Definizione 4.1
Sia
un'estensione di campi, allora
con
si dice radice
-esima dell'unità, e si dice radice primitiva se
.
L'estensione
si dice
-esima estensione ciclotomica.
Sia
campo di spezzamento su
di
. Se
ha caratteristica 0 oppure ha caratteristica
con
numero primo e
, allora le radici
-esime dell'unità formano un gruppo ciclico di ordine
, che ha
generatori con
funzione di Eulero (nota
), cioè
radici sono primitive.
Infatti, se prendo
con
, anche il loro prodotto è una radice
-esima dell'unità, quindi le radici
-esime dell'unità formano un sottogruppo del gruppo moltiplicativo del campo. Il polinomio
non ha radici multiple quindi ha
radici distinte.
Più in generale,
Lemma 4.1
Dato un sottogruppo finito
del gruppo moltiplicativo
di un campo, esso è necessariamente ciclico.
Dimostrazione
Sia
, dove
è primo per ogni
e
per
.
Considero il polinomio
, che in
ha al più
radici.
Siccome
ha
elementi, essi non possono essere tutte radici. Allora esiste
con
. Definisco

Osservo che


Se pongo

, siccome

è commutativo, si ha che

, cioè

genera

che è ciclico.
Si definisce funzione
di Eulero la funzione
definita da:
e per 

La funzione di Eulero soddisfa le seguenti proprietà:
- Se
è primo,
e
.
- Se
,
(
è moltiplicativa).
Per il teorema fondamentale dell'aritmetica, ogni numero può essere fattorizzato nella forma
. Quindi per le proprietà precedenti:


Se
ha caratteristica
, e
, posso scrivere
con
. Le radici
-esime dell'unità sono radici di
, e quindi sono radici
-me dell'unita'.
Sia
, per la formula di de Moivre le radici
-esime dell'unità nei complessi sono

(sono i vertici di un

-agono regolare, che ha un vertice in

).
Tali radici dividono il cerchio unitario in

archi uguali (da qui il nome di estensione ciclotomica).
Esempio 4.1
- Se
, l'unica radice dell'unità è
.
- Se
, le radici seconde dell'unità sono
,
.
- Se
, le radici terze dell'unità sono
,
,
.
- Se
, le radici quarte dell'unità sono
,
,
,
.
- Se
, le radici ottave dell'unità sono radici di
. Tra queste, le radici di
sono quelle primitive, se pongo
, le radiciprimitive sono della forma
con
coprimo con 8, e sono, oltre a
stesso


Invece le radici di
non hanno ordine 8 (sono radici quarte di
).
Definizione 4.2
Si dice n-esimo polinomio ciclotomico il polinomio

dove chiamo

l'insieme delle radici

-esime primitive dell'unità.
Se
, le radici
-esime primitive dell'unità sono tutte e sole le potenze della forma
con
coprimo con
. Quindi

Esempio 4.2 (esempi di polinomi ciclotomici)
- Se
, l'unica radice prima dell'unità è 1, quindi
.
- Se
, le radici seconde dell'unità sono
, e solo
è primitiva, quindi
.
- Se
primo, le radici
-esime primitive dell'unità sono tutte le potenze
. Quindi
con
. Siccome
, moltiplicando e dividendo
per l'unico fattore che manca, cioè per
, si ha
Lemma 4.2
Vale la formula

Dimostrazione
Mostro che
è una radice
-esima dell'unità se e solo se
è una radice
-esima primitiva dell'unità con
divisore di
.
: Le radici
-esime dell'unità formano un gruppo ciclico di ordine
generato da
.
Se prendo una potenza
, segue che
. Posto
,
è un divisore di
e
è una radice
-esima primitiva dell'unita'. Dunque
e' una radice di
.
: Viceversa, se
è una radice primitiva
-esima dell'unità, con
, allora
e
, per un certo
. Allora anche
, cioè
è una radice
-esima dell'unità.
CONCLUSIONE: Sappiamo che

dove chiamo

l'insieme delle radici

-esime dell'unità, e sfruttando le osservazioni precedenti, posso raggruppare le radici e scrivere:


Conseguenza: Dato

numero primo, si ha

da cui

Esempio 4.3 (calcolo di polinomi ciclotomici)
- Se
,
da cui
ma
, quindi, fattorizzando anche il numeratore:

- Se
:

e siccome
:
- Se
,


In particolare, se chiamo
, si ha
Lemma 4.3
Per ogni
,
è un polinomio a coefficienti interi, monico di grado
.
Dimostrazione
Bisogna dimostrare che
, e lo mostriamo per induzione su
.
Per
,
e l'asserto è vero.
Supponiamo che l'asserto valga per tutti i polinomi ciclotomici
con
, e lo dimostriamo per
.
Per il lemma precedente,
, allora, separando l'ultimo termine del prodotto, possiamo scrivere

e per induzione per

si ha
![{\displaystyle \phi _{d}(x)\in \mathbb {Z} [x]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/ac8da22f930a712f6392b4f8c5fdad036b98a9c2)
e quindi, posto

, si ha che

è a coefficienti interi.
Pongo


Supponiamo per assurdo che

non sia a coefficienti interi; sia

, e

.
Svolgendo il prodotto
il coefficiente di
è dato da

ed escluso

, gli altri termini della somma sono interi perché i

sono interi per induzione e gli

sono interi per costruzione. Ma allora, il fatto che

non sia intero è assurdo, perché il risultato del prodotto dev'essere il polinomio

che è a coefficienti interi.
Teorema 4.1 (irriducibilità dei polinomi ciclotomici)
Il polinomio
è irriducibile in
per ogni
.
Dimostrazione
Per il lemma di Gauss, basta dimostrare che il polinomio è irriducibile in
. Supponiamo che
si possa scrivere come prodotto
con
polinomi a coefficienti interi,
e
irriducibile (e
e
monici).
Mostriamo che
: vogliamo quindi provare che ogni radice
-esima primitiva dell'unità è radice di
.
è un polinomio di grado positivo che ammette una radice nei complessi, cioè esiste
con
. Allora
, e
è una radice primitiva
-esima dell'unità.
Dobbiamo mostrare che
con
, e consideriamo i due casi seguenti:
- SIA
PRIMO TALE CHE
. Allora
è una radice primitiva
-esima dell'unità, e
. Supponiamo che
, allora si avrà
. Segue che
ammette
come radice, ma anche
ammette
come radice, quindi
e
hanno in comune il fattore
.In particolare,
, ma
è irriducibile, e l'unica possibilità è che
, cioè vale l'uguaglianza
e il lemma di Gauss ci assicura che
.Guardiamo l'ultima uguaglianza in
, e, indicando con una barra i polinomi coinvolti i cui coefficienti sono stati ridotti modulo
, otteniamo
Mostro che in caratteristica
risulta
: Sia
, allora


Allora l'uguaglianza
si riscrive come
Se considero
un fattore irriducibile di
(
potrebbe non essere irriducibile in
!), segue che
.Abbiamo anche che
, e quindi
, allora in
:
e dal fatto che
hanno un fattore irriducibile in comune, segue che
ha una radice di molteplicità maggiore di 1. Ma questo e' assurdo, perché la derivata di
è
perché
. Quindi
, rimane allora provato che
.
- SIA
TALE CHE
. Allora
dove i
sono numeri primi non necessariamente distinti. Per la parte precedente,
è radice di
, perché
ed è primo. Posso quindi applicare nuovamente la parte precedente con
radice di
e
, eottengo che anche
è radice di
.
Procedendo in questo modo, arrivo a dire che
è radice di
.
Sia
e considero
.
E' chiaro che
per ogni
radice primitiva
-esima dell'unita'. Poi
è normale, perché
è campo di spezzamento su
di
.
Il gruppo
può essere descritto in due modi (equivalenti):
- come il gruppo degli automorfismi di un gruppo ciclico
di ordine
, indicato con
.
- come il gruppo degli elementi invertibili dell'anello
, indicato con
.
Sia
un gruppo ciclico di ordine
, generato da
, e sia
un automorfismo di
in sé. Allora
è determinato da
, e
con
e quindi
. Viceversa, se
è tale che
, l'omomorfismo da
in
, definito da
determina un automorfismo di
.
Quindi
.
Mostriamo che
.
Possiamo assumere che
. Se
è invertibile, considero l'applicazione
che manda
in
, allora:
è un automorfismo di
additivo, infatti
è iniettiva, infatti
implica
e moltiplicando per
ottengo
;
è suriettivo: infatti, dato
, esso ha come preimmagine
, infatti si ha
.
Allora
.
L'applicazione che manda
in
è un omomorfismo iniettivo di gruppi, da
a
. Infatti, se
(cioe' se
)
allora
per ogni
. In particolare per
si ha
cioè
, quindi l'omomorfismo
e' iniettivo.
Inoltre
allora
.
Concludiamo provando che
dove
è il gruppo ciclico di ordine
generato da
.
Infatti, dato
,
e' ancora una radice
-esima dell'unita',
ovvero
. Considero la mappa
tale che
. Questo omomorfismo di gruppi è iniettivo, infatti dati
,
implica
, e quindi
coincidono su tutto
(infatti, essendo elementi di
, essi fissano
elemento per elemento e quindi coincidono su
).
La conclusione segue dal fatto che, siccome il polinomio ciclotomico
è il polinomio minimo di
su
, si ha
, e quindi
.
In particolare
è sempre abeliano, e se
,
è un gruppo ciclico di ordine
.