Ottavo esercizio

Esercizio 7.8

Sia .

  1. Calcolare il polinomio minimo di su .
  2. Sia campo di spezzamento di su , mostrare che è ciclico di ordine 4.
  3. Determinare la corrispondenza di Galois tra campi intermedi e sottogruppi.
 
  1. POLINOMIO MINIMO: Osservo che
    ed elevando al quadrato l'ultima identità si ha:
    cioè è radice del polinomio . è monico, e mostro che è irriducibile. Pongo e risolvo l'equazione
    quindi si fattorizza nel modo seguente:
    quindi non ammette una fattorizzazione in ed è irriducibile in , quindi è il polinomio minimo di su (potevo anche usare il Criterio di Eisenstein).
  2. GRUPPO DI GALOIS: Pongo e , allora le radici di sono e ., siccome dobbiamo mostrare che è ciclico di ordine 4, mostriamo che , equivalentemente che . Moltiplico e divido per :
    quindi e .Segue quindi che , e . Gli elementi di sono determinati dalla loro azione su , e mandano in una delle radici di ; supponiamo che gli elementi di siano definiti nel seguente modo:
    Per mostrare che è ciclico, basta trovare un elemento di ordine 4. Esplicito le relazioni tra gli elementi di :#*Per si ha:
    quindi . Considero allora :#*Per si ha
    e sostituendo l'espressione di :
    moltiplico e divido per :
    quindi , e . Allora non ha ordine 2 e quindi ha necessariamente ordine 4, cioè è ciclico generato da , e pongo , e si ha .#*Si verifica anche che , infatti
    quindi e .Concludo che con .L'estensione è normale perché è campo di spezzamento su di e siamo in caratteristica 0.
  3. CORRISPONDENZA DI GALOIS: L'unico sottogruppo proprio di è , e determino il corrispondente campo intermedio . Basta determinare gli elementi di fissati da . Essendo campo di spezzamento di si ha
    Dato , siccome è tale che , si ha
    e se e solo se . Si ha quindi
    Diagramma dei campi: (i tre campi sono uniti da un segmento)Diagramma dei sottogruppi:
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