Sesto esercizio

Esercizio 7.6

Determinare le radici seste dell'unità su $F_{5}$ $F_{5}$ .

Trovare le radici seste dell'unità in $F_{5}$ $F_{5}$ equivale a trovare il campo di spezzamento del polinomio $f(x)=x^{6}-1$ $f(x)=x^{6}-1$ su $F_{5}$ $F_{5}$ .

Osservo che gli elementi $1$ $1$ e $4$ $4$ in $F_{5}$ $F_{5}$ sono radici seste dell'unità, in particolare $x+4=x-1\mid f(x)$ $x+4=x-1\mid f(x)$ e $x+1\mid f(x)$ $x+1\mid f(x)$ , e si ha

f(x)=x^{6}-1=(x^{3}+1)(x^{3}-1)=(x+1)(x^{2}-x+1)(x-1)(x^{2}+x+1)

Pongo

g(x)=x^{2}+x+1

e

h(x)=x^{2}-x+1

.

Considero $K_{0}={\frac {F_{5}[x]}{(x^{2}+x+1)}}=F_{5}(\alpha )$ $K_{0}={\frac {F_{5}[x]}{(x^{2}+x+1)}}=F_{5}(\alpha )$ con $\alpha$ $\alpha$ radice di $g(x)$ $g(x)$ , cioè $\alpha ^{2}=4\alpha +4$ $\alpha ^{2}=4\alpha +4$ .

K_{0}=\{a+b\alpha ,\,a,b\in F_{5},\,\alpha ^{2}=4\alpha +4\}

Verifico se

K_{0}

contiene radici di

h(x)

, cioè, preso un elemento

a+b\alpha \in K_{0}

, verifico se soddisfa l'equazione

h(a+b\alpha )=0

.

(a+b\alpha )^{2}-a-b\alpha +1=0

a^{2}+2ab\alpha +b^{2}\alpha ^{2}-a-b\alpha +1=0

e siccome

\alpha ^{2}=4\alpha +4

,

a^{2}+1+2ab\alpha +b^{2}(4\alpha +4)-a-b\alpha +1=0

a^{2}+1+2ab\alpha +4b^{2}\alpha +4b^{2}-a-b\alpha +1=0

(2ab+4b^{2}-b)\alpha +4b^{2}-a+2+a^{2}=0

e quest'equazione è soddisfatta se

{\begin{cases}a^{2}+4b^{2}+4a+1=0\\2ab+4b^{2}+4b=0\end{cases}}

Osservo che

a=0,b=-1

, è una soluzione, quindi

-\alpha \in K_{0}

è radice di

h(x)

. Allora

K_{0}

è campo di spezzamento per

f(x)

.

Determino l'altra radice di $g(x)$ $g(x)$ eseguendo la divisione:

{\frac {x^{2}+x+1}{x-\alpha }}=

q_{1}=x,\,r_{1}=x^{2}+x+1-x(x-\alpha )=(1+\alpha )x+1

q_{2}=1+\alpha ,\,r_{2}=(1+\alpha )x+1-(1+\alpha )(x-\alpha )=\alpha ^{2}+\alpha +1=0

quindi $x^{2}+x+1=(x-\alpha )(x-1-\alpha )$ $x^{2}+x+1=(x-\alpha )(x-1-\alpha )$ , cioè l'altra radice di $g(x)$ $g(x)$ è $1+\alpha$ $1+\alpha$ .

Analogamente si verifica che l'altra radice di $h(x)$ $h(x)$ è $-1-\alpha$ $-1-\alpha$ .

Procedimento alternativo: si possono trovare le radici dei due polinomi $g(x),h(x)$ $g(x),h(x)$ con la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado.