Complementi sui polinomi ciclotomici

Applicazione 1 caso particolare del teorema di Dirichlet[modifica | modifica wikitesto]

Usando i polinomi ciclotomici si può dimostrare un caso particolare del teorema di Dirichlet.

Teorema 4.2 (teorema di Dirichlet)

Siano numeri interi positivi primi tra loro. Allora esistono infiniti numeri primi congrui a modulo , cioè della forma .

 

Nel caso particolare in cui , si ha

Teorema 4.3

Sia un intero, allora esistono infiniti numeri primi con .

 
Premettiamo alcuni risultati sui polinomi ciclotomici.
Lemma 4.4

Sia un numero primo, tale che , . Allora

  1. ;
  2. se , allora .
 
Dimostrazione
  1. Sappiamo che in , allora valutando in si ha che in . Per ipotesi quindi (formula 1), allora , pertanto non può dividere (altrimenti si avrebbe ), e quindi la prima affermazione è vera.
  2. Per ipotesi, , allora definisce un elemento : sia l'ordine di in . Siccome , , cioè . L'asserto vale se mostro che .Per quanto detto e per la formula 1 , allora (infatti e quindi è il minimo intero tale che ); posso quindi scrivere , con .Mostriamo che, se , arriviamo all'assurdo che , contro l'ipotesi. Siccome stiamo supponendo , allora è un divisore proprio di , e posso scrivere
    e raggruppando i divisori di :
    e , quindi complessivamente
    e se valuto in , in si ha
    e, siccome , , ma , e quindi (sommo 1 per volte).D'altra parte, , e quindi , e questo è assurdo per quanto detto sopra.
 


Corollario 4.1

Sia , e un divisore primo di . Allora .

 
Dimostrazione

Applico la prima parte del lemma precedente con , allora . Siccome è vera l'ipotesi della seconda parte, segue che .

 


Lemma 4.5

Sia , allora per ogni con , si ha che .

 
Dimostrazione

Considero il cerchio unitario e un punto sull'asse reale, siccome esso sta fuori dalla circonferenza unitaria. Se è una radice -esima dell'unità che sta sul cerchio unitario, , quindi

(l'ultima disuguaglianza vale perché implica )

 


Osservazione 4.3

Se , allora .

 
Dimostrazione

Considero l'applicazione tale che , che è un isomorfismo di anelli, di nucleo . Allora .

 

Dimostriamo ora il teorema enunciato precedentemente:

Teorema 4.4

Per ogni intero positivo , esistono infiniti numeri primi tali che .

 
Dimostrazione

Per questo è il teorema di Euclide (esistono infiniti numeri primi), quindi possiamo assumere .

Per ogni , pongo .

Siccome allora e applicando il secondo lemma, , cioè .

Sia un divisore primo di , che esiste perché . Per il corollario al primo lemma, , e in particolare .

Per garantire che posso trovare infiniti numeri primi osservo che e , allora . Dunque trovo numeri primi arbitrariamente grandi, e questo mi assicura che ne trovo infiniti.

 

Applicazione 2 problema inverso di Galois[modifica | modifica wikitesto]

Teorema 4.5

Sia un gruppo abeliano finito, allora esiste tale che è normale e .

 
Dimostrazione

Per il teorema di struttura dei gruppi abeliani dove è un gruppo ciclico di ordine .

Per il caso particolare del teorema di Dirichlet esistono primi distinti, con . Sia , e sia una radice -esima primitiva dell'unità. Considero l'estensione ciclotomica . Allora , e per l'osservazione, siccome è il prodotto di numeri primi tra loro, (relazione 1).

è un gruppo ciclico di ordine , ma , allora , e (siccome il teorema di Lagrange si invferte nei gruppi ciclici) esiste un (unico) sottogruppo di di indice . Allora .

Per la relazione 1, e quindi contiene un sottogruppo tale che .

Pongo allora è un campo intermedio tra e . Poi è normale in e, per il teorema fondamentale della teoria di Galois, è normale con . Ma, per quanto detto prima, , allora , cioè è il campo cercato.

 
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