Definizione 1.1
Sia
un campo, e
un sottoanello di
, che è a sua volta un campo. Diciamo che
è un'estensione di campi (si scrive anche
). Il campo
può essere visto come spazio vettoriale su
. La dimensione di
come spazio vettoriale su
si dice
grado dell'estensione, e si indica con
.
Teorema 1.1 (teorema della torre)
Supponiamo di avere
campi con
, allora
è finito se e solo se sono finiti
e
.
In tal caso:
.
Dimostrazione
:
Supponiamo che
sia finito, allora siccome
, anche
è finito (infatti
e' un sottospazio di
). Sia inoltre
una base per
su
.
Allora ogni
si può scrivere come

per certi

, quindi

è un insieme finito di generatori per

su

, e anche

è finito.
:
Viceversa, siano
e
, e siano
e
basi rispettivamente di
su
e di
su
.
Affermo che
è una base per
su
, infatti:
genera
. Prendo
, allora siccome gli
sono una base per
su
posso scrivere
per certi
. Inoltre i
sono una base di
su
, quindi per
posso scrivere
e sostituendo nell'espressione di
:
cioè
genera
.
- Gli elementi di
sono linearmente indipendenti, infatti supponiamo per assurdo che non lo siano, allora per certi
si ha

Posto
la condizione si riscrive come
e siccome gli
sono una base per
su
, si deve avere
, e considerando l'espressione degli
, si ha
Siccome i
sono una base per
su
, l'unica possibilità per cui la condizione sia verificata è che
, cioè segue l'indipendenza lineare degli elementi di
.
Sia
un'estensione di campi, e sia
un sottoinsieme di
. Allora indichiamo con
il minimo sottoanello di
contenente
e
,
cioè
al variare di
sottoanello di
tale che
ovvero
![{\displaystyle F[S]:=\bigcap _{R\,sottoanello\,di\,E\,con\,F,S\subseteq R}R.}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/e7c938029a903ef6dc857dfba264a4b0c331f2d9)
Indichiamo invece con

il minimo sottocampo di

contenente

, cioè

, al variare di

sottocampo di

tale che

,
ovvero

In particolare, quando

, il minimo sottoanello e sottocampo si indicano rispettivamente con
![{\displaystyle F[\alpha ],F(\alpha )}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/d11d9ab5e7e979548c937bdd28a68520548003be)
.
Più in generale, dato
, posso scrivere
per indicare
e
per indicare
, eliminando le parentesi graffe che racchiudono il contenuto degli insiemi.
Sia
, e' facile convincersi che
![{\displaystyle F[\alpha ]=\{f(\alpha ):\,f(x)\in F[x]\}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/76653c736c4b1a3551acc7da03fbbbae810c68fb)
![{\displaystyle F(\alpha )=\{f(\alpha )g(\alpha )^{-1}:\,f(x),g(x)\in F[x],\,g(\alpha )\neq 0\}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/74f8b3cdf45853348eadd6321c98b4f90ab24928)
Per caratterizzare ulteriormente l'anello
![{\displaystyle F[\alpha ]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/68c26d367d77663c1f2f0553b97d96fd4678514c)
e il campo

devo distinguere due casi:
Definizione 1.2
si dice algebrico su
se esiste un polinomio non nullo in
che ammette
come radice.
si dice trascendente su
altrimenti, ovvero se l'unico polinomio di
che si annulla in
è il polinomio nullo.
Definizione 1.3
Indico con
l'omomorfismo di valutazione
tale che
, così l'immagine di
è
(
una indeterminata su
).
CASO 1: se
è trascendente su
,
, allora l'omomorfismo di valutazione è iniettivo e
.
Inoltre
si solleva (in modo unico) a un omomorfismo iniettivo,
, tale che
, la cui immagine coincide con
. Abbiamo quindi
dove
è il campo delle funzioni razionali su
.
CASO 2: se
è algebrico su
, esiste in
un polinomio monico, di grado minimo tra i polinomi non nulli in
che ammettono
come radice.
Dalla definizione segue subito che è unico e irriducibile in
, e viene chiamato il polinomio minimo di
e indicato con
.
Osservo che
coincide con l'ideale generato da
, e quindi
. Il polinomio
è irriducibile e quindi
è
massimale in
, allora
è un campo, e quindi deduco che
.