Definizione (215 Orbita e stabilizzatore)
Data un'azione di un gruppo
su un insieme
, per ogni elemento
definiamo:
.
Questo è l'insieme di tutte le immagini mediante
del punto
al variare di
e si chiama orbita
contenente
per il gruppo
. E' un sottoinsieme di
.
. E' l'insieme di tutti e soli gli elementi di
tali che
fissa
.
E' un sottoinsieme (e un sottogruppo) di
e si chiama stabilizzatore del punto
in
.
Per ogni fissato
lo stabilizzatore
è un sottogruppo di
. Questo discende dagli assiomi di un'azione
di gruppo.
, infatti
(per la proprietà 1 di azione di gruppo)
- Dimostro che presi due elementi
, allora
, cioè se
fissano
, anche
fissa
.

(

è ancora uguale a

perché

in

)

(perché anche

)
Quindi lo stabilizzatore di un punto di
in
è un sottogruppo per il criterio.
Le orbite di
su
determinano una partizione di
, allora posso definire una relazione di equivalenza le cui
classi sono le orbite.
Consideriamo sull'insieme
la relazione
definita ponendo per
,
se e solo se esiste un elemento
tale che
. Questo equivale a dire che gli elementi associati a
sono gli elementi dell'orbita.
Mostriamo che
è una relazione di equivalenza su
:
- Riflessività
- ogni
è associato a se stesso. L'elemento di
tale che
è l'unità.
- Simmetria
- se
, allora
. Se
, esiste
tale che
.
Allora
e per le proprietà di azione di gruppo si ha
.
Questo significa che
se pongo
.
- Transitività
- se
, allora esiste
tale che
. Se
, allora
.
Allora
, ovvero vale la proprietà transitiva perché esiste
tale che
.
La classe di equivalenza
è l'orbita
per come
è definita.
Pertanto si può concludere che se considero l'insieme delle
-orbite sull'insieme
, esso costituisce una partizione dell'insieme dei punti
di
.
Sia
la partizione e in ciascuna orbita scegliamo un rappresentante. Sia
un
insieme completo di rappresentanti per le
-orbite su
, cioè per
.
Allora l'insieme
. La cardinalità di
è la somma delle cardinalità delle orbite.
Se la cardinalità di
è 1, ovvero se c'è una sola
-orbita su
, allora presi due elementi
esiste sempre un elemento
tale che
. Diremo che l'azione di
su
è transitiva.
(per moltiplicazioni a sinistra si può passare da un elemento di
all'altro).
Nel caso della rappresentazione regolare lo stabilizzatore di un punto è ridotto all'unità di
.
Se ho un gruppo
e un suo sottogruppo
, allora possiamo considerare i laterali sinistri e destri di
in
. Se
è normale,
le due partizioni coincidono. Se
è un gruppo finito, il numero dei laterali sinistri è uguale a quello dei laterali destri,
anche se il sottogruppo non è normale (per il teorema di Lagrange).
Questo è vero in generale: dato un gruppo anche infinito
e un suo sottogruppo
(non necessariamente normale),
l'insieme dei laterali sinistri
e quello dei laterali destri
in
hanno la stessa cardinalità.
Infatti se si considera la biezione di
in sé che associa al laterale sinistro
il laterale destro
è una
biezione tra
e
. Questa corrispondenza non dipende dalla scelta dei rappresentanti. Infatti si ha:

L'applicazione è ben definita. Lo stesso non si può dire per la corrispondenza che a

associa

.
Definizione (220 Indice)
La cardinalità comune a
e
si dice indice del sottogruppo
in
e si denota con
. (questo è ovvio nel caso in
cui
è finito).
Per il teorema di Lagrange, l'indice del sottogruppo
in
è uguale a
. (quoziente fra ordine del
gruppo e ordine del sottogruppo)
Proposizione (222)
Sia
un'azione di
sull'insieme
.
Per ogni
vi è una bieziione fra l'insieme
(insieme dei laterali sinistri dello stabilizzatore
in
) e l'orbita
.
In altre parole la cardinalità
dell'orbita è uguale alla cardinalità di
che è l'indice
Nel caso di
finito, l'ordine di un'orbita è uguale al quoziente tra l'ordine di
e l'ordine dello stabilizzatore
.
Dimostrazione
Sia
e supponiamo che
per un altro elemento
. Allora
se e solo se
(faccio agire
su entrambi i membri). Quindi
quindi
se e solo se
. E questa condizione implica che
per la condizione di uguaglianza tra i laterali.
In altre parole, l'applicazione da
all'orbita
definita associando a
l'elemento
induce una biezione fra
e l'orbita
.
Quindi le immagini distinte
sono tante quante i laterali dello stabilizzatore
in
, perché se due elementi di un'orbita
coincidono, anche i rispettivi laterali dello stabilizzatore coincidono.
Corollario (223 equazione delle orbite)
Supponiamo
un insieme di cardinalità finita
su cui
opera.
Sia
la partizione di
nelle
-orbite
.
Allora se scelgo
un insieme completo di rappresentanti per le
-orbite su
,
allora l'ordine di
è uguale alla cardinalità di
e si ha

(l'ultima espressione corrisponde al numero dei laterali dello stabilizzatore).
Consideriamo la rappresentazione regolare sinistra, cioè l'azione da
a
che a ogni coppia ordinata
associa
(per ogni
,
è data dalla moltiplicazione a sinistra per
).
Se considero
e considero
, l'orbita è
. In quest'azione c'è un'unica orbita che è
, l'azione è transitiva. Lo stabilizzante
quindi è ridotto all'unità di
.
Posso considerare un elemento
e sia
il sottogruppo ciclico generato da
. Consideriamo la restrizione
della rappresentazione regolare di
ad
, allora per ogni
, l'orbita che contiene
è il laterale destro
.
La cardinalità di questo laterale è uguale all'indice dello stabilizzante di
nel gruppo
.
Infatti, lo stabilizzante è ridotto all'unità di
e ha ordine
, quindi il quoziente
.
Se considero la rappresentazione regolare ristretta al sottogruppo
, ogni orbita ha cardinalità uguale all'ordine di
.
Se
è un gruppo finito, l'azione che
realizza per moltiplicazione a sinistra è decomponibile nel prodotto di cicli disgiunti e la
loro lunghezza è uguale al periodo di
,
Se
, ogni orbita ha lunghezza
.
In particolare, se
è un gruppo finito, la lunghezza di ogni
-orbita su
è uguale al quoziente fra l'ordine finito di
e l'ordine
dello stabilizzatore di un punto.
Definizione (225 Classe di coniugio)
Ho un'applicazione
che alla coppia
associa
, cioè il coniugato dell'elemento di
mediante
.
Se prendo un elemento
l'orbita
è l'insieme
.
Ogni orbita è una classe di equivalenza e viene definita classe di coniugio di
.
Definizione (226 Centralizzante)
Lo stabilizzatore
, cioè sono tutti e soli gli elementi di
che
commutano con l'elemento
. Questo sottogruppo si denota con
e si chiama centralizzante di
in
.
E' un sottogruppo essendo uno stabilizzatore.
La cardinalità di
è uguale all'indice del centralizzante di
in
. In particolare, se
è un gruppo finito, ogni classe di
coniugio ha ordine
. L'ordine dello stabilizzatore è un divisore dell'ordine del gruppo.
La cardinalità di
è uguale a
se e solo se il centralizzante in
dell'elemento
coincide con l'intero gruppo e quindi
se
commuta con tutti gli elementi di
.
In questo caso le orbite contengono un solo elemento, che è un elemento del centro di
, indicato con
oppure con
.
Proposizione (227 Equazione delle classi)
Sia
un gruppo finito e sia
un insieme completo di rappresentanti per le classi di coniugio di
non centrali,
cioè contenute in
e sono
.
(le classi di coniugio centrali sono quelle che sono costituite da un oggetto solo, perché in questo caso l'ordine dello stabilizzatore è
uguale all'ordine del gruppo).
Allora:

cioè l'ordine del gruppo è la somma degli ordini delle classi di coniugio non centrali e del numero di elementi del centro.
Ogni classe ha lunghezza pari all'ordine di

diviso l'ordine del centralizzante di un rappresentante.
Riassumendo, il centro si può definire come l'insieme degli elementi
che commutano con tutti gli elementi di
.
Invece il centralizzante, dato un elemento
, è l'insieme degli elementi di
che commutano con
.
Esercizio (228)
Supponiamo di avere un gruppo finito che ha potenza uguale a un numero primo (
-gruppo finito). In questo gruppo il
centro è più grande della sola unità.
Il fatto che il centro non può essere ridotto a
si ricava dall'equazione delle classi. Infatti, per quest'equazione

In ogni gruppo ciclico finito esiste per ogni divisore dell'ordine uno e un solo sottogruppo che ha come ordine quel divisore.
Ma se
ha come ordine un numero primo, ha solo due sottogruppi banali.
Quindi
. Allora necessariamente ci sono orbite con un elemento solo.
Sia
un gruppo e sia
l'insieme dei sottogruppi di
.
Allora possiamo definire un'azione
ponendo
sottogruppo di
,
(è immediato verificare che
è un sottogruppo di
).
Sono soddisfatti i due assiomi di azione:

- Siano
, allora
(operatorialità)
L'orbita
è l'insieme
, cioè l'insieme dei coniugati di
mediante gli elementi di
,
della forma
(classe di coniugio del sottogruppo
).
Definizione (229 Normalizzante)
Lo stabilizzatore
è definito come
.
Questo stabilizzatore viene denotato con
e si chiama normalizzante del sottogruppo
in
.
E' il più grande sottogruppo di
in cui
è normale.
Per l'equazione delle orbite sappiamo che la cardinalità dell'orbita che contiene 
è uguale alla cardinalità dell'insieme dei
laterali
. La lunghezza dell'orbita è un divisore dell'ordine di
ed è uguale al quoziente tra l'ordine di
e l'ordine del
normalizzante.