Gli elementi di ordine 2 nel gruppo considerato sono
, quindi i sottogruppi di ordine 2 sono
,
,
.
Determiniamo i campi intermedi corrispondenti:
. Per calcoli precedenti

; siccome
, preso
si ha

e imponendo

si ottiene

. Quindi

. Siccome
, dato
si ha

e imponendo

si ha

quindi


Esercizio 7.10
Dare un esempio di campi tali che
e
è un'estensione normale,
è un'estensione normale ma
non è un'estensione normale.
Avevamo precedentemente mostrato che il campo di spezzamento su
del polinomio
è
. Pongo
e
, in questo modo
non è normale perché
ammette una radice in
ma non si spezza su
.
Se pongo
:
.
è normale perché
è campo di spezzamento su
del polinomio
.
è normale perché
è campo di spezzamento su
del polinomio
;
non è normale perché il polinomio
ha una radice in
ma non si spezza su
.
Esercizio 7.11
Siano
primo e
un intero. Dimostrare che

Sia
l'insieme delle radici primitive
-esime dell'unità, si ha

Se

è radice di

, segue che

. Allora

perché

è una radice primitiva n-esima. Siccome

si ha anche che

, e eguagliando le due espressioni per

si ha:

segue che

. Allora distinguo i due casi:
- Se
,
, allora
e
per la relazione
. Allora le radici di
(cioè gli
tali che
) coincidono con le radici primitive di
-me di
, e quindi
.
- se
, per la relazione 
, quindisi verificano due possibilità: 1.
e quindi
; 2.
e quindi
.Allora tutte e sole le radici di
sono radici primitive di
-me di
oppure le radici primitive
-me di
, e quindi
, cioè
.
Esercizio 7.12
Sia
il campo di spezzamento di
su
in
. Mostrare che
.
Suggerimento: trovare almeno cinque elementi distinti nell'orbita di
sotto l'azione di
.
Abbiamo dimostrato precedentemente che, se pongo
,
e
, con


Pongo
e cerco almeno cinque elementi distinti dell'orbita di
sotto l'azione di
:





Ora mostro che
. L'inclusione
è ovvia perché
. Viceversa, proviamo che
. Considero il polinomio minimo
di
sopra
. Gli elementi della forma
con
sono ancora radici di
, infatti, applicando
all'equazione
ottengo
. Con i conti precedenti ho trovato almeno cinque radici distinte di
, quindi
, cioè
.
Sappiamo anche che
, e quindi
, ma allora unendo queste due condizioni l'unica possibilità è che
, cioè
.

Esercizio 7.13
Siano
numeri primi distinti, e sia
.
- Mostrare che
è normale;
- Mostrare che
è elementare abeliano di ordine
. (dire che
è elementare abeliano significa che
,
,
è abeliano e tutti gli elementi di
esclusa l'unità hanno ordine 2)
Suggerimento: una possibilità per mostrare la parte 2 è mostrare che i campi
sono tutti distinti, al variare di
sui
prodotti non banali e distinti di elementi distinti dell'insieme che contiene
.
- Siamo in caratteristica 0 e
è campo di spezzamento del polinomio
sopra
, quindi
è normale.
- Considero la catena di estensioni:

Per il teorema della torre
dove ogni fattore è
perché per ogni
,
è uno zero del polinomio
.Allora
per un certo
e dobbiamo provare che
, cioè che
.Supponendo di aver argomentato il suggerimento, osservo che
è un campo intermedio fra
e
di grado 2, allora, ponendo
,
Siccome supponiamo che i campi
siano tutti distinti, anche i corrispondenti sottogruppi
di indice 2 in
sono tutti distinti e sono almeno
, di conseguenza esistono almeno
elementi in
, cioè
. Segue che
.Gli elementi di
hanno ordine 2, eccetto l'unita', infatti, dato
, esso manda l'elemento
in sé stesso oppure in
, e quindi
.
è abeliano: in generale dato un gruppo
, se
per ogni
, allora
è abeliano. Infatti, dati
, segue che
. D'altra parte,
implica
e
implica
. Dall'uguglianza
, moltiplicando a destra per
e poi per
, si ha
.Infine argomentiamo il sugerimento: Sia
, e suppongo per assurdo che
. Se questo avviene, si deve avere in particolare che
, cioè, preso un generico elemento in
della forma
, si deve avere.ì
e sviluppando il quadrato
Il caso
si esclude perché se così fosse si avrebbe
, con
. Se invece
si ha
. Siccome abbiamo supposto
, esisterà un
che compare nella scrittura di
ma non di
, cioè esiste un
che divide
e non divide
, e quindi l'equazione sopra non può essere vera.

Esercizio 7.14
Nelle ipotesi dell'esercizio 2, mostrare che per ogni indice
, esiste
tale che
, mentre
per
. Usare questo fatto per mostrare che
sono indipendenti su
.
Dato
, esso è determinato dalla sua azione sulle radici; abbiamo mostrato nell'esercizio precedente che in
ci sono esattamente
elementi, quindi
deve necessariamente includere i morfismi
tali che
e
.
Mostriamo ora la lineare indipendenza dei
: Supponiamo di avere una combinazione lineare della forma

Applicando

a entrambi i membri ottengo

e siccome i

stanno in

e vengono fissati si ha

ed eguagliando i coefficienti rispetto agli elementi della base nelle due combinazioni lineari ottengo

, cioè

.
Ripetendo questo procedimento per ogni

ottengo che tutti gli scalari sono nulli.

Esercizio 7.15
Nelle ipotesi degli esercizi 2 e 3, mostrare che
.
Suggerimento: mostrare che l'orbita di
sotto l'azione di
contiene almeno
elementi distinti.
Cerco
elementi distinti dell'orbita di
sotto l'azione di
, dove pongo
. Osservo che

e quindi le immagini di

mediante i

sono

elementi distinti dell'orbita.
Poi, se considero prodotti della forma

, si ha che

e ottengo

elementi distinti dell'orbita.
Considero allora tutti i possibili prodotti di elementi distinti di
, che sono
; applicandoli a
ottengo
elementi nell'orbita di
, della forma

Mostro che gli elementi ottenuti sono tutti distinti: Considero due prodotti
di elementi di
, devo mostrare che
. Sia
e
; Se supponiamo per assurdo che
segue che

ma allora, siccome i

sono indipendenti, segue che

, e quindi

.
Mostrare che l'estensione è semplice equivale a mostrare che
. Sappiamo che
e abbiamo appena mostrato che
, però siccome vale l'inclusione
, si deve avere
, cioè
.

Esercizio 7.16
Trovare un polinomio esplicito
il cui gruppo di Galois abbia ordine
.
Suggerimento: Considerare
con
radice settima primitiva di 1.
Data
radice settima primitiva dell'unità,
, e
è un gruppo ciclico di ordine
. Siccome il teorema di Lagrange si inverte nei gruppi ciclici, esiste un sottogruppo
con
, cioè
. Se ad esempio prendo
tale che
, si ha che
perché
in
(infatti
).
Calcolo il corrispondente campo intermedio:

Siccome il polinomio minimo di
è
che ha grado
, segue che
e

Applico

ad un generico elemento di

:


e riducendo i coefficienti modulo

:

e siccome

è radice del polinomio ciclotomico, si ha che

, quindi

e imponendo

ottengo

quindi gli elementi di

sono della forma:

Osservo che



e sostituendo l'espressione di

:



è radice di

. Se pongo

, segue che

è normale perché

è normale in

. Se

ammette una radice in

, allora si spezza in fattori lineari su

. Inoltre

quindi

è campo di spezzamento di

su

. Infine

, e quindi

è il polinomio cercato.