Gruppi

Prime definizioni[modifica | modifica wikitesto]

Definizione

Un insieme con una mappa si dice gruppo se:

  1. si ha (la mappa è associativa)
  2. t.c. (esiste l'elemento neutro)
  3. t.c. (esiste l'elemento inverso).
 
Definizione

Un gruppo si dice abeliano (o commutativo) se vale:

si ha (la mappa è commutativa).
 
Definizione

Sia un gruppo. La cardinalità è detta ordine del gruppo .

 

Notazione #1: Per specificare l'operazione del gruppo si usa la notazione . Quando si capisce dal contesto l'operazione si usa solo per denotare il gruppo.

Notazione #2: D'ora in poi il segno della moltiplicazione sarà sempre omesso, ovvero si scrive al posto di

Esempio
  • è un gruppo, infatti:
  1. si ha
  2. t.c.
  3. t.c.
è abeliano, infatti:
si ha
  • non è un gruppo, poichè
  • è un gruppo abeliano
  • è un gruppo abeliano
  • è un gruppo abeliano
  • Sia un insieme. Sia . è un gruppo:
  1. si ha
  2. t.c.
  3. t.c.
  • è abeliano?
    • Se . Quindi è abeliano
    • Se con ( scambia x con y e viceversa). Si dimostra che è abeliano.
    • Se . . Quindi non è abeliano
    • Se vale lo stesso discorso di .
 
Definizione
Sia .

si dice gruppo simmetrico su n elementi.

 

Prime proprietà dei Gruppi[modifica | modifica wikitesto]

Proposizione

Sia un gruppo. Sia t.c. si ha .

Allora .

 
Dimostrazione

(per come è definito ), ( è l'elemento neutro del gruppo). Quindi }}

 
Proposizione

Sia un gruppo. Sia . Allora .

 
Dimostrazione

Dalla definizione di gruppo si ha .

Bisogna dimostrare che .

.

Quindi .

Ma .

Quindi .

 
Proposizione

Sia un gruppo. Sia t.c . Allora .

 
Dimostrazione

Sia . Quindi per la Proposizione #2 si ha .

 
Proposizione

Sia un gruppo. Sia . Allora

 
Dimostrazione

La Proposizione #3 implica che l'elemento inverso è unico. Dalla Proposizione #2 si ha .

Quindi, per la proposizione #3, si ha .

Ma .

Quindi si .

 


Osservazione

Sia un gruppo. Siano . Sia tale che . Allora .

Infatti: . Ma si ha anche . Quindi .

 
Osservazione

Sia un gruppo. Siano . Sia tale che . Allora .

 
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