Quinto esercizio

Esercizio 7.5

Siano $p,q$$p,q$ primi distinti. Esprimere $\phi _{pq}(x)$$\phi _{pq}(x)$ in termini di $\phi _{p}(x)$$\phi _{p}(x)$.

 

Per il primo lemma, siccome gli unici divisori del prodotto $pq$$pq$ sono $1,p,q,pq$$1,p,q,pq$, si ha

$$\phi _{pq}(x)={\frac {x^{pq}-1}{\phi _{1}(x)*\phi _{p}(x)*\phi _{q}(x)}}$$

$$\phi _{pq}(x)={\frac {x^{pq}-1}{\phi _{1}(x)*\phi _{p}(x)*\phi _{q}(x)}}$$

$$\phi _{pq}(x)={\frac {x^{pq}-1}{\phi _{p}(x)*(x^{q}-1)}}$$

$$\phi _{pq}(x)={\frac {x^{pq}-1}{\phi _{p}(x)*(x^{q}-1)}}$$

Moltiplico e divido per $\phi _{1}(x)=x-1$$\phi _{1}(x)=x-1$:

$$\phi _{pq}(x)={\frac {(x^{pq}-1)(x-1)}{(x-1)*\phi _{p}(x)*(x^{q}-1)}}$$

$$\phi _{pq}(x)={\frac {(x^{pq}-1)(x-1)}{(x-1)*\phi _{p}(x)*(x^{q}-1)}}$$

$$\phi _{pq}(x)={\frac {(x^{pq}-1)(x-1)}{(x^{p}-1)*(x^{q}-1)}}$$

$$\phi _{pq}(x)={\frac {(x^{pq}-1)(x-1)}{(x^{p}-1)*(x^{q}-1)}}$$

$$\phi _{pq}(x)={\frac {((x^{q})^{p}-1)(x-1)}{(x^{p}-1)*(x^{q}-1)}}$$

$$\phi _{pq}(x)={\frac {((x^{q})^{p}-1)(x-1)}{(x^{p}-1)*(x^{q}-1)}}$$

$$\phi _{pq}(x)={\frac {(x^{q})^{p}-1}{x^{q}-1}}*{\frac {x-1}{x^{p}-1}}$$

$$\phi _{pq}(x)={\frac {(x^{q})^{p}-1}{x^{q}-1}}*{\frac {x-1}{x^{p}-1}}$$

$$={\frac {\phi _{p}(x^{q})}{\phi _{p}(x)}}$$

$$={\frac {\phi _{p}(x^{q})}{\phi _{p}(x)}}$$