Due chiusure algebriche in un campo
sono isomorfe secondo un isomorfismo che è l'identità su
, sebbene in modo non canonico perché ci sono più isomorfismi tra due chiusure algebriche.
Consideriamo un contesto più generale: sia
un campo,
un campo algebricamente chiuso, e sia
un'estensione di campi con
algebrico su
. Sia
un omomorfismo (iniettivo), mostriamo che
si solleva a un omomorfismo
.
Rappresentando questo in un diagramma: se chiamo
l'inclusione
, si ha

e voglio provare che posso chiudere il diagramma con una freccia diagonale da

a

.
CASO 1:
ESTENSIONE ALGEBRICA SEMPLICE. Sia
il polinomio minimo di
su
,
, e sia
, allora
.
Sia
una radice di
, per un risultato precedente esiste un (unico) isomorfismo
tale che
, e che ristretto a
coincide con
. Se compongo
con l'inclusione
, ottengo un
omomorfismo

che solleva

.
Se
è un omomorfismo che solleva
, allora
è radice di
, infatti applicando
all'uguaglianza
ottengo
. Poiché
è algebricamente chiuso,
contiene tutte le radici di
, allora i sollevamenti di
sono tanti quante le radici di
ovvero di
.
CASO 2: CASO GENERALE. Vale il seguente
Teorema 1.4
Siano
un campo e
un campo algebricamente chiuso,
un omomorfismo. Sia
un'estensione algebrica di campi, allora esiste un omomorfismo
che solleva
.
Dimostrazione
Per la dimostrazione si utilizza il lemma di Zorn. Sia
insieme delle coppie
dove
è un campo,
e
è un omomorfismo che solleva
.
è non vuoto perché almeno la coppia
. Dati
, ordiniamo
ponendo
se
,
.
Questa è una relazione d'ordine parziale.
Sia
una catena in
. Mostro che questa catena ha un maggiorante in
.
Considero
allora
è un campo con
, e la mappa
tale che
. Allora
è ben definito e la coppia
è un maggiorante per la catena.
(Nota: se ho
una catena in
, pongo
e
).
Per il lemma di Zorn
ha un elemento massimale
in
. Voglio provare che
.
Supponiamo per assurdo che questo non sia vero e quindi che
, allora posso prendere
e considerare
. Si ha il diagramma:

Per il caso 1 esiste

omomorfismo che solleva

, e quindi che solleva

, cioè

, contro la massimalità della coppia

.
Sia
,
un'estensione algebrica, allora
si solleva a
. Supponiamo che
sia algebricamente chiuso, e
algebrico su
. Allora
è ancora algebricamente chiuso: infatti, preso un polinomio
, esso sarà della forma

In particolare

,

. Se

è la preimmagine di

, allora per ipotesi esso ha tutte le radici in

, allora

ha tutte le sue radici in

.
Inoltre
, e contiene
.
è algebrico su
, e quindi anche su
, ma siccome
è algebricamente chiuso non ammette estensioni algebriche proprie e quindi è uguale a
.
In particolare, due chiusure algebriche di un campo
sono isomorfe secondo un isomorfismo che è l'identità su
.