Sedicesimo esercizio

Esercizio 7.16

Trovare un polinomio esplicito il cui gruppo di Galois abbia ordine .


Suggerimento: Considerare con radice settima primitiva di 1.

 

Data radice settima primitiva dell'unità, , e è un gruppo ciclico di ordine . Siccome il teorema di Lagrange si inverte nei gruppi ciclici, esiste un sottogruppo con , cioè . Se ad esempio prendo tale che , si ha che perché in (infatti ).


Calcolo il corrispondente campo intermedio:

Siccome il polinomio minimo di è che ha grado , segue che e

Applico ad un generico elemento di :
e riducendo i coefficienti modulo :
e siccome è radice del polinomio ciclotomico, si ha che , quindi
e imponendo ottengo
quindi gli elementi di sono della forma:
Osservo che
e sostituendo l'espressione di :
è radice di . Se pongo , segue che è normale perché è normale in . Se ammette una radice in , allora si spezza in fattori lineari su . Inoltre quindi è campo di spezzamento di su . Infine , e quindi è il polinomio cercato.

 PrecedenteSuccessivo