Sedicesimo esercizio

Esercizio 7.16

Trovare un polinomio esplicito $f(x)\in \mathbb {Q} [x]$$f(x)\in \mathbb {Q} [x]$ il cui gruppo di Galois abbia ordine $3$$3$.

Suggerimento: Considerare $\mathbb {Q} (\omega )$$\mathbb {Q} (\omega )$ con $\omega$$\omega$ radice settima primitiva di 1.

 

Data $\omega$$\omega$ radice settima primitiva dell'unità, $G={\mathcal {G}}(\mathbb {Q} (\omega )/\mathbb {Q} )\cong U_{7}$$G={\mathcal {G}}(\mathbb {Q} (\omega )/\mathbb {Q} )\cong U_{7}$, e $U_{7}$$U_{7}$ è un gruppo ciclico di ordine $\varphi (7)=6$$\varphi (7)=6$. Siccome il teorema di Lagrange si inverte nei gruppi ciclici, esiste un sottogruppo $H\leq G$$H\leq G$ con $|H|=2$$|H|=2$, cioè $H=\{1,g\}$$H=\{1,g\}$. Se ad esempio prendo $g$$g$ tale che $\omega \mapsto \omega ^{6}$$\omega \mapsto \omega ^{6}$, si ha che $o(g)=2$$o(g)=2$ perché $o(6)=2$$o(6)=2$ in $U_{7}$$U_{7}$ (infatti $6^{2}=36\equiv 1\mod 7$$6^{2}=36\equiv 1\mod 7$).

Calcolo il corrispondente campo intermedio:

$${\rm {{Fix}(H)=\{\alpha \in \mathbb {Q} (\omega )\,t.c.\,\alpha ^{g}=\alpha \}}}$$

$${\rm {{Fix}(H)=\{\alpha \in \mathbb {Q} (\omega )\,t.c.\,\alpha ^{g}=\alpha \}}}$$

Siccome il polinomio minimo di $\omega$$\omega$ è $\phi _{7}(x)$$\phi _{7}(x)$ che ha grado $6$$6$, segue che $|\mathbb {Q} (\omega ):\mathbb {Q} |=6$$|\mathbb {Q} (\omega ):\mathbb {Q} |=6$ e

$$\mathbb {Q} (\omega )=\{a_{0}+a_{1}\omega +a_{2}\omega ^{2}+a_{3}\omega ^{3}+a_{4}\omega ^{4}+a_{5}\omega ^{5},\,a_{i}\in \mathbb {Q} \forall i\}$$

$$\mathbb {Q} (\omega )=\{a_{0}+a_{1}\omega +a_{2}\omega ^{2}+a_{3}\omega ^{3}+a_{4}\omega ^{4}+a_{5}\omega ^{5},\,a_{i}\in \mathbb {Q} \forall i\}$$

Applico $g$$g$ ad un generico elemento di $\mathbb {Q} (\omega )$$\mathbb {Q} (\omega )$:

$$\alpha ^{g}=\sum _{i}a_{i}(\omega ^{g})^{i}=\sum _{i}a_{i}\omega ^{6i}$$

$$\alpha ^{g}=\sum _{i}a_{i}(\omega ^{g})^{i}=\sum _{i}a_{i}\omega ^{6i}$$

$$=a_{0}+a_{1}\omega ^{6}+a_{2}\omega ^{12}+a_{3}\omega ^{18}+a_{4}\omega ^{24}+a_{5}\omega ^{30}$$

$$=a_{0}+a_{1}\omega ^{6}+a_{2}\omega ^{12}+a_{3}\omega ^{18}+a_{4}\omega ^{24}+a_{5}\omega ^{30}$$

e riducendo i coefficienti modulo $7$$7$:

$$=a_{0}+a_{1}\omega ^{6}+a_{2}\omega ^{5}+a_{3}\omega ^{4}+a_{4}\omega ^{3}+a_{5}\omega ^{2}$$

$$=a_{0}+a_{1}\omega ^{6}+a_{2}\omega ^{5}+a_{3}\omega ^{4}+a_{4}\omega ^{3}+a_{5}\omega ^{2}$$

e siccome $\omega$$\omega$ è radice del polinomio ciclotomico, si ha che $\omega ^{6}=-1-\omega -\omega ^{2}-\omega ^{3}-\omega ^{4}-\omega ^{5}$$\omega ^{6}=-1-\omega -\omega ^{2}-\omega ^{3}-\omega ^{4}-\omega ^{5}$, quindi

$$=a_{0}-a_{1}(\omega ^{5}+\omega ^{4}+\omega ^{3}+\omega ^{2}+\omega +1)+a_{2}\omega ^{5}+a_{3}\omega ^{4}+a_{4}\omega ^{3}+a_{5}\omega ^{2}$$

$$=a_{0}-a_{1}(\omega ^{5}+\omega ^{4}+\omega ^{3}+\omega ^{2}+\omega +1)+a_{2}\omega ^{5}+a_{3}\omega ^{4}+a_{4}\omega ^{3}+a_{5}\omega ^{2}$$

e imponendo $\alpha ^{g}=\alpha$$\alpha ^{g}=\alpha$ ottengo

$${\begin{cases}a_{0}+a_{1}=0\\a_{1}=0\\a_{5}=a_{2}\\a_{4}=a_{3}\end{cases}}$$

$${\begin{cases}a_{0}+a_{1}=0\\a_{1}=0\\a_{5}=a_{2}\\a_{4}=a_{3}\end{cases}}$$

quindi gli elementi di ${\rm {{Fix}(H)}}$${\rm {{Fix}(H)}}$ sono della forma:

$$\alpha =a_{0}+a_{2}(\omega ^{2}+\omega ^{5})+a_{3}(\omega ^{3}+\omega ^{4})$$

$$\alpha =a_{0}+a_{2}(\omega ^{2}+\omega ^{5})+a_{3}(\omega ^{3}+\omega ^{4})$$

Osservo che

$$(\omega ^{2}+\omega ^{5})^{2}=\omega ^{4}+2\omega ^{7}+\omega ^{10}=\omega ^{4}+\omega ^{3}+2$$

$$(\omega ^{2}+\omega ^{5})^{2}=\omega ^{4}+2\omega ^{7}+\omega ^{10}=\omega ^{4}+\omega ^{3}+2$$

$$(\omega ^{2}+\omega ^{5})^{3}=(\omega ^{2}+\omega ^{5})(\omega ^{4}+\omega ^{3}+2)=$$

$$(\omega ^{2}+\omega ^{5})^{3}=(\omega ^{2}+\omega ^{5})(\omega ^{4}+\omega ^{3}+2)=$$

$$=\omega ^{6}+\omega ^{5}+2\omega ^{2}+\omega ^{9}+\omega ^{8}+2\omega ^{5}$$

$$=\omega ^{6}+\omega ^{5}+2\omega ^{2}+\omega ^{9}+\omega ^{8}+2\omega ^{5}$$

e sostituendo l'espressione di $\omega ^{6}$$\omega ^{6}$:

$$=-1-\omega -\omega ^{2}-\omega ^{3}-\omega ^{4}+2\omega ^{2}+\omega ^{2}+\omega +2\omega ^{5}$$

$$=-1-\omega -\omega ^{2}-\omega ^{3}-\omega ^{4}+2\omega ^{2}+\omega ^{2}+\omega +2\omega ^{5}$$

$$=-1-\omega ^{3}-\omega ^{4}+2\omega ^{2}+2\omega ^{5}=1-\beta ^{2}+2\beta$$

$$=-1-\omega ^{3}-\omega ^{4}+2\omega ^{2}+2\omega ^{5}=1-\beta ^{2}+2\beta$$

$\beta$$\beta$ è radice di $f(x)=x^{3}+x^{2}-2x+1$$f(x)=x^{3}+x^{2}-2x+1$. Se pongo $L=H'$$L=H'$, segue che $L\supseteq \mathbb {Q}$$L\supseteq \mathbb {Q}$ è normale perché $H$$H$ è normale in $G$$G$. Se $f(x)$$f(x)$ ammette una radice in $L$$L$, allora si spezza in fattori lineari su $L$$L$. Inoltre $|L:\mathbb {Q} |=3$$|L:\mathbb {Q} |=3$ quindi $L$$L$ è campo di spezzamento di $f(x)$$f(x)$ su $\mathbb {Q}$$\mathbb {Q}$. Infine $|L:\mathbb {Q} |={\mathcal {G}}(L/\mathbb {Q} )=3$$|L:\mathbb {Q} |={\mathcal {G}}(L/\mathbb {Q} )=3$, e quindi $f(x)$$f(x)$ è il polinomio cercato.