Nono Esercizio

Esercizio 7.9

Determinare il gruppo di Galois dove è una radice sedicesima dell'unità.

 

Gruppo di Galois[modifica | modifica wikitesto]

Avevamo precedentemente calcolato che , e sappiamo che con gruppo degli elementi invertibili di , quindi

e .


Determiniamo gli ordini degli elementi di :

Allora
con tale che .


è abeliano rispetto al prodotto e ha ordine 8. I gruppi abeliani di ordine 8 sono , e . In particolare, siccome in ci sono elementi di ordine 4, escludo che , e siccome non è ciclico escludo , quindi rimane .


I sottogruppi di ordine 4 sono i seguenti:

  1. (infatti siccome , si ha , )
  2. (come prima, siccome e , si ha e )
  3. Si ha poi un sottogruppo di ordine 4 della forma ,
    quindi


Determino i campi intermedi corrispondenti. Il polinomio ciclotomico è polinomio minimo di su e quindi

  1. ,
    Dato un generico , siccome mediante , si ha
    e devo esprimere gli in termini della base . Tenendo conto che :
    e chiedere la condizione equivale a chiedere
    quindi
    infatti si ottiene che e quindi è radice di .
  2. , determino . Basta determinare gli elementi di fissati da . Prendo , allora
    allora implica
    perché è radice di .
  3. . Ad un generico applico prima , e poi ad applico .
    e imponendo si ha
    Ora verifico quali tra gli elementi fissati da sono fissati anche da , e preso :
    e imponendo :


Gli elementi di ordine 2 nel gruppo considerato sono , quindi i sottogruppi di ordine 2 sono , , . Determiniamo i campi intermedi corrispondenti:

  • . Per calcoli precedenti

  • ; siccome , preso si ha

e imponendo si ottiene . Quindi

  • . Siccome , dato si ha

e imponendo si ha
quindi

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