Esercizio 7.6
Determinare le radici seste dell'unità su
.
Trovare le radici seste dell'unità in
equivale a trovare il campo di spezzamento del polinomio
su
.
Osservo che gli elementi
e
in
sono radici seste dell'unità, in particolare
e
, e si ha

Pongo

e

.
Considero
con
radice di
, cioè
.

Verifico se

contiene radici di

, cioè, preso un elemento

, verifico se soddisfa l'equazione

.


e siccome

,



e quest'equazione è soddisfatta se

Osservo che

, è una soluzione, quindi

è radice di

.
Allora

è campo di spezzamento per

.
Determino l'altra radice di
eseguendo la divisione:



quindi
, cioè l'altra radice di
è
.
Analogamente si verifica che l'altra radice di
è
.
Procedimento alternativo: si possono trovare le radici dei due polinomi
con la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado.
Concludo che le radici seste dell'unità sono

Si ha che

, quindi ci sono due radici primitive seste. Osservo che







Quindi in particolare, le radici primitive seste sono

.