpha _{i}=0$$
   e siccome gli $\{\alpha _{i}\}_{i=1}^{m}$$\{\alpha _{i}\}_{i=1}^{m}$ sono una base per $M$$M$ su $L$$L$, si deve avere ${\bar {l}}_{i}=0,\;\forall i=1,\dots ,n$${\bar {l}}_{i}=0,\;\forall i=1,\dots ,n$, e considerando l'espressione degli ${\bar {l}}_{i}$${\bar {l}}_{i}$, si ha
   $$\sum _{j}{\bar {k}}_{ij}\beta _{j}=0$$

   $$\sum _{j}{\bar {k}}_{ij}\beta _{j}=0$$
   Siccome i $\{\beta _{i}\}_{i=1}^{m}$$\{\beta _{i}\}_{i=1}^{m}$ sono una base per $L$$L$ su $K$$K$, l'unica possibilità per cui la condizione sia verificata è che ${\bar {k}}_{ij}=0,\;\forall i,\forall j$${\bar {k}}_{ij}=0,\;\forall i,\forall j$, cioè segue l'indipendenza lineare degli elementi di ${\mathcal {B}}$${\mathcal {B}}$.

 

Estensioni semplici

Sia $E\supseteq F$$E\supseteq F$ un'estensione di campi, e sia $S$$S$ un sottoinsieme di $E$$E$. Allora indichiamo con $F[S]$$F[S]$ il minimo sottoanello di $E$$E$ contenente $S$$S$ e $F$$F$, cioè $F[S]:=\bigcap R$$F[S]:=\bigcap R$ al variare di $R$$R$ sottoanello di $E$$E$ tale che $F,S\subset R$$F,S\subset R$ ovvero

$$F[S]:=\bigcap _{R\,sottoanello\,di\,E\,con\,F,S\subseteq R}R.$$

$$F[S]:=\bigcap _{R\,sottoanello\,di\,E\,con\,F,S\subseteq R}R.$$

Indichiamo invece con $F(S)$$F(S)$ il minimo sottocampo di $E$$E$ contenente $S,F$$S,F$, cioè $F(S):=\bigcap K$$F(S):=\bigcap K$, al variare di $K$$K$ sottocampo di $E$$E$ tale che $F,S\subset K$$F,S\subset K$, ovvero

$$F(S):=\bigcap _{K\,sottocampo\,di\,E,\,con\,F,S\subseteq K}K.$$

$$F(S):=\bigcap _{K\,sottocampo\,di\,E,\,con\,F,S\subseteq K}K.$$

In particolare, quando $S=\{\alpha \}$$S=\{\alpha \}$, il minimo sottoanello e sottocampo si indicano rispettivamente con $F[\alpha ],F(\alpha )$$F[\alpha ],F(\alpha )$.

Più in generale, dato $S=\{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}\},\,\alpha _{i}\in E$$S=\{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}\},\,\alpha _{i}\in E$, posso scrivere $F[\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}]$$F[\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}]$ per indicare $F[S]$$F[S]$ e $F(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})$$F(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})$ per indicare $F(S)$$F(S)$, eliminando le parentesi graffe che racchiudono il contenuto degli insiemi.

Elementi algebrici e trascendenti

Sia $\alpha \in E$$\alpha \in E$, e' facile convincersi che

$$F[\alpha ]=\{f(\alpha ):\,f(x)\in F[x]\}$$

$$F[\alpha ]=\{f(\alpha ):\,f(x)\in F[x]\}$$

$$F(\alpha )=\{f(\alpha )g(\alpha )^{-1}:\,f(x),g(x)\in F[x],\,g(\alpha )\neq 0\}$$

$$F(\alpha )=\{f(\alpha )g(\alpha )^{-1}:\,f(x),g(x)\in F[x],\,g(\alpha )\neq 0\}$$

Per caratterizzare ulteriormente l'anello $F[\alpha ]$$F[\alpha ]$ e il campo $F(\alpha )$$F(\alpha )$ devo distinguere due casi:

Definizione 1.2

1. $\alpha$$\alpha$ si dice algebrico su $F$$F$ se esiste un polinomio non nullo in $F[x]$$F[x]$ che ammette $\alpha$$\alpha$ come radice.
2. $\alpha$$\alpha$ si dice trascendente su $F$$F$ altrimenti, ovvero se l'unico polinomio di $F[x]$$F[x]$ che si annulla in $\alpha$$\alpha$ è il polinomio nullo.

 

Definizione 1.3

Indico con $\phi _{\alpha }$$\phi _{\alpha }$ l'omomorfismo di valutazione$\colon F[x]\to E$$\colon F[x]\to E$ tale che $g(x)\mapsto g(\alpha )$$g(x)\mapsto g(\alpha )$, così l'immagine di $\phi _{\alpha }$$\phi _{\alpha }$ è $F[\alpha ]$$F[\alpha ]$ ($x$$x$ una indeterminata su $F$$F$).

 

CASO 1: se $\alpha$$\alpha$ è trascendente su $F$$F$, $\ker \phi _{\alpha }=\{0\}$$\ker \phi _{\alpha }=\{0\}$, allora l'omomorfismo di valutazione è iniettivo e $F[\alpha ]\cong F[x]$$F[\alpha ]\cong F[x]$. Inoltre $\phi _{\alpha }$$\phi _{\alpha }$ si solleva (in modo unico) a un omomorfismo iniettivo, ${\bar {\phi }}_{\alpha }:F(x)\to E$${\bar {\phi }}_{\alpha }:F(x)\to E$, tale che ${\frac {f(x)}{g(x)}}\mapsto f(\alpha )g(\alpha )^{-1}$${\frac {f(x)}{g(x)}}\mapsto f(\alpha )g(\alpha )^{-1}$, la cui immagine coincide con $F(\alpha )$$F(\alpha )$. Abbiamo quindi $F(\alpha )\cong F(x)$$F(\alpha )\cong F(x)$ dove $F(x)$$F(x)$ è il campo delle funzioni razionali su $F$$F$.

CASO 2: se $\alpha$$\alpha$ è algebrico su $F$$F$, esiste in $F[x]$$F[x]$ un polinomio monico, di grado minimo tra i polinomi non nulli in $F[x]$$F[x]$ che ammettono $\alpha$$\alpha$ come radice. Dalla definizione segue subito che è unico e irriducibile in $F[x]$$F[x]$, e viene chiamato il polinomio minimo di $\alpha$$\alpha$ e indicato con $m(x)$$m(x)$. Osservo che $\ker \phi _{\alpha }$$\ker \phi _{\alpha }$ coincide con l'ideale generato da $m(x)$$m(x)$, e quindi $F[\alpha ]\cong {\frac {F[x]}{(m(x))}}$$F[\alpha ]\cong {\frac {F[x]}{(m(x))}}$. Il polinomio $m(x)$$m(x)$ è irriducibile e quindi $(m(x))$$(m(x))$ è massimale in $F[x]$$F[x]$, allora ${\frac {F[x]}{(m(x))}}$${\frac {F[x]}{(m(x))}}$ è un campo, e quindi deduco che $F[\alpha ]=F(\alpha )$$F[\alpha ]=F(\alpha )$.