Campi intermedi

  1. ; , inoltre e per il teorema fondamentale di Galois
    e quindi .
  2. ; considero e per prima cosa impongo .
    e tenendo conto che e :
    e imponendo l'uguaglianza segue che , e quindi gli elementi fissati da sono della forma
    Ora, impongo che gli elementi trovati vengano fissati anche da :
    allora, imponendo l'uguaglianza, .
  3. ; considero un generico elemento fissato da , della forma
    Imponendo l'uguaglianza
    quindi,
  4. ; , infatti fissa , , quindi .
  5. ; siccome gli elementi fissati da sono già stati calcolati prima, segue che
    e in particolare se pongo , ottengo .Anche è fissato da ; osservo allora che , inoltre quindi .
  6. ; calcolo gli elementi fissati da , tenendo conto che , e :
    Imponendo l'uguaglianza
    da cui segue che
    Mostro che infatti, calcolando le potenze di ottengo:
    cioè ha come polinomio minimo. Quindi posso porre , e scrivere
  7. ; tenendo conto che e , e preso un generico elemento
    Imponendo l'uguaglianza si ha , quindi
    e calcolando le potenze di :
    quindi ha come polinomio minimo , e ha grado 4.
  8. ; , . Dato della forma
    e imponendo l'uguaglianza:
    quindi
    infatti
    cioè ha polinomio minimo e quindi ha grado 4.



Esercizio 7.4

Calcolare per .

 

Per calcoli precedenti sappiamo che

Inoltre, ricordiamo che in generale, per primo
quindi conosciamo anche .


Calcoliamo i polinomi rimanenti:

  1. e , quindi
    Aggiungendo e togliendo al numeratore:
  2. Eseguo la divisione:
    Complessivamente,
    quindi
  3. Eseguo la divisione
    Quindi
  4. e questa divisione è simile a quella per il calcolo di , quindi
  5. e , mentre , quindi
    Eseguo la divisione:
    quindi
    Ora eseguo la divisione:
    Quindi
  6. Il termine tra parentesi quadra è , e uso l'espressione di :
  7. Eseguo la divisione:
    quindi
  8. e , e , allora
    (il risultato si ottiene facendo la sostituzione , infatti abbiamo già eseguito la divisione )


Esercizio 7.5

Siano primi distinti. Esprimere in termini di .

 

Per il primo lemma, siccome gli unici divisori del prodotto sono , si ha

Moltiplico e divido per :

Esercizio 7.6

Determinare le radici seste dell'unità su .

 

Trovare le radici seste dell'unità in equivale a trovare il campo di spezzamento del polinomio su .


Osservo che gli elementi e in sono radici seste dell'unità, in particolare e , e si ha

Pongo e .


Considero con radice di , cioè .

Verifico se contiene radici di , cioè, preso un elemento , verifico se soddisfa l'equazione .
e siccome ,
e quest'equazione è soddisfatta se
Osservo che , è una soluzione, quindi è radice di . Allora è campo di spezzamento per .


Determino l'altra radice di eseguendo la divisione:

quindi , cioè l'altra radice di è .


Analogamente si verifica che l'altra radice di è .


Procedimento alternativo: si possono trovare le radici dei due polinomi con la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado.


Concludo che le radici seste dell'unità sono

Si ha che , quindi ci sono due radici primitive seste. Osservo che

Quindi in particolare, le radici primitive seste sono .


Esercizio 7.7

Sia radice primitiva -esima dell'unità, cioè e considero . Calcolare traccia e norma, e , di in .

 

Per le osservazioni precedenti sappiamo che e quindi è un gruppo ciclico di ordine , chiamo i suoi elementi .


Gli elementi di sono determinati dalla loro azione su , e sono tali che per , in particolare sia tale che .


CALCOLO DELLA TRACCIA: Per definizione

e in particolare, , e siccome è radice del polinomio ciclotomico, quindi .


CALCOLO DELLA NORMA:

Esercizio 7.8

Sia .

  1. Calcolare il polinomio minimo di su .
  2. Sia campo di spezzamento di su , mostrare che è ciclico di ordine 4.
  3. Determinare la corrispondenza di Galois tra campi intermedi e sottogruppi.
 
  1. POLINOMIO MINIMO: Osservo che
    ed elevando al quadrato l'ultima identità si ha:
    cioè è radice del polinomio . è monico, e mostro che è irriducibile. Pongo e risolvo l'equazione
    quindi si fattorizza nel modo seguente:
    quindi non ammette una fattorizzazione in ed è irriducibile in , quindi è il polinomio minimo di su (potevo anche usare il Criterio di Eisenstein).
  2. GRUPPO DI GALOIS: Pongo e , allora le radici di sono e ., siccome dobbiamo mostrare che è ciclico di ordine 4, mostriamo che , equivalentemente che . Moltiplico e divido per :
    quindi e .Segue quindi che , e . Gli elementi di sono determinati dalla loro azione su , e mandano in una delle radici di ; supponiamo che gli elementi di siano definiti nel seguente modo:
    Per mostrare che è ciclico, basta trovare un elemento di ordine 4. Esplicito le relazioni tra gli elementi di :#*Per si ha:
    quindi . Considero allora :#*Per si ha
    e sostituendo l'espressione di :
    moltiplico e divido per :
    quindi , e . Allora non ha ordine 2 e quindi ha necessariamente ordine 4, cioè è ciclico generato da , e pongo , e si ha .#*Si verifica anche che , infatti
    quindi e .Concludo che con .L'estensione è normale perché è campo di spezzamento su di e siamo in caratteristica 0.
  3. CORRISPONDENZA DI GALOIS: L'unico sottogruppo proprio di è , e determino il corrispondente campo intermedio . Basta determinare gli elementi di fissati da . Essendo campo di spezzamento di si ha
    Dato , siccome è tale che , si ha
    e se e solo se . Si ha quindi
    Diagramma dei campi: (i tre campi sono uniti da un segmento)Diagramma dei sottogruppi:



Esercizio 7.9

Determinare il gruppo di Galois dove è una radice sedicesima dell'unità.

 
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