Estensioni di grado infinito

Considero un'estensione $M\supseteq K$$M\supseteq K$ normale algebrica, ma eliminiamo l'ipotesi che $M\supseteq K$$M\supseteq K$ sia finita che era stata fondamentale in molte dimostrazioni della teoria di Galois. In questa situazione posso ancora definire ${\mathcal {G}}(M/K)$${\mathcal {G}}(M/K)$ e l'insieme ${\mathcal {L}}$${\mathcal {L}}$ dei campi intermedi, l'insieme ${\mathcal {H}}$${\mathcal {H}}$ dei sottogruppi di $G$$G$ e le mappe "primo". ${\mathcal {G}}(L/K)$${\mathcal {G}}(L/K)$ è un gruppo topologico, cioè un gruppo che è anche uno spazio topologico, in cui chiedo che le applicazioni $:G\times G\to G$$:G\times G\to G$ tale che $(x,y)\mapsto xy$$(x,y)\mapsto xy$ e $:G\to G\,t.c.\,x\mapsto x^{-1}$$:G\to G\,t.c.\,x\mapsto x^{-1}$ siano continue.

Più precisamente, il gruppo di Galois di un'estensione algebrica infinita è un gruppo profinito.

Definizione 6.7

Diremo che l'insieme $(I,\leq )$$(I,\leq )$ è diretto se comunque prendo $i,j\in I$$i,j\in I$, esiste $k\in I$$k\in I$ con $i\leq k$$i\leq k$ e $j\leq k$$j\leq k$.

 

Sistema inverso

Considero un insieme $\{G_{i},\;i\in I\}$$\{G_{i},\;i\in I\}$ con $I$$I$ insieme diretto. Per ogni $i,j\in I$$i,j\in I$ con $i\leq j$$i\leq j$, considero la mappa $f_{j,i}\colon G_{j}\to G_{i}$$f_{j,i}\colon G_{j}\to G_{i}$ tale che

1. $f_{i,i}:G_{i}\to G_{i}$$f_{i,i}:G_{i}\to G_{i}$ è l'identità su $G_{i}$$G_{i}$.
2. Considero $i\leq j\leq k$$i\leq j\leq k$, e le mappe $f_{k,j}\colon G_{k}\to G_{j}$$f_{k,j}\colon G_{k}\to G_{j}$, $f_{j,i}\colon G_{j}\to G_{i}$$f_{j,i}\colon G_{j}\to G_{i}$ e $f_{k,i}:G_{k}\to G_{i}$$f_{k,i}:G_{k}\to G_{i}$. Richiedo che
   $$f_{j,i}\circ f_{k,j}=f_{k,i}$$

   $$f_{j,i}\circ f_{k,j}=f_{k,i}$$
   In altre parole, richiedo che il diagramma seguente sia commutativo:
   $${\begin{array}{ccc}G_{k}&&\\\downarrow ^{f_{k,j}}&\diagdown ^{f_{k,i}}&\\G_{j}&\to ^{f_{j,i}}&G_{i}\end{array}}$$

   $${\begin{array}{ccc}G_{k}&&\\\downarrow ^{f_{k,j}}&\diagdown ^{f_{k,i}}&\\G_{j}&\to ^{f_{j,i}}&G_{i}\end{array}}$$

Un insieme con queste proprietà si chiama sistema inverso di gruppi.

Definizione 6.8

Considero $\prod _{i\in I}G_{i}$$\prod _{i\in I}G_{i}$ (prodotto diretto dei gruppi). L'insieme

$$\{(x_{i})_{i\in I},\,\in \prod _{i}G_{i}\,t.c.f_{j,i}(x_{j})=x_{i}\forall i\leq j\}$$

$$\{(x_{i})_{i\in I},\,\in \prod _{i}G_{i}\,t.c.f_{j,i}(x_{j})=x_{i}\forall i\leq j\}$$

indicato con il simbolo $\lim _{\leftarrow }G_{i}$$\lim _{\leftarrow }G_{i}$ si definisce limite inverso.

 

Gruppo di Galois di un'estensione infinita

Considero un'estensione algebrica normale $M\supseteq K$$M\supseteq K$. Le estensioni normali si possono caratterizzare come estensioni separabili e campi di spezzamento su $K$$K$ di una famiglia di polinomi (in analogia con le estensioni finite).

Considero la famiglia

$${\mathcal {F}}=\{L_{i},\,i\in I\,t.c.\,M\supseteq L_{i}\supseteq K,\;L_{i}\supseteq K{\textrm {\,}}normale\,di\,grado\,finito\}.$$

$${\mathcal {F}}=\{L_{i},\,i\in I\,t.c.\,M\supseteq L_{i}\supseteq K,\;L_{i}\supseteq K{\textrm {\,}}normale\,di\,grado\,finito\}.$$

Ordino l'insieme $I$$I$ in modo che $i\leq j$$i\leq j$ se $L_{i}\subseteq L_{j}$$L_{i}\subseteq L_{j}$. Devo provare che $I$$I$ è un insieme diretto. Questo è vero infatti, date $L_{i},L_{j}$$L_{i},L_{j}$ estensioni normali di grado finito, se pongo $L_{k}=\vee (L_{i},L_{j})$$L_{k}=\vee (L_{i},L_{j})$, allora $LL_{k}$$LL_{k}$ è ancora un'estensione di grado finito normale che contiene $L_{j}$$L_{j}$ e $L_{i}$$L_{i}$, cioè $i\leq k,j\leq k$$i\leq k,j\leq k$. Questo dipende da due fatti.

1. $|L_{i}:K|<\infty$$|L_{i}:K|<\infty$, allora posso considerare la base $\{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}\}$$\{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}\}$ di $L_{i}$$L_{i}$ su $K$$K$. Posso pensare a $\vee (L_{i},L_{j})=L_{j}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})$$\vee (L_{i},L_{j})=L_{j}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})$, allora
   $$\vee (L_{i},L_{j})'=L_{i}'\cap L_{j}'$$

   $$\vee (L_{i},L_{j})'=L_{i}'\cap L_{j}'$$
2. Viceversa, dati $H,K\leq G$$H,K\leq G$, segue che $(H\cap K)'=H'\vee K'$$(H\cap K)'=H'\vee K'$.

Chiamo $G_{i}={\mathcal {G}}(L_{i}/K)$$G_{i}={\mathcal {G}}(L_{i}/K)$. Allora posso considerare l'insieme $\{G_{i}\}_{i\in I}$$\{G_{i}\}_{i\in I}$ con $I$$I$ insieme diretto per quanto dimostrato sopra. Per $i,j\in I,\,i\leq j$$i,j\in I,\,i\leq j$, definisco la mappa $f_{j,i}:G_{j}\to G_{i}$$f_{j,i}:G_{j}\to G_{i}$ tale che $g\in G_{j}\mapsto g_{|_{L_{i}}}$$g\in G_{j}\mapsto g_{|_{L_{i}}}$. Queste mappe sono ben definite poiché $L_{i}\subseteq L_{j}$$L_{i}\subseteq L_{j}$. In questo modo $\{G_{i}\}_{i\in I}$$\{G_{i}\}_{i\in I}$ è un sistema inverso di gruppi.

Mostro che ${\mathcal {G}}(M/K)\cong \lim _{\leftarrow }G_{i}$${\mathcal {G}}(M/K)\cong \lim _{\leftarrow }G_{i}$. Posso considerare infatti l'isomorfismo $\phi \colon {\mathcal {G}}(M/K)\to \liminf _{\leftarrow }G_{i}$$\phi \colon {\mathcal {G}}(M/K)\to \liminf _{\leftarrow }G_{i}$ tale che $g\mapsto (g_{|_{L_{i}}})_{i\in I}$$g\mapsto (g_{|_{L_{i}}})_{i\in I}$. Mostriamo i seguenti fatti:

1. L'elemento $(x_{i})_{i\in I}$$(x_{i})_{i\in I}$ con $x_{i}=g_{|_{L_{i}}}$$x_{i}=g_{|_{L_{i}}}$ sta nel limite inverso, cioè, per $i\leq j$$i\leq j$, $f_{j,i}(x_{j})=x_{i}$$f_{j,i}(x_{j})=x_{i}$. Infatti
   $$f_{j,i}(g_{|_{L_{j}}})=[g_{|_{L_{j}}}]_{|_{L_{i}}}=G_{|_{L_{i}}}$$

   $$f_{j,i}(g_{|_{L_{j}}})=[g_{|_{L_{j}}}]_{|_{L_{i}}}=G_{|_{L_{i}}}$$
   e questo è vero perché $L_{i}\subseteq L_{j}$$L_{i}\subseteq L_{j}$.
2. $\phi$$\phi$ è suriettiva: dato $(g_{i})_{i\in I}$$(g_{i})_{i\in I}$ appartenente al limite inverso, esso definisce un elemento univocamente determinato di ${\mathcal {G}}(M/K)$${\mathcal {G}}(M/K)$. Questo dipende dal fatto che $M=\bigcup _{i\in I}L_{i}$$M=\bigcup _{i\in I}L_{i}$.In particolare, preso $\alpha \in M$$\alpha \in M$, l'estensione $K(\alpha )\supseteq K$$K(\alpha )\supseteq K$ è algebrica. Considero la chiusura spezzante $N$$N$, che è anche chiusura normale, di $K(\alpha )\supseteq K$$K(\alpha )\supseteq K$, allora $N\supseteq K$$N\supseteq K$ è un'estensione di $K$$K$ normale e di grado finito. In ${\mathcal {F}}$${\mathcal {F}}$ esiste $L_{s}$$L_{s}$ che contiene $\alpha$$\alpha$.Allora definisco $g:M\to M$$g:M\to M$ che opera su $\alpha$$\alpha$ come $g_{|_{L_{s}}}$$g_{|_{L_{s}}}$.$g$$g$ è un automorfismo, infatti dati $\alpha ,\beta \in M$$\alpha ,\beta \in M$, $\alpha \in L_{s},\beta \in L_{t}$$\alpha \in L_{s},\beta \in L_{t}$, allora esiste $L_{k}\in {\mathcal {F}}$$L_{k}\in {\mathcal {F}}$ che contiene $\alpha ,\beta$$\alpha ,\beta$. $g$$g$ agisce su $L_{k}$$L_{k}$ come $g_{k}$$g_{k}$. $g_{k}$$g_{k}$ è un automorfismo, allora anche $g$$g$ lo è.
3. $\phi$$\phi$ è anche iniettiva. Dato $g\in {\mathcal {G}}(M/K),g\neq 1$$g\in {\mathcal {G}}(M/K),g\neq 1$, voglio mostrare che $\phi (g)\neq 1$$\phi (g)\neq 1$. Prendo $\alpha \in M\smallsetminus K$$\alpha \in M\smallsetminus K$, allora $\alpha$$\alpha$ appartiene a un'estensione di grado finito di $K$$K$, in particolare esiste $s$$s$ t.c. $\alpha \in L_{s}$$\alpha \in L_{s}$ con $L_{s}\supseteq K$$L_{s}\supseteq K$ normale. Allora, poiché $\alpha \notin K$$\alpha \notin K$,
   $$\alpha ^{g_{s}}=\alpha ^{g_{|_{L_{s}}}}\neq \alpha$$

   $$\alpha ^{g_{s}}=\alpha ^{g_{|_{L_{s}}}}\neq \alpha$$
   quindi $\alpha ^{g}\neq \alpha$$\alpha ^{g}\neq \alpha$ e quindi $\phi (g)\neq 1$$\phi (g)\neq 1$.

Suppongo di avere $G_{i}$$G_{i}$ gruppi finiti, lo si rende un gruppo topologico dando la topologia discreta. Considero $\prod _{i}G_{i}$$\prod _{i}G_{i}$ e ad esso do la topologia prodotto. Il limite inverso è un sottospazio del limite diretto. Il limite diretto e' compatto perché ogni $G_{i}$$G_{i}$ è compatto. Il limite inverso è un chiuso contenuto in un compatto e quindi è compatto, è Hausdorff ed è totalmente sconnesso. Dato $H\in G$$H\in G$, $H''=H$$H''=H$ se e solo se $H$$H$ è chiuso in senso topologico, cioè se ${\bar {H}}=H$${\bar {H}}=H$ in senso topologico.

Dato $p$$p$ primo e $F_{p}$$F_{p}$ campo con $p$$p$ elementi e $F$$F$ chiusura algebrica di $F_{p}$$F_{p}$, posso considerare ${\mathcal {G}}(F/F_{p})$${\mathcal {G}}(F/F_{p})$ che è il limite inverso dei gruppi di Galois che ottengo pensando alle estensioni finite di $F_{p}$$F_{p}$, $\lim _{\leftarrow }(\mathbb {Z} /(p^{n}\mathbb {Z} ))_{n\geq 1}$$\lim _{\leftarrow }(\mathbb {Z} /(p^{n}\mathbb {Z} ))_{n\geq 1}$.