Considero un'estensione
normale algebrica, ma eliminiamo l'ipotesi che
sia finita che era stata fondamentale in molte dimostrazioni della teoria di Galois. In questa situazione posso ancora definire
e l'insieme
dei campi intermedi, l'insieme
dei sottogruppi di
e le mappe "primo".
è un gruppo topologico, cioè un gruppo che è anche uno spazio topologico, in cui chiedo che le applicazioni
tale che
e
siano continue.
Più precisamente, il gruppo di Galois di un'estensione algebrica infinita è un gruppo profinito.
Definizione 6.7
Diremo che l'insieme
è diretto se comunque prendo
, esiste
con
e
.
Considero un insieme
con
insieme diretto. Per ogni
con
, considero la mappa
tale che
è l'identità su
.
- Considero
, e le mappe
,
e
. Richiedo che
In altre parole, richiedo che il diagramma seguente sia commutativo:
Un insieme con queste proprietà si chiama
sistema inverso di gruppi.
Definizione 6.8
Considero
(prodotto diretto dei gruppi). L'insieme

indicato con il simbolo

si definisce
limite inverso.
Considero un'estensione algebrica normale
. Le estensioni normali si possono caratterizzare come estensioni separabili e campi di spezzamento su
di una famiglia di polinomi (in analogia con le estensioni finite).
Considero la famiglia

Ordino l'insieme

in modo che

se

. Devo provare che
è un insieme diretto. Questo è vero infatti, date

estensioni normali di grado finito, se pongo

, allora

è ancora un'estensione di grado finito normale che contiene

e

, cioè

. Questo dipende da due fatti.
, allora posso considerare la base
di
su
. Posso pensare a
, allora
- Viceversa, dati
, segue che
.
Chiamo
. Allora posso considerare l'insieme
con
insieme diretto per quanto dimostrato sopra. Per
, definisco la mappa
tale che
. Queste mappe sono ben definite poiché
. In questo modo
è un sistema inverso di gruppi.
Mostro che
. Posso considerare infatti l'isomorfismo
tale che
. Mostriamo i seguenti fatti:
- L'elemento
con
sta nel limite inverso, cioè, per
,
. Infatti![{\displaystyle f_{j,i}(g_{|_{L_{j}}})=[g_{|_{L_{j}}}]_{|_{L_{i}}}=G_{|_{L_{i}}}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/b1c22c44d2e83e63a4a6c7593023c76547a1c2bd)
e questo è vero perché
.
è suriettiva: dato
appartenente al limite inverso, esso definisce un elemento univocamente determinato di
. Questo dipende dal fatto che
.In particolare, preso
, l'estensione
è algebrica. Considero la chiusura spezzante
, che è anche chiusura normale, di
, allora
è un'estensione di
normale e di grado finito. In
esiste
che contiene
.Allora definisco
che opera su
come
.
è un automorfismo, infatti dati
,
, allora esiste
che contiene
.
agisce su
come
.
è un automorfismo, allora anche
lo è.
è anche iniettiva. Dato
, voglio mostrare che
. Prendo
, allora
appartiene a un'estensione di grado finito di
, in particolare esiste
t.c.
con
normale. Allora, poiché
,
quindi
e quindi
.
Suppongo di avere
gruppi finiti, lo si rende un gruppo topologico dando la topologia discreta. Considero
e ad esso do la topologia prodotto.
Il limite inverso è un sottospazio del limite diretto. Il limite diretto e' compatto perché ogni
è compatto. Il limite inverso è un chiuso contenuto in un compatto e quindi è compatto, è Hausdorff ed è totalmente sconnesso. Dato
,
se e solo se
è chiuso in senso topologico, cioè se
in senso topologico.
Dato
primo e
campo con
elementi e
chiusura algebrica di
, posso considerare
che è il limite inverso dei gruppi di Galois che ottengo pensando alle estensioni finite di
,
.