Esercizio 7.16
Trovare un polinomio esplicito
il cui gruppo di Galois abbia ordine
.
Suggerimento: Considerare
con
radice settima primitiva di 1.
Data
radice settima primitiva dell'unità,
, e
è un gruppo ciclico di ordine
. Siccome il teorema di Lagrange si inverte nei gruppi ciclici, esiste un sottogruppo
con
, cioè
. Se ad esempio prendo
tale che
, si ha che
perché
in
(infatti
).
Calcolo il corrispondente campo intermedio:

Siccome il polinomio minimo di
è
che ha grado
, segue che
e

Applico

ad un generico elemento di

:


e riducendo i coefficienti modulo

:

e siccome

è radice del polinomio ciclotomico, si ha che

, quindi

e imponendo

ottengo

quindi gli elementi di

sono della forma:

Osservo che



e sostituendo l'espressione di

:



è radice di

. Se pongo

, segue che

è normale perché

è normale in

. Se

ammette una radice in

, allora si spezza in fattori lineari su

. Inoltre

quindi

è campo di spezzamento di

su

. Infine

, e quindi

è il polinomio cercato.