Secondo esercizio

Esercizio 7.2

Determinare il gruppo di Galois su del campo di spezzamento del polinomio .

 

Campo di spezzamento[modifica | modifica wikitesto]

Pongo , e , allora le radici di sono , , .

è separabile. Definisco il campo

non contiene , quindi per trovare devo estenderlo ulteriormente. Per calcoli precedenti si ha che il polinomio minimo di è . Definisco quindi
e .

Per il teorema della torre:

Gruppo di Galois[modifica | modifica wikitesto]

In caratteristica zero un polinomio irriducubile e' separabile dunque l'estensione e' normale. Allora sappiamo che

e è isomorfo a un sottogruppo di , perché permuta le tre radici di . Siccome , allora .

Siano definiti da

(se indentifico con , con e con , ho che corrisponde al -ciclo di e allo scambio in ).

Allora gli elementi di si possono elencare nel seguente modo:

(dove corrisponde a , corrisponde a e corrisponde a ).

Corrispondenza di Galois[modifica | modifica wikitesto]

SOTTOGRUPPI:

Campi intermedi

  1. : per definizione .Cerco gli elementi di tali che .Osservazione: fissa , infatti , e applicando a entrambi i membri:
    (mia nota: l'uguaglianza è vera perché e applicando a entambi i membri, , quindi l'inverso di è ).Un elemento in è dato da
    e tenendo conto che e che :
    Eguagliando i coefficienti di e di ottengo
    da cui segue
    e quindi
    Come prima
    Procedimento alternativo: dal fatto che fissa segue automaticamente che , e vale l'uguaglianza per il teorema fondamentale della teoria di Galois.Infatti per il Teorema e si vede facilmente che . è normale in , allora è normale (e questo si deduce anche dal fatto che è il campo di spezzamento di su ).
  2. . (infatti fissa ). Per il teorema fondamentale della teoria di Galois
    ( perché l'estensione è normale)Inoltre, allora concludo che . non è un'estensione normale di (cosa che posso anche dedurre dal fatto che ammette la radice in ma non le altre due radici).
  3. . Svolgendo il prodotto (che e' la composizione di mappe da sinistra a destra per le notazioni che usiamo), osservo che
    quindi fissa e per un ragionamento analogo al precedente, .
  4. e
    quindi fissa e .
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