Estensioni ciclotomiche

Radici primitive dell'unità

Definizione 4.1

Sia $M\supseteq K$$M\supseteq K$ un'estensione di campi, allora $\omega \in M$$\omega \in M$ con $\omega ^{n}=1$$\omega ^{n}=1$ si dice radice $n$$n$-esima dell'unità, e si dice radice primitiva se $\omega ^{k}\neq 1,\;\forall k=1,\dots ,n-1$$\omega ^{k}\neq 1,\;\forall k=1,\dots ,n-1$.

L'estensione $K(\omega )\supseteq K$$K(\omega )\supseteq K$ si dice $n$$n$-esima estensione ciclotomica.

 

Osservazione 4.1

Sia $M$$M$ campo di spezzamento su $K$$K$ di $x^{n}-1$$x^{n}-1$. Se $K$$K$ ha caratteristica 0 oppure ha caratteristica $p$$p$ con $p$$p$ numero primo e $p\nmid n$$p\nmid n$, allora le radici $n$$n$-esime dell'unità formano un gruppo ciclico di ordine $n$$n$, che ha $\varphi (n)$$\varphi (n)$ generatori con $\varphi$$\varphi$ funzione di Eulero (nota $\ast$$\ast$), cioè $\varphi (n)$$\varphi (n)$ radici sono primitive.

Infatti, se prendo $\omega ,\varepsilon \in M$$\omega ,\varepsilon \in M$ con $\omega ^{n}=1=\varepsilon ^{n}$$\omega ^{n}=1=\varepsilon ^{n}$, anche il loro prodotto è una radice $n$$n$-esima dell'unità, quindi le radici $n$$n$-esime dell'unità formano un sottogruppo del gruppo moltiplicativo del campo. Il polinomio $x^{n}-1$$x^{n}-1$ non ha radici multiple quindi ha $n$$n$ radici distinte.

 

Più in generale,

Lemma 4.1

Dato un sottogruppo finito $G$$G$ del gruppo moltiplicativo $K^{*}$$K^{*}$ di un campo, esso è necessariamente ciclico.

 

Dimostrazione

Sia $n=o(G)=p_{1}^{n_{1}}*p_{2}^{n_{2}}*\dots *p_{r}^{n_{r}}$$n=o(G)=p_{1}^{n_{1}}*p_{2}^{n_{2}}*\dots *p_{r}^{n_{r}}$, dove $p_{i}$$p_{i}$ è primo per ogni $i$$i$ e $p_{i}\neq p_{j}$$p_{i}\neq p_{j}$ per $i\neq j$$i \neq j$.

Considero il polinomio $x^{n/p_{i}}-1$$x^{n/p_{i}}-1$, che in $K$$K$ ha al più $n/p_{i}$$n/p_{i}$ radici.

Siccome $G$$G$ ha $n$$n$ elementi, essi non possono essere tutte radici. Allora esiste $b_{i}\in G$$b_{i}\in G$ con $b_{i}^{n/p_{i}}\neq 1$$b_{i}^{n/p_{i}}\neq 1$. Definisco

$$a_{i}=b_{i}^{\frac {n}{p_{i}^{n_{i}}}},\,i=1,\dots ,r$$

$$a_{i}=b_{i}^{\frac {n}{p_{i}^{n_{i}}}},\,i=1,\dots ,r$$

Osservo che

$$a_{i}^{p_{i}^{n_{i}}}=b_{i}^{n}=1\,\longrightarrow \,o(a_{i})\mid p_{i}^{n_{i}}$$

$$a_{i}^{p_{i}^{n_{i}}}=b_{i}^{n}=1\,\longrightarrow \,o(a_{i})\mid p_{i}^{n_{i}}$$

$$a_{i}^{p_{i}^{n_{i}-1}}=b_{i}^{n/p_{i}}\neq 1\,\longrightarrow \,o(a_{i})=p_{i}^{n_{i}}.$$

$$a_{i}^{p_{i}^{n_{i}-1}}=b_{i}^{n/p_{i}}\neq 1\,\longrightarrow \,o(a_{i})=p_{i}^{n_{i}}.$$

Se pongo $g:=a_{1}*a_{2}*\dots *a_{r}$$g:=a_{1}*a_{2}*\dots *a_{r}$, siccome $K^{*}$$K^{*}$ è commutativo, si ha che $o(g)=l.c.m.(o(a_{i}))_{i=1,\dots ,r}=l.c.m.(p_{i}^{n_{i}})_{i=1,\dots ,r}=n$$o(g)=l.c.m.(o(a_{i}))_{i=1,\dots ,r}=l.c.m.(p_{i}^{n_{i}})_{i=1,\dots ,r}=n$, cioè $g$$g$ genera $G$$G$ che è ciclico.

 

Nota

Si definisce funzione $\varphi$$\varphi$ di Eulero la funzione $\varphi :\mathbb {N} ^{\ast }\rightarrow \mathbb {N} ^{\ast }$$\varphi :\mathbb {N} ^{\ast }\rightarrow \mathbb {N} ^{\ast }$ definita da: $\varphi (1)=1$$\varphi (1)=1$ e per $n>1$$n>1$

$$\varphi (n):=|\{k\in \mathbb {N} \,t.c.\,0<k<n\;{\textrm {e}}\;M.C.D.(k,n)=1\}|$$

$$\varphi (n):=|\{k\in \mathbb {N} \,t.c.\,0<k<n\;{\textrm {e}}\;M.C.D.(k,n)=1\}|$$

La funzione di Eulero soddisfa le seguenti proprietà:

1. Se $p$$p$ è primo, $\varphi (p)=p-1$$\varphi (p)=p-1$ e $\varphi (p^{n})=p^{n}-p^{n-1}=p^{n-1}*(p-1)$$\varphi (p^{n})=p^{n}-p^{n-1}=p^{n-1}*(p-1)$.
2. Se $M.C.D.(m,n)=1$$M.C.D.(m,n)=1$, $\varphi (mn)=\varphi (n)*\varphi (m)$$\varphi (mn)=\varphi (n)*\varphi (m)$ ($\varphi$$\varphi$ è moltiplicativa).

Per il teorema fondamentale dell'aritmetica, ogni numero può essere fattorizzato nella forma $n=p_{1}^{n_{1}}*p_{2}^{n_{2}}*\dots *p_{r}^{n_{r}}$$n=p_{1}^{n_{1}}*p_{2}^{n_{2}}*\dots *p_{r}^{n_{r}}$. Quindi per le proprietà precedenti:

$$\varphi (n)=\varphi (p_{1}^{n_{1}})*\varphi (p_{2}^{n_{2}})*\dots *\varphi (p_{n}^{n_{r}})$$

$$\varphi (n)=\varphi (p_{1}^{n_{1}})*\varphi (p_{2}^{n_{2}})*\dots *\varphi (p_{n}^{n_{r}})$$

$$=p_{1}^{n_{1}-1}*p_{2}^{n_{2}-1}*\dots *p_{r}^{n_{r}-1}*(p_{1}-1)*(p_{2}-1)*\dots *(p_{r}-1).$$

$$=p_{1}^{n_{1}-1}*p_{2}^{n_{2}-1}*\dots *p_{r}^{n_{r}-1}*(p_{1}-1)*(p_{2}-1)*\dots *(p_{r}-1).$$

Osservazione 4.2

Se $K$$K$ ha caratteristica $p$$p$, e $p\mid n$$p\mid n$, posso scrivere $n=p^{s}*m$$n=p^{s}*m$ con $p\nmid m$$p\nmid m$. Le radici $n$$n$-esime dell'unità sono radici di $x^{n}-1=x^{p^{s}*m}-1=(x^{m}-1)^{p^{s}}$$x^{n}-1=x^{p^{s}*m}-1=(x^{m}-1)^{p^{s}}$, e quindi sono radici $m$$m$-me dell'unita'.

 

Polinomi ciclotomici

Sia $K=\mathbb {Q}$$K=\mathbb {Q}$, per la formula di de Moivre le radici $n$$n$-esime dell'unità nei complessi sono

$$\omega =\cos(2\pi k/n)+i\sin(2\pi k/n),\,k=0,\dots ,n-1$$

$$\omega =\cos(2\pi k/n)+i\sin(2\pi k/n),\,k=0,\dots ,n-1$$

(sono i vertici di un $n$$n$-agono regolare, che ha un vertice in $\omega _{0}=(1,0)$$\omega _{0}=(1,0)$). Tali radici dividono il cerchio unitario in $n$$n$ archi uguali (da qui il nome di estensione ciclotomica).

Esempio 4.1

• Se $n=1$$n=1$, l'unica radice dell'unità è $1=\cos(2\pi )+i\sin(2\pi )$$1=\cos(2\pi )+i\sin(2\pi )$.
• Se $n=2$$n=2$, le radici seconde dell'unità sono $\omega _{0}=1$$\omega _{0}=1$, $\omega _{1}=\cos(\pi )+\sin(\pi )=-1$$\omega _{1}=\cos(\pi )+\sin(\pi )=-1$.
• Se $n=3$$n=3$, le radici terze dell'unità sono $\omega _{0}=1$$\omega _{0}=1$, $\omega _{1}=\cos(2\pi /3)+i\sin(2\pi /3)=-1/2+i{\sqrt {3}}/2$$\omega _{1}=\cos(2\pi /3)+i\sin(2\pi /3)=-1/2+i{\sqrt {3}}/2$, $\omega _{2}=\cos(4\pi /3)+i\sin(4\pi /3)=-1/2-i{\sqrt {3}}/2$$\omega _{2}=\cos(4\pi /3)+i\sin(4\pi /3)=-1/2-i{\sqrt {3}}/2$.
• Se $n=4$$n=4$, le radici quarte dell'unità sono $\omega _{0}=1$$\omega _{0}=1$, $\omega _{1}=\cos(\pi /2)+i\sin(\pi /2)=i$$\omega _{1}=\cos(\pi /2)+i\sin(\pi /2)=i$, $\omega _{2}=\cos(\pi )+i\sin(\pi )=-1$$\omega _{2}=\cos(\pi )+i\sin(\pi )=-1$, $\omega 3=\cos(3\pi /2)+i\sin(3\pi /2)=-i$$\omega 3=\cos(3\pi /2)+i\sin(3\pi /2)=-i$.
• Se $n=8$$n=8$, le radici ottave dell'unità sono radici di $x^{8}-1=(x^{4}-1)*(x^{4}+1)$$x^{8}-1=(x^{4}-1)*(x^{4}+1)$. Tra queste, le radici di $x^{4}+1$$x^{4}+1$ sono quelle primitive, se pongo $\omega =\omega _{1}=\cos(\pi /4)+i\sin(\pi /4)={\sqrt {2}}/2+i{\sqrt {2}}/2$$\omega =\omega _{1}=\cos(\pi /4)+i\sin(\pi /4)={\sqrt {2}}/2+i{\sqrt {2}}/2$, le radiciprimitive sono della forma $\omega ^{k}$$\omega ^{k}$ con $k$$k$ coprimo con 8, e sono, oltre a $\omega$$\omega$ stesso
  $$\omega ^{3}=-{\sqrt {2}}/2+i{\sqrt {2}}/2$$

  $$\omega ^{3}=-{\sqrt {2}}/2+i{\sqrt {2}}/2$$
  $$\omega ^{5}=-{\sqrt {2}}/2-i{\sqrt {2}}/2$$

  $$\omega ^{5}=-{\sqrt {2}}/2-i{\sqrt {2}}/2$$
  $$\omega ^{7}={\sqrt {2}}/2-i{\sqrt {2}}/2.$$

  $$\omega ^{7}={\sqrt {2}}/2-i{\sqrt {2}}/2.$$

Invece le radici di $x^{4}-1$$x^{4}-1$ non hanno ordine 8 (sono radici quarte di $1$$1$).

 

Polinomio ciclotomico

Definizione 4.2

Si dice n-esimo polinomio ciclotomico il polinomio

$$\phi _{n}(x):=\prod _{\xi \in \Omega _{p}}(x-\xi )$$

$$\phi _{n}(x):=\prod _{\xi \in \Omega _{p}}(x-\xi )$$

dove chiamo $\Omega _{p}$$\Omega_p$ l'insieme delle radici $n$$n$-esime primitive dell'unità.

 

Se $\omega =\cos(2\pi /n)+i\sin(2\pi /n)$$\omega =\cos(2\pi /n)+i\sin(2\pi /n)$, le radici $n$$n$-esime primitive dell'unità sono tutte e sole le potenze della forma $\omega ^{k}$$\omega ^{k}$ con $k$$k$ coprimo con $n$$n$. Quindi

$$\phi _{n}(x)=\prod _{M.C.D.(k,n)=1,\,k=0}^{n-1}(x-\omega ^{k})$$

$$\phi _{n}(x)=\prod _{M.C.D.(k,n)=1,\,k=0}^{n-1}(x-\omega ^{k})$$

Esempio 4.2 (esempi di polinomi ciclotomici)

1. Se $n=1$$n=1$, l'unica radice prima dell'unità è 1, quindi $\phi _{1}(x)=x-1$$\phi _{1}(x)=x-1$.
2. Se $n=2$$n=2$, le radici seconde dell'unità sono $\omega _{1}=1,\omega _{2}=-1$$\omega _{1}=1,\omega _{2}=-1$, e solo $\omega _{2}$$\omega _{2}$ è primitiva, quindi $\phi _{2}(x)=x+1$$\phi _{2}(x)=x+1$.
3. Se $n=p$$n=p$ primo, le radici $p$$p$-esime primitive dell'unità sono tutte le potenze $\omega ^{k},k=1,\dots ,p-1$$\omega ^{k},k=1,\dots ,p-1$. Quindi
   $$\phi _{p}(x)=\prod _{k=1}^{p-1}(x-\omega ^{k})$$

   $$\phi _{p}(x)=\prod _{k=1}^{p-1}(x-\omega ^{k})$$
   con $\omega =\cos(2\pi /p)+i\sin(2\pi /p)$$\omega =\cos(2\pi /p)+i\sin(2\pi /p)$. Siccome $x^{p}-1=\prod _{k=0}^{p-1}(x-\omega ^{k})$$x^{p}-1=\prod _{k=0}^{p-1}(x-\omega ^{k})$, moltiplicando e dividendo $\phi _{p}(x)$$\phi _{p}(x)$ per l'unico fattore che manca, cioè per $x-1$$x-1$, si ha
   $$\phi _{p}(x)={\frac {x^{p}-1}{x-1}}=x^{p-1}+x^{p-2}+\dots +x+1$$

   $$\phi _{p}(x)={\frac {x^{p}-1}{x-1}}=x^{p-1}+x^{p-2}+\dots +x+1$$

 

Calcolo di polinomi ciclotomici

Lemma 4.2

Vale la formula

$$x^{n}-1=\prod _{d\mid n}\phi _{d}(x).$$

$$x^{n}-1=\prod _{d\mid n}\phi _{d}(x).$$

 

Dimostrazione

Mostro che $\omega$$\omega$ è una radice $n$$n$-esima dell'unità se e solo se $\omega$$\omega$ è una radice $d$$d$-esima primitiva dell'unità con $d$$d$ divisore di $n$$n$.

$1\longrightarrow 2$$1\longrightarrow 2$: Le radici $n$$n$-esime dell'unità formano un gruppo ciclico di ordine $n$$n$ generato da $\omega$$\omega$. Se prendo una potenza $\omega ^{k}$$\omega ^{k}$, segue che $o(\omega ^{k})={\frac {n}{M.C.D.(n,k)}}$$o(\omega ^{k})={\frac {n}{M.C.D.(n,k)}}$. Posto $d:={\frac {n}{M.C.D.(n,k)}}$$d:={\frac {n}{M.C.D.(n,k)}}$, $d$$d$ è un divisore di $n$$n$ e $\omega ^{k}$$\omega ^{k}$ è una radice $d$$d$-esima primitiva dell'unita'. Dunque $\omega ^{k}$$\omega ^{k}$e' una radice di $\phi _{d}(x)$$\phi _{d}(x)$. $2\longrightarrow 1$$2\longrightarrow 1$: Viceversa, se $\alpha$$\alpha$ è una radice primitiva $d$$d$-esima dell'unità, con $d\mid n$$d\mid n$, allora $\alpha ^{d}=1$$\alpha ^{d}=1$ e $n=dc$$n=dc$, per un certo $c\in \mathbb {N}$$c\in \mathbb {N}$. Allora anche $\alpha ^{n}=1$$\alpha ^{n}=1$, cioè $\alpha$$\alpha$ è una radice $n$$n$-esima dell'unità.

CONCLUSIONE: Sappiamo che

$$x^{n}-1=\prod _{\varepsilon \in \Omega }(x-\varepsilon )$$

$$x^{n}-1=\prod _{\varepsilon \in \Omega }(x-\varepsilon )$$

dove chiamo $\Omega$$\Omega$ l'insieme delle radici $n$$n$-esime dell'unità, e sfruttando le osservazioni precedenti, posso raggruppare le radici e scrivere:

$$x^{n}-1=\prod _{d\mid n}\prod _{o(\varepsilon )=d}(x-\varepsilon ).$$

$$x^{n}-1=\prod _{d\mid n}\prod _{o(\varepsilon )=d}(x-\varepsilon ).$$

$$=\prod _{d\mid n}\phi _{d}(x)$$

$$=\prod _{d\mid n}\phi _{d}(x)$$

 

Conseguenza: Dato $n=p$$n=p$ numero primo, si ha

$$x^{p}-1=\prod _{d\mid p}\phi _{d}(x)=\phi _{1}(x)*\phi _{p}(x)$$

$$x^{p}-1=\prod _{d\mid p}\phi _{d}(x)=\phi _{1}(x)*\phi _{p}(x)$$

da cui

$$\phi _{p}(x)={\frac {x^{p}-1}{\phi _{1}(x)}}={\frac {x^{p}-1}{x-1}}=x^{p-1}+x^{p-2}+\dots +x+1$$

$$\phi _{p}(x)={\frac {x^{p}-1}{\phi _{1}(x)}}={\frac {x^{p}-1}{x-1}}=x^{p-1}+x^{p-2}+\dots +x+1$$

Esempio 4.3 (calcolo di polinomi ciclotomici)

1. Se $n=6$$n=6$,
   $$x^{6}-1=\prod _{d\mid 6}\phi _{d}(x)=\phi _{1}(x)*\phi _{2}(x)*\phi _{3}(x)*\phi _{6}(x)$$

   $$x^{6}-1=\prod _{d\mid 6}\phi _{d}(x)=\phi _{1}(x)*\phi _{2}(x)*\phi _{3}(x)*\phi _{6}(x)$$
   da cui
   $$\phi _{6}(x)={\frac {x^{6}-1}{\phi _{1}(x)*\phi _{2}(x)*\phi _{3}(x)}}$$

   $$\phi _{6}(x)={\frac {x^{6}-1}{\phi _{1}(x)*\phi _{2}(x)*\phi _{3}(x)}}$$
   ma $\phi _{1}(x)*\phi _{3}(x)=x^{3}-1$$\phi _{1}(x)*\phi _{3}(x)=x^{3}-1$, quindi, fattorizzando anche il numeratore:
   $$\phi _{6}(x)={\frac {(x^{3}-1)(x^{3}+1)}{\phi _{2}(x)*(x^{3}-1)}}$$

   $$\phi _{6}(x)={\frac {(x^{3}-1)(x^{3}+1)}{\phi _{2}(x)*(x^{3}-1)}}$$
   $$\phi _{6}(x)={\frac {x^{3}+1}{x+1}}=x^{2}-x+1$$

   $$\phi _{6}(x)={\frac {x^{3}+1}{x+1}}=x^{2}-x+1$$
2. Se $n=4$$n=4$:
   $$x^{4}-1=\phi _{1}(x)*\phi _{2}(x)*\phi _{4}(x)$$

   $$x^{4}-1=\phi _{1}(x)*\phi _{2}(x)*\phi _{4}(x)$$
   $$\phi _{4}(x)={\frac {(x^{2}-1)(x^{2}+1)}{\phi _{1}(x)*\phi _{2}(x)}}$$

   $$\phi _{4}(x)={\frac {(x^{2}-1)(x^{2}+1)}{\phi _{1}(x)*\phi _{2}(x)}}$$
   e siccome $\phi _{1}(x)*\phi _{2}(x)=x^{2}-1$$\phi _{1}(x)*\phi _{2}(x)=x^{2}-1$:
   $$\phi _{4}(x)=x^{2}+1$$

   $$\phi _{4}(x)=x^{2}+1$$
3. Se $n=8$$n=8$,
   $$\phi _{8}(x)={\frac {x^{8}-1}{\phi _{1}(x)*\phi _{2}(x)*\phi _{4}(x)}}$$

   $$\phi _{8}(x)={\frac {x^{8}-1}{\phi _{1}(x)*\phi _{2}(x)*\phi _{4}(x)}}$$
   $$={\frac {x^{8}-1}{x^{4}-1}}$$

   $$={\frac {x^{8}-1}{x^{4}-1}}$$
   $$=x^{4}+1$$

   $$=x^{4}+1$$
   In particolare, se chiamo $\omega =\cos(\pi /4)+i\sin(\pi /4)$$\omega =\cos(\pi /4)+i\sin(\pi /4)$, si ha
   $$\phi _{8}(x)=x^{4}+1=(x-\omega )(x-\omega ^{3})(x-\omega ^{5})(x-\omega ^{7})$$

   $$\phi _{8}(x)=x^{4}+1=(x-\omega )(x-\omega ^{3})(x-\omega ^{5})(x-\omega ^{7})$$

 

Proprietà dei polinomi ciclotomici

Lemma 4.3

Per ogni $n\geq 1$$n\geq 1$, $\phi _{n}(x)$$\phi _{n}(x)$ è un polinomio a coefficienti interi, monico di grado $\varphi (n)$$\varphi (n)$.

 

Dimostrazione

Bisogna dimostrare che $\phi _{n}(x)\in \mathbb {Z} [x]$$\phi _{n}(x)\in \mathbb {Z} [x]$, e lo mostriamo per induzione su $n$$n$.

Per $n=1$$n=1$, $\phi _{1}(x)=x-1$$\phi _{1}(x)=x-1$ e l'asserto è vero. Supponiamo che l'asserto valga per tutti i polinomi ciclotomici $\phi _{r}(x)$$\phi _{r}(x)$ con $r<n$$r<n$, e lo dimostriamo per $n$$n$.

Per il lemma precedente, $x^{n}-1=\prod _{d\mid n}\phi _{d}(x)$$x^{n}-1=\prod _{d\mid n}\phi _{d}(x)$, allora, separando l'ultimo termine del prodotto, possiamo scrivere

$$x^{n}-1=\phi _{n}(x)*\prod _{d\mid n,\,d<n}\phi _{d}(x)$$

$$x^{n}-1=\phi _{n}(x)*\prod _{d\mid n,\,d<n}\phi _{d}(x)$$

e per induzione per $d<n$$d<n$ si ha $\phi _{d}(x)\in \mathbb {Z} [x]$$\phi _{d}(x)\in \mathbb {Z} [x]$ e quindi, posto $g(x)=\prod _{d\mid n,d<n}\phi _{d}(x)$$g(x)=\prod _{d\mid n,d<n}\phi _{d}(x)$, si ha che $g(x)$$g(x)$ è a coefficienti interi.

Pongo

$$\phi _{n}(x)=x^{r}+a_{r-1}x^{r-1}+\dots +a_{1}x+a_{0},$$

$$\phi _{n}(x)=x^{r}+a_{r-1}x^{r-1}+\dots +a_{1}x+a_{0},$$

$$g(x)=x^{s}+b_{s-1}x^{s-1}+\dots +b_{1}x+b_{0}.$$

$$g(x)=x^{s}+b_{s-1}x^{s-1}+\dots +b_{1}x+b_{0}.$$

Supponiamo per assurdo che $\phi _{n}(x)$$\phi _{n}(x)$ non sia a coefficienti interi; sia $a_{m}\notin \mathbb {Z}$$a_{m}\notin \mathbb {Z}$, e $a_{r-1},\dots ,a_{r-2},\dots a_{m+1}\in \mathbb {Z}$$a_{r-1},\dots ,a_{r-2},\dots a_{m+1}\in \mathbb {Z}$.

Svolgendo il prodotto $\phi _{n}(x)*g(x)$$\phi _{n}(x)*g(x)$ il coefficiente di $x^{m+s}$$x^{m+s}$ è dato da

$$\sum _{i+j=m+s}a_{i}b_{j}=a_{m}+a_{m+1}b_{s-1}+a_{m+2}b_{s-2}+\dots +$$

$$\sum _{i+j=m+s}a_{i}b_{j}=a_{m}+a_{m+1}b_{s-1}+a_{m+2}b_{s-2}+\dots +$$

ed escluso $a_{m}$$a_{m}$, gli altri termini della somma sono interi perché i $b_{i}$$b_{i}$ sono interi per induzione e gli $a_{i},i>m$$a_{i},i>m$ sono interi per costruzione. Ma allora, il fatto che $a_{m}$$a_{m}$ non sia intero è assurdo, perché il risultato del prodotto dev'essere il polinomio $x^{n}-1$$x^{n}-1$ che è a coefficienti interi.

 

Teorema 4.1 (irriducibilità dei polinomi ciclotomici)

Il polinomio $\phi _{n}(x)$$\phi _{n}(x)$ è irriducibile in $\mathbb {Q} [x]$$\mathbb {Q} [x]$ per ogni $n\geq 1$$n\geq 1$.

 

Dimostrazione

Per il lemma di Gauss, basta dimostrare che il polinomio è irriducibile in $\mathbb {Z} [x]$$\mathbb {Z} [x]$. Supponiamo che $\phi _{n}(x)$$\phi _{n}(x)$ si possa scrivere come prodotto $f(x)*g(x)$$f(x)*g(x)$ con $f,g$$f,g$ polinomi a coefficienti interi, ${\rm {{gr}(g(x))>0}}$${\rm {{gr}(g(x))>0}}$ e $g(x)$$g(x)$ irriducibile (e $f(x)$$f(x)$ e $g(x)$$g(x)$ monici).

Mostriamo che $\phi _{n}(x)=g(x)$$\phi _{n}(x)=g(x)$: vogliamo quindi provare che ogni radice $n$$n$-esima primitiva dell'unità è radice di $g(x)$$g(x)$.

$g(x)$$g(x)$ è un polinomio di grado positivo che ammette una radice nei complessi, cioè esiste $\omega \in \mathbb {C}$$\omega \in \mathbb {C}$ con $g(\omega )=0$$g(\omega )=0$. Allora $\phi _{n}(\omega )=0$$\phi _{n}(\omega )=0$, e $\omega$$\omega$ è una radice primitiva $n$$n$-esima dell'unità.

Dobbiamo mostrare che $g(\omega ^{k})=0,\;\forall k=1,\dots ,n$$g(\omega ^{k})=0,\;\forall k=1,\dots ,n$ con $M.C.D.(n,k)=1$$M.C.D.(n,k)=1$, e consideriamo i due casi seguenti:

1. SIA $K=P$$K=P$ PRIMO TALE CHE $M.C.D.(N,P)=1$$M.C.D.(N,P)=1$. Allora $\omega ^{p}$$\omega ^{p}$ è una radice primitiva $n$$n$-esima dell'unità, e $\phi _{n}(\omega ^{p})=0=f(\omega ^{p})*g(\omega ^{p})$$\phi _{n}(\omega ^{p})=0=f(\omega ^{p})*g(\omega ^{p})$. Supponiamo che $g(\omega ^{p})\neq 0$$g(\omega ^{p})\neq 0$, allora si avrà $f(\omega ^{p})=0$$f(\omega ^{p})=0$. Segue che $f(x^{p})$$f(x^{p})$ ammette $\omega$$\omega$ come radice, ma anche $g(x)$$g(x)$ ammette $\omega$$\omega$ come radice, quindi $g(x)$$g(x)$ e $f(x^{p})$$f(x^{p})$ hanno in comune il fattore $x-\omega$$x-\omega$.In particolare, $M.C.D.(f(x^{p}),g(x))\neq 1$$M.C.D.(f(x^{p}),g(x))\neq 1$, ma $g(x)$$g(x)$ è irriducibile, e l'unica possibilità è che $g(x)\mid f(x^{p})$$g(x)\mid f(x^{p})$, cioè vale l'uguaglianza $f(x^{p})=g(x)*h(x)$$f(x^{p})=g(x)*h(x)$ e il lemma di Gauss ci assicura che $h(x)\in \mathbb {Z} [x]$$h(x)\in \mathbb {Z} [x]$.Guardiamo l'ultima uguaglianza in $F_{p}[x]$$F_{p}[x]$, e, indicando con una barra i polinomi coinvolti i cui coefficienti sono stati ridotti modulo $p$$p$, otteniamo
   $${\bar {f}}(x^{p})={\bar {g}}(x)*{\bar {h}}(x),\,{\hbox{uguaglianza }}\ast$$

   $${\bar {f}}(x^{p})={\bar {g}}(x)*{\bar {h}}(x),\,{\hbox{uguaglianza }}\ast$$
   Mostro che in caratteristica $p$$p$ risulta ${\bar {f}}(x^{p})=({\bar {f}}(x))^{p}$${\bar {f}}(x^{p})=({\bar {f}}(x))^{p}$: Sia${\bar {f}}(x)=x^{r}+{\bar {a}}_{r-1}x^{r-1}+\dots +{\bar {a}}_{1}x+{\bar {a}}_{0}$${\bar {f}}(x)=x^{r}+{\bar {a}}_{r-1}x^{r-1}+\dots +{\bar {a}}_{1}x+{\bar {a}}_{0}$, allora
   $${\bar {f}}(x^{p})=x^{p}+({\bar {a}}_{r-1}x^{p})^{r-1}+\dots +{\bar {a}}_{1}x^{p}+{\bar {a}}_{0}$$

   $${\bar {f}}(x^{p})=x^{p}+({\bar {a}}_{r-1}x^{p})^{r-1}+\dots +{\bar {a}}_{1}x^{p}+{\bar {a}}_{0}$$
   $$=x^{pr}+{\bar {a}}_{r-1}^{p}x^{p(r-1)}+\dots +{\bar {a}}_{1}^{p}x^{p}+{\bar {a}}_{0}^{p}$$

   $$=x^{pr}+{\bar {a}}_{r-1}^{p}x^{p(r-1)}+\dots +{\bar {a}}_{1}^{p}x^{p}+{\bar {a}}_{0}^{p}$$
   $$=(x^{r}+{\bar {a}}_{r-1}x^{r-1}+\dots +{\bar {a}}_{1}x+a_{0})^{p}=({\bar {f}}(x))^{p}.$$

   $$=(x^{r}+{\bar {a}}_{r-1}x^{r-1}+\dots +{\bar {a}}_{1}x+a_{0})^{p}=({\bar {f}}(x))^{p}.$$
   Allora l'uguaglianza $\ast$$\ast$ si riscrive come
   $$({\bar {f}}(x))^{p}={\bar {g}}(x)*{\bar {h}}(x)$$

   $$({\bar {f}}(x))^{p}={\bar {g}}(x)*{\bar {h}}(x)$$
   Se considero ${\bar {s}}(x)$${\bar {s}}(x)$ un fattore irriducibile di ${\bar {g}}(x)$${\bar {g}}(x)$ (${\bar {g}}(x)$${\bar {g}}(x)$ potrebbe non essere irriducibile in $F_{p}$$F_{p}$!), segue che ${\bar {s}}(x)\mid {\bar {f}}(x)$${\bar {s}}(x)\mid {\bar {f}}(x)$.Abbiamo anche che $x^{n}-1=\phi _{n}(x)*q(x)$$x^{n}-1=\phi _{n}(x)*q(x)$, e quindi $x^{n}-1=f(x)*g(x)*q(x)\in \mathbb {Z} [x]$$x^{n}-1=f(x)*g(x)*q(x)\in \mathbb {Z} [x]$, allora in $F_{p}$$F_{p}$:
   $${\overline {x^{n}-1}}={\bar {f}}(x)*{\bar {g}}(x)*{\bar {q}}(x)$$

   $${\overline {x^{n}-1}}={\bar {f}}(x)*{\bar {g}}(x)*{\bar {q}}(x)$$
   e dal fatto che ${\bar {g}}(x),{\bar {f}}(x)$${\bar {g}}(x),{\bar {f}}(x)$ hanno un fattore irriducibile in comune, segue che ${\overline {x^{n}-1}}$${\overline {x^{n}-1}}$ ha una radice di molteplicità maggiore di 1. Ma questo e' assurdo, perché la derivata di ${\overline {x^{n}-1}}$${\overline {x^{n}-1}}$ è $nx^{n-1}\neq 0$$nx^{n-1}\neq 0$ perché $p\nmid n$$p\nmid n$. Quindi $f(\omega ^{p})\neq 0\in \mathbb {Q}$$f(\omega ^{p})\neq 0\in \mathbb {Q}$, rimane allora provato che $g(\omega ^{p})=0$$g(\omega ^{p})=0$.
2. SIA $K$$K$ TALE CHE $M.C.D.(N,K)=1$$M.C.D.(N,K)=1$. Allora $k=p_{1}*\dots *p_{s}$$k=p_{1}*\dots *p_{s}$ dove i $p_{i}$$p_{i}$ sono numeri primi non necessariamente distinti. Per la parte precedente, $\omega ^{p_{1}}$$\omega ^{p_{1}}$ è radice di $g(x)$$g(x)$, perché $p_{1}\nmid n$$p_{1}\nmid n$ ed è primo. Posso quindi applicare nuovamente la parte precedente con $\omega ^{p_{1}}$$\omega ^{p_{1}}$ radice di $g(x)$$g(x)$ e $k=p_{2}$$k=p_{2}$, eottengo che anche $(\omega ^{p_{1}})^{p_{2}}$$(\omega ^{p_{1}})^{p_{2}}$ è radice di $g(x)$$g(x)$.$\ldots$$\ldots$Procedendo in questo modo, arrivo a dire che $\omega ^{k}$$\omega ^{k}$ è radice di $g(x)$$g(x)$.

 

Gruppo di Galois di un'estensione ciclotomica

Sia $\omega =\cos(2\pi /n)+i\sin(2\pi /n)$$\omega =\cos(2\pi /n)+i\sin(2\pi /n)$ e considero $\mathbb {Q} (\omega )$$\mathbb {Q} (\omega )$. E' chiaro che $\mathbb {Q} (\omega )=\mathbb {Q} (\varepsilon )$$\mathbb {Q} (\omega )=\mathbb {Q} (\varepsilon )$ per ogni $\varepsilon$$\varepsilon$ radice primitiva $n$$n$-esima dell'unita'. Poi $\mathbb {Q} (\omega )\supseteq \mathbb {Q}$$\mathbb {Q} (\omega )\supseteq \mathbb {Q}$ è normale, perché $\mathbb {Q} (\omega )$$\mathbb {Q} (\omega )$ è campo di spezzamento su $\mathbb {Q}$$\mathbb {Q}$ di $x^{n}-1$$x^{n}-1$.

Il gruppo ${\mathcal {G}}(\mathbb {Q} (\omega )/\mathbb {Q} )$${\mathcal {G}}(\mathbb {Q} (\omega )/\mathbb {Q} )$ può essere descritto in due modi (equivalenti):

1. come il gruppo degli automorfismi di un gruppo ciclico $C$$C$ di ordine $n$$n$, indicato con$Aut(C)$$Aut(C)$.
2. come il gruppo degli elementi invertibili dell'anello $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$, indicato con $U_{n}$$U_{n}$.

Sia $C$$C$ un gruppo ciclico di ordine $n$$n$, generato da $a$$a$, e sia $\alpha$$\alpha$ un automorfismo di $C$$C$ in sé. Allora $\alpha$$\alpha$ è determinato da $\alpha (a)$$\alpha (a)$, e $\alpha (a)=a^{k}$$\alpha (a)=a^{k}$ con $o(a)=o(a^{k})$$o(a)=o(a^{k})$ e quindi $M.C.D.(k,n)=1$$M.C.D.(k,n)=1$. Viceversa, se $h$$h$ è tale che $M.C.D.(n,h)=1$$M.C.D.(n,h)=1$, l'omomorfismo da $C$$C$ in $C$$C$, definito da $\alpha (a)=a^{h}$$\alpha (a)=a^{h}$ determina un automorfismo di $C$$C$. Quindi $|Aut(C)|=\varphi (n)$$|Aut(C)|=\varphi (n)$.

Mostriamo che $Aut(C)\cong U_{n}$$Aut(C)\cong U_{n}$.

Possiamo assumere che $C=({\frac {\mathbb {Z} }{n\mathbb {Z} }},+)$$C=({\frac {\mathbb {Z} }{n\mathbb {Z} }},+)$. Se $u\in {\frac {\mathbb {Z} }{n\mathbb {Z} }}$$u\in {\frac {\mathbb {Z} }{n\mathbb {Z} }}$ è invertibile, considero l'applicazione $\phi _{u}:C\rightarrow C$$\phi _{u}:C\rightarrow C$ che manda $a$$a$ in $au$$au$, allora:

1. $\phi _{u}$$\phi _{u}$ è un automorfismo di ${\frac {\mathbb {Z} }{n\mathbb {Z} }}$${\frac {\mathbb {Z} }{n\mathbb {Z} }}$ additivo, infatti
   $$\phi _{u}(a+b)=(a+b)u=au+bu=\phi _{u}(a)+\phi _{u}(b).$$

   $$\phi _{u}(a+b)=(a+b)u=au+bu=\phi _{u}(a)+\phi _{u}(b).$$
2. $\phi _{u}$$\phi _{u}$ è iniettiva, infatti $\phi _{u}(a)=\phi _{u}(b)$$\phi _{u}(a)=\phi _{u}(b)$ implica $ua=ub$$ua=ub$ e moltiplicando per $u^{-1}$$u^{-1}$ ottengo $a=b$$a=b$;
3. $\phi _{u}$$\phi _{u}$ è suriettivo: infatti, dato $b\in {\frac {\mathbb {Z} }{n\mathbb {Z} }}$$b\in {\frac {\mathbb {Z} }{n\mathbb {Z} }}$, esso ha come preimmagine $bu^{-1}$$bu^{-1}$, infatti si ha$\phi _{u}(bu^{-1})=b$$\phi _{u}(bu^{-1})=b$.

Allora $\phi _{u}\in Aut(C)$$\phi _{u}\in Aut(C)$.

L'applicazione che manda $u\in U_{n}$$u\in U_{n}$ in $\phi _{u}\in Aut(C)$$\phi _{u}\in Aut(C)$ è un omomorfismo iniettivo di gruppi, da $U_{n}$$U_{n}$ a $Aut(C)$$Aut(C)$. Infatti, se $u\mapsto 1$$u\mapsto 1$ (cioe' se $\phi (u)=\phi _{u}=1$$\phi (u)=\phi _{u}=1$) allora $au=a$$au=a$ per ogni $a\in C$$a\in C$. In particolare per $a=1$$a=1$ si ha $1*u=1$$1*u=1$ cioè $u=1$$u=1$, quindi l'omomorfismo $\phi$$\phi$e' iniettivo. Inoltre $o(U_{n})=\varphi (n)=o(Aut(C))$$o(U_{n})=\varphi (n)=o(Aut(C))$ allora $U_{n}\cong Aut(C)$$U_{n}\cong Aut(C)$.

Concludiamo provando che ${\mathcal {G}}(\mathbb {Q} (\omega )/\mathbb {Q} )\cong Aut(C)$${\mathcal {G}}(\mathbb {Q} (\omega )/\mathbb {Q} )\cong Aut(C)$ dove $C$$C$ è il gruppo ciclico di ordine $n$$n$ generato da $\omega$$\omega$.

Infatti, dato $g\in {\mathcal {G}}(\mathbb {Q} (\omega )/\mathbb {Q} )$$g\in {\mathcal {G}}(\mathbb {Q} (\omega )/\mathbb {Q} )$, $\omega ^{g}$$\omega ^{g}$e' ancora una radice $n$$n$-esima dell'unita', ovvero $\omega ^{g}\in C$$\omega ^{g}\in C$. Considero la mappa $\phi :{\mathcal {G}}(\mathbb {Q} (\omega )/\mathbb {Q} )\to Aut(C)$$\phi :{\mathcal {G}}(\mathbb {Q} (\omega )/\mathbb {Q} )\to Aut(C)$ tale che $g\mapsto g_{|_{C}}$$g\mapsto g_{|_{C}}$. Questo omomorfismo di gruppi è iniettivo, infatti dati $g,h\in {\mathcal {G}}(\mathbb {Q} (\omega )/\mathbb {Q} )$$g,h\in {\mathcal {G}}(\mathbb {Q} (\omega )/\mathbb {Q} )$, $g_{|_{C}}=h_{|_{C}}$$g_{|_{C}}=h_{|_{C}}$ implica $\omega ^{g}=\omega ^{h}$$\omega ^{g}=\omega ^{h}$, e quindi $g,h$$g,h$ coincidono su tutto $\mathbb {Q} (\omega )$$\mathbb {Q} (\omega )$ (infatti, essendo elementi di ${\mathcal {G}}(\mathbb {Q} (\omega )/\mathbb {Q} )$${\mathcal {G}}(\mathbb {Q} (\omega )/\mathbb {Q} )$, essi fissano $\mathbb {Q}$$\mathbb {Q}$ elemento per elemento e quindi coincidono su $\mathbb {Q} (\omega )$$\mathbb {Q} (\omega )$). La conclusione segue dal fatto che, siccome il polinomio ciclotomico $\phi _{n}(x)$$\phi _{n}(x)$ è il polinomio minimo di $\omega$$\omega$ su $\mathbb {Q}$$\mathbb {Q}$, si ha $o({\mathcal {G}}(\mathbb {Q} (\omega )/\mathbb {Q} ))=|\mathbb {Q} (\omega ):\mathbb {Q} |=\varphi (n)$$o({\mathcal {G}}(\mathbb {Q} (\omega )/\mathbb {Q} ))=|\mathbb {Q} (\omega ):\mathbb {Q} |=\varphi (n)$, e quindi $o({\mathcal {G}}(\mathbb {Q} (\omega )/\mathbb {Q} ))=o(Aut(C))$$o({\mathcal {G}}(\mathbb {Q} (\omega )/\mathbb {Q} ))=o(Aut(C))$.

In particolare $U_{n}$$U_{n}$ è sempre abeliano, e se $n=p$$n=p$, $U_{p}$$U_{p}$ è un gruppo ciclico di ordine $p-1$$p-1$.