Sottogruppi di ordine 4 e corrispondenti campi intermedi

I sottogruppi di ordine 4 sono i seguenti:

  1. (infatti siccome , si ha , )
  2. (come prima, siccome e , si ha e )
  3. Si ha poi un sottogruppo di ordine 4 della forma ,
    quindi


Determino i campi intermedi corrispondenti. Il polinomio ciclotomico è polinomio minimo di su e quindi

  1. ,
    Dato un generico , siccome mediante , si ha
    e devo esprimere gli in termini della base . Tenendo conto che :
    e chiedere la condizione equivale a chiedere
    quindi
    infatti si ottiene che e quindi è radice di .
  2. , determino . Basta determinare gli elementi di fissati da . Prendo , allora
    allora implica
    perché è radice di .
  3. . Ad un generico applico prima , e poi ad applico .
    e imponendo si ha
    Ora verifico quali tra gli elementi fissati da sono fissati anche da , e preso :
    e imponendo :
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