Campo di spezzamento di un polinomio

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 1.4

Sia un campo, e un polinomio di grado . Un campo sidice di spezzamento per il polinomio sul campo se:

  1. si spezza su in fattori lineari, cioè esistono non necessariamente distinti ed esiste tale che
  2. su nessun sottocampo proprio di si spezza in fattori lineari, o equivalentemente è il più piccolo campo che contiene e le radici di .
 

Esistenza del campo di spezzamento[modifica | modifica wikitesto]

Proposizione 1.1

Sia un campo e un polinomio irriducibile di grado . Allora esiste un campo che soddisfa queste tre proprietà:

  1. ;
  2. ;
  3. ammette una radice in .
 
Dimostrazione

è irriducibile su , quindi è massimale in , e è un campo. Chiamo la proiezione canonica definita da , per .

Sia

Allora

  1. la restrizione di a , è iniettiva, quindi . Inoltre .Identificando gli elementi di con gli elementi di , segue che e è verificata la condizione I).
  2. gli elementi di si scrivono in modo unico nella forma , al variare di tali che .Gli elementi costituiscono una base per su , e quindi , ed è verificata la condizione 2.
  3. pongo , e considero . Preso un generico polinomio , per le proprietà di omomorfismo segue che
    e siccome :
    In particolare, , e quindi ammette la radice e è verificata la condizione III).
 


Proposizione 1.2

Sia un campo, un polinomio, di grado . Allora esiste un campo che soddisfa queste tre proprietà:

  1. ammette tutte le sue radici in .
 
Dimostrazione

La dimostrazione è per induzione su .

Se o se si spezza in fattori lineari su , basta prendere . Allora posso supporre , e che esista un fattore irriducibile di in . Così . Applicando la proposizione precedente al polinomio che è irriducibile, esiste un campo tale che , , e tale che ammette una radice .

è anche radice di , quindi in posso scrivere

con polinomio di grado . Allora per l'ipotesi induttiva esiste un campo che estende , con e tale che ammette tutte le sue radici in . Ma le radici di sono tutte e sole e le radici di , e quindi sono tutte contenute in , inoltre per il teorema della torre
quindi soddisfa le tre condizioni richieste.

 

Unicità di un campo di spezzamento[modifica | modifica wikitesto]

Osservazione 1.1

Supponiamo di avere due campi, , e di avere un isomorfismo . Allora induce un isomorfismo di anelli, che chiamo ancora , tale che .

 


Proposizione 1.3

Siano due campi, un isomorfismo. Considero un polinomio monico e irriducibile su , e pongo .

Suppongo di avere due estensioni e , e siano e radici di e di rispettivamente. Allora esiste un unico isomorfismo , tale che , e tale che ristretto a sia uguale a .

 
Dimostrazione

Osserviamo che è algebrico su , quindi l'anello e chiamo l'isomorfismo dato dall'omomorfismo di valutazione, e vale un ragionamento analogo per e quindi esiste un isomorfismo .

Considero il seguente diagramma:

Considero l'applicazione . è un omomorfismo suriettivo, inoltre perché
allora , e siccome l'ideale è massimale in , allora perché non è identicamente nullo, infatti ad esempio
Quindi ho un isomorfismo , tale che , dove .

Il diagramma considerato prima si riduce a

Allora posso considerare . Inoltre
Inoltre se restringo il dominio di a . Infati, dato , segue che
L'unicità di segue dal fatto che è determinato univocamente il modo in cui agisce su e su .

 


Proposizione 1.4

Dati due campi e un isomorfismo, considero , monico di grado , e chiamo .

Supponiamo che sia un campo di spezzamento per il polinomio su , ed un campo di spezzamento per su . Allora esiste un isomorfismo che ristretto a coincide con .

 

Nel caso particolare in cui e è l'identità si ottiene che il campo di spezzamento di un polinomio su è unico a meno di isomorfismi che sono la identita' su

.
Dimostrazione

La dimostrazione è per induzione sul grado di su . Se , il teorema è vero, perché .

Notiamo anche che se ha tutte le sue radici in .

In caso contrario, possiamo considerare un fattore irriducibile di , con .

Chiamo . Siano una radice di in e una radice di in . Allora per la proposizione precedente, esiste un isomorfismo tale che se ristretta a .

è campo di spezzamento per su , e quindi è anche campo di spezzamento per su . Analogamente è campo di spezzamento per su , e dunque anche campo di spezzamento per su . Inoltre, , e quindi posso applicare l'ipotesi induttiva.

 
 PrecedenteSuccessivo