Orbite e stabilizzatori

Definizioni

Definizione (215 Orbita e stabilizzatore)

Data un'azione di un gruppo $G$$G$ su un insieme $X$$X$, per ogni elemento $x\in X$$x \in X$ definiamo:

1. $Gx=\{g\cdot x|g\in G\}$$Gx=\{g\cdot x|g\in G\}$.

Questo è l'insieme di tutte le immagini mediante $\sigma _{g}$$\sigma _{g}$ del punto $x$$x$ al variare di $g$$g$ e si chiama orbita contenente $x$$x$ per il gruppo $G$$G$. E' un sottoinsieme di $X$$X$.

1. $G_{x}=\{g\in G|g\cdot x=x\}$$G_{x}=\{g\in G|g\cdot x=x\}$. E' l'insieme di tutti e soli gli elementi di $G$$G$ tali che $\sigma _{g}$$\sigma _{g}$ fissa $x$$x$.

E' un sottoinsieme (e un sottogruppo) di $G$$G$ e si chiama stabilizzatore del punto $x$$x$ in $G$$G$.

 

Stabilizzatore come sottogruppo

Osservazione (216)

Per ogni fissato $x\in X$$x \in X$ lo stabilizzatore $G_{x}$$G_x$ è un sottogruppo di $G$$G$. Questo discende dagli assiomi di un'azione di gruppo.

1. $1_{g}\in G_{x}$$1_{g}\in G_{x}$, infatti $1_{g}\cdot x=x$$1_{g}\cdot x=x$ (per la proprietà 1 di azione di gruppo)
2. Dimostro che presi due elementi $a,b\in G_{x}$$a,b\in G_{x}$, allora $ab^{-1}\in G_{x}$$ab^{-1}\in G_{x}$, cioè se $a,b$$a,b$ fissano $x$$x$, anche $ab^{-1}$$ab^{-1}$ fissa $x$$x$.

$$ab^{-1}\cdot x=ab^{-1}\cdot (b\cdot x)$$

$$ab^{-1}\cdot x=ab^{-1}\cdot (b\cdot x)$$

($b\cdot x$$b\cdot x$ è ancora uguale a $x$$x$ perché $b$$b$ in $g_{x}$$g_{x}$)

$$=(ab^{-1}b)\cdot x=a\cdot x=x$$

$$=(ab^{-1}b)\cdot x=a\cdot x=x$$

(perché anche $a\in G_{x}$$a\in G_{x}$)

Quindi lo stabilizzatore di un punto di $x$$x$ in $G$$G$ è un sottogruppo per il criterio.

 

Orbite come classi di equivalenza

Osservazione (217)

Le orbite di $G$$G$ su $X$$X$ determinano una partizione di $X$$X$, allora posso definire una relazione di equivalenza le cui classi sono le orbite.

Consideriamo sull'insieme $X$$X$ la relazione $\sim$$\sim$ definita ponendo per $x,y\in X$$x,y \in X$, $x\sim y$$x\sim y$ se e solo se esiste un elemento $g\in G$$g\in G$ tale che $y=g\cdot x$$y=g\cdot x$. Questo equivale a dire che gli elementi associati a $x$$x$ sono gli elementi dell'orbita.

Mostriamo che $\sim$$\sim$ è una relazione di equivalenza su $X$$X$:

Riflessività

ogni $x$$x$ è associato a se stesso. L'elemento di $g$$g$ tale che $g\cdot x=x$$g\cdot x=x$ è l'unità.

Simmetria

se $x\sim y$$x\sim y$, allora $y\sim x$$y\sim x$. Se $x\sim y$$x\sim y$, esiste $y\in X$$y\in X$ tale che $y=g\cdot x$$y=g\cdot x$.

Allora $g^{-1}\cdot y=g^{-1}\cdot (g\cdot x)$$g^{-1}\cdot y=g^{-1}\cdot (g\cdot x)$ e per le proprietà di azione di gruppo si ha $(g*g^{-1})\cdot x=1_{g}\cdot x=x$$(g*g^{-1})\cdot x=1_{g}\cdot x=x$. Questo significa che $y\sim x$$y\sim x$ se pongo $g=g^{-1}$$g=g^{-1}$.

Transitività

se $x\sim y$$x\sim y$, allora esiste $g_{1}$$g_{1}$ tale che $y=g_{1}\cdot x$$y=g_{1}\cdot x$. Se $y\sim z$$y\sim z$, allora $y\cdot g_{2}=z$$y\cdot g_{2}=z$.

Allora $g_{2}\cdot y=g_{2}g_{1}\cdot x=(g_{2}g_{1})\cdot x$$g_{2}\cdot y=g_{2}g_{1}\cdot x=(g_{2}g_{1})\cdot x$, ovvero vale la proprietà transitiva perché esiste $g_{1}g_{2}\in G$$g_{1}g_{2}\in G$ tale che $g_{1}g_{2}\cdot x=z$$g_{1}g_{2}\cdot x=z$.

La classe di equivalenza $[x]_{\sim }$$[x]_{\sim }$ è l'orbita $Gx$$Gx$ per come $\sim$$\sim$ è definita. Pertanto si può concludere che se considero l'insieme delle $G$$G$-orbite sull'insieme $X$$X$, esso costituisce una partizione dell'insieme dei punti di $X$$X$. Sia $\{X_{i},\,i\in I\}$$\{X_{i},\,i\in I\}$ la partizione e in ciascuna orbita scegliamo un rappresentante. Sia $\{x_{i},\,i\in I\}$$\{x_{i},\,i\in I\}$ un insieme completo di rappresentanti per le $G$$G$-orbite su $X$$X$, cioè per $\{G_{i}\}$$\{G_{i}\}$. Allora l'insieme $X=\bigcup \{X_{i}\}_{i\in I}=\bigcup _{i\in I}G.x_{i}$$X=\bigcup \{X_{i}\}_{i\in I}=\bigcup _{i\in I}G.x_{i}$. La cardinalità di $X$$X$ è la somma delle cardinalità delle orbite.

 

Osservazione (218)

Se la cardinalità di $I$$I$ è 1, ovvero se c'è una sola $G$$G$-orbita su $X$$X$, allora presi due elementi $\alpha ,\beta \in X$$\alpha ,\beta \in X$ esiste sempre un elemento $g$$g$ tale che $g\cdot \alpha =\beta$$g\cdot \alpha =\beta$. Diremo che l'azione di $G$$G$ su $X$$X$ è transitiva. (per moltiplicazioni a sinistra si può passare da un elemento di $G$$G$ all'altro).

Nel caso della rappresentazione regolare lo stabilizzatore di un punto è ridotto all'unità di $G$$G$.

 

Numero dei laterali

Osservazione (219)

Se ho un gruppo $G$$G$ e un suo sottogruppo $H$$H$, allora possiamo considerare i laterali sinistri e destri di $H$$H$ in $G$$G$. Se $H$$H$ è normale, le due partizioni coincidono. Se $G$$G$ è un gruppo finito, il numero dei laterali sinistri è uguale a quello dei laterali destri, anche se il sottogruppo non è normale (per il teorema di Lagrange).

Questo è vero in generale: dato un gruppo anche infinito $G$$G$ e un suo sottogruppo $H$$H$ (non necessariamente normale), l'insieme dei laterali sinistri $G|H$$G|H$ e quello dei laterali destri $H|G$$H|G$ in $G$$G$ hanno la stessa cardinalità.

Infatti se si considera la biezione di $G$$G$ in sé che associa al laterale sinistro $gH$$gH$ il laterale destro $Hg^{-1}$$Hg^{-1}$ è una biezione tra $G|H$$G|H$ e $H|G$$H|G$. Questa corrispondenza non dipende dalla scelta dei rappresentanti. Infatti si ha:

$$ghH\to Hh^{-1}g^{-1}=H(gh)^{-1}$$

$$ghH\to Hh^{-1}g^{-1}=H(gh)^{-1}$$

L'applicazione è ben definita. Lo stesso non si può dire per la corrispondenza che a $gH$$gH$ associa $Hg$$Hg$.

 

Definizione (220 Indice)

La cardinalità comune a $G|H$$G|H$ e $H|G$$H|G$ si dice indice del sottogruppo $H$$H$ in $G$$G$ e si denota con $G:H$$G:H$. (questo è ovvio nel caso in cui $G$$G$ è finito).

 

Osservazione (221)

Per il teorema di Lagrange, l'indice del sottogruppo $H$$H$ in $G$$G$ è uguale a ${\frac {O(G)}{O(H)}}$${\frac {O(G)}{O(H)}}$. (quoziente fra ordine del gruppo e ordine del sottogruppo)

 

Legame tra laterali e orbite

Proposizione (222)

Sia $\phi \colon G\times X\to X$$\phi \colon G\times X\to X$ un'azione di $G$$G$ sull'insieme $X$$X$. Per ogni $x\in X$$x \in X$ vi è una bieziione fra l'insieme $G|G_{x}$$G|G_{x}$ (insieme dei laterali sinistri dello stabilizzatore $G_{x}$$G_x$ in $G$$G$) e l'orbita $G.x$$G.x$. In altre parole la cardinalità $|Gx|$$|Gx|$ dell'orbita è uguale alla cardinalità di $G|G_{x}$$G|G_{x}$ che è l'indice $G:G_{x}$$G:G_{x}$

Nel caso di $G$$G$ finito, l'ordine di un'orbita è uguale al quoziente tra l'ordine di $G$$G$ e l'ordine dello stabilizzatore $G_{x}$$G_x$.

 

Dimostrazione

Sia $g\in G$$g\in G$ e supponiamo che $g\cdot x=h\cdot x$$g\cdot x=h\cdot x$ per un altro elemento $h\in G$$h\in G$. Allora $g\cdot x=h\cdot x$$g\cdot x=h\cdot x$ se e solo se $h^{-1}\cdot (g.\cdot x)=h^{-1}\cdot (h\cdot x)$$h^{-1}\cdot (g.\cdot x)=h^{-1}\cdot (h\cdot x)$ (faccio agire $h^{-1}$$h^{-1}$ su entrambi i membri). Quindi $h^{-1}\cdot g\cdot x=(h^{-1}\cdot h)\cdot x=(h^{-1}h)\cdot x$$h^{-1}\cdot g\cdot x=(h^{-1}\cdot h)\cdot x=(h^{-1}h)\cdot x$ quindi $(h^{-1}g)\cdot x=x$$(h^{-1}g)\cdot x=x$ se e solo se $h^{-1}g\in G_{x}$$h^{-1}g\in G_{x}$. E questa condizione implica che $gG_{x}=hG_{x}$$gG_{x}=hG_{x}$ per la condizione di uguaglianza tra i laterali.

In altre parole, l'applicazione da $G|G_{x}$$G|G_{x}$ all'orbita $G.x$$G.x$ definita associando a $g$$g$ l'elemento $g\cdot x$$g\cdot x$ induce una biezione fra $G|G_{x}$$G|G_{x}$ e l'orbita $Gx$$Gx$.

Quindi le immagini distinte $g\cdot x$$g\cdot x$ sono tante quante i laterali dello stabilizzatore $G_{x}$$G_x$ in $G$$G$, perché se due elementi di un'orbita coincidono, anche i rispettivi laterali dello stabilizzatore coincidono.

 

Equazione delle orbite

Corollario (223 equazione delle orbite)

Supponiamo $X$$X$ un insieme di cardinalità finita $n$$n$ su cui $G$$G$ opera. Sia $X=\bigcup _{i=1}^{t}X_{i}$$X=\bigcup _{i=1}^{t}X_{i}$ la partizione di $X$$X$ nelle $G$$G$-orbite $X_{i}$$X_{i}$. Allora se scelgo $\{x_{i},\}_{i=1}^{t}$$\{x_{i},\}_{i=1}^{t}$ un insieme completo di rappresentanti per le $G$$G$-orbite su $X$$X$, allora l'ordine di $x_{n}$$x_n$ è uguale alla cardinalità di $X$$X$ e si ha

$$o(x_{n})=|X|=\sum _{i=1}^{t}|G.x_{i}|=\sum _{i=1}^{t}(G:G_{x_{i}})$$

$$o(x_{n})=|X|=\sum _{i=1}^{t}|G.x_{i}|=\sum _{i=1}^{t}(G:G_{x_{i}})$$

(l'ultima espressione corrisponde al numero dei laterali dello stabilizzatore).

 

Esempi: rappresentazione regolare sinistra

Consideriamo la rappresentazione regolare sinistra, cioè l'azione da $G\times G$$G\times G$ a $G$$G$ che a ogni coppia ordinata $(g,h)$$(g,h)$ associa $g.h=gh$$g.h=gh$ (per ogni $g\in G$$g\in G$, $\sigma _{g}$$\sigma _{g}$ è data dalla moltiplicazione a sinistra per $g$$g$). Se considero $h\in X$$h\in X$ e considero $G.h$$G.h$, l'orbita è $G.h=\{gh=\sigma _{g}(h)\,g\in G\}$$G.h=\{gh=\sigma _{g}(h)\,g\in G\}$. In quest'azione c'è un'unica orbita che è $G$$G$, l'azione è transitiva. Lo stabilizzante $G_{h}=\{g\in Gt.c.g.h=h\}$$G_{h}=\{g\in Gt.c.g.h=h\}$ quindi è ridotto all'unità di $G$$G$.

Osservazione (224)

Posso considerare un elemento $g\in G$$g\in G$ e sia $H$$H$ il sottogruppo ciclico generato da $g$$g$. Consideriamo la restrizione della rappresentazione regolare di $G$$G$ ad $H$$H$, allora per ogni $x\in G$$x\in G$, l'orbita che contiene $x$$x$ è il laterale destro $Hx$$Hx$. La cardinalità di questo laterale è uguale all'indice dello stabilizzante di $x$$x$ nel gruppo $H$$H$.

Infatti, lo stabilizzante è ridotto all'unità di $G$$G$ e ha ordine $1$$1$, quindi il quoziente ${\frac {o(H)}{|H_{x}|}}=o(H)$${\frac {o(H)}{|H_{x}|}}=o(H)$.

Se considero la rappresentazione regolare ristretta al sottogruppo $H$$H$, ogni orbita ha cardinalità uguale all'ordine di $H$$H$.

Se $G$$G$ è un gruppo finito, l'azione che $g$$g$ realizza per moltiplicazione a sinistra è decomponibile nel prodotto di cicli disgiunti e la loro lunghezza è uguale al periodo di $g$$g$,

Se $o(g)=r$$o(g)=r$, ogni orbita ha lunghezza $r=o(g)$$r=o(g)$.

In particolare, se $G$$G$ è un gruppo finito, la lunghezza di ogni $G$$G$-orbita su $X$$X$ è uguale al quoziente fra l'ordine finito di $G$$G$ e l'ordine dello stabilizzatore di un punto.

 

Classi di coniugio e centralizzante

Definizione (225 Classe di coniugio)

Ho un'applicazione $f\colon G\times G\to G$$f\colon G\times G\to G$ che alla coppia $(g,h)$$(g,h)$ associa $h^{g}=ghg^{-1}$$h^{g}=ghg^{-1}$, cioè il coniugato dell'elemento di $H$$H$ mediante $g$$g$.

Se prendo un elemento $h$$h$ l'orbita $Gh$$Gh$ è l'insieme $\{ghg^{-1},\,g\in G\}$$\{ghg^{-1},\,g\in G\}$. Ogni orbita è una classe di equivalenza e viene definita classe di coniugio di $h\in G$$h\in G$.

 

Definizione (226 Centralizzante)

Lo stabilizzatore $G_{h}=\{g\in G|ghg^{-1}=h\}=\{g\in G|gh=hg\}$$G_{h}=\{g\in G|ghg^{-1}=h\}=\{g\in G|gh=hg\}$, cioè sono tutti e soli gli elementi di $G$$G$ che commutano con l'elemento $h$$h$. Questo sottogruppo si denota con $C_{G}$$C_{G}$ e si chiama centralizzante di $h$$h$ in $G$$G$. E' un sottogruppo essendo uno stabilizzatore.

 

La cardinalità di $Gh$$Gh$ è uguale all'indice del centralizzante di $G$$G$ in $H$$H$. In particolare, se $G$$G$ è un gruppo finito, ogni classe di coniugio ha ordine ${\frac {O(G)}{O(C)}}$${\frac {O(G)}{O(C)}}$. L'ordine dello stabilizzatore è un divisore dell'ordine del gruppo. La cardinalità di $Gh$$Gh$ è uguale a $1$$1$ se e solo se il centralizzante in $G$$G$ dell'elemento $h$$h$ coincide con l'intero gruppo e quindi se $h$$h$ commuta con tutti gli elementi di $G$$G$. In questo caso le orbite contengono un solo elemento, che è un elemento del centro di $G$$G$, indicato con $Z_{G}$$Z_{G}$ oppure con $Z(G)$$Z(G)$.

Equazione delle classi

Proposizione (227 Equazione delle classi)

Sia $G$$G$ un gruppo finito e sia $\{x_{1},x_{2},x_{s}\}$$\{x_{1},x_{2},x_{s}\}$ un insieme completo di rappresentanti per le classi di coniugio di $G$$G$ non centrali, cioè contenute in $G\smallsetminus Z_{G}$$G\smallsetminus Z_{G}$ e sono $s\leq t$$s\leq t$. (le classi di coniugio centrali sono quelle che sono costituite da un oggetto solo, perché in questo caso l'ordine dello stabilizzatore è uguale all'ordine del gruppo). Allora:

$$O(G)=O_{Z_{G}}+\sum _{i=1}^{s}{\frac {O(G)}{O(G_{x_{i}})}},$$

$$O(G)=O_{Z_{G}}+\sum _{i=1}^{s}{\frac {O(G)}{O(G_{x_{i}})}},$$

cioè l'ordine del gruppo è la somma degli ordini delle classi di coniugio non centrali e del numero di elementi del centro. Ogni classe ha lunghezza pari all'ordine di $G$$G$ diviso l'ordine del centralizzante di un rappresentante.

 

Riassumendo, il centro si può definire come l'insieme degli elementi $h\in G$$h\in G$ che commutano con tutti gli elementi di $G$$G$. Invece il centralizzante, dato un elemento $h$$h$, è l'insieme degli elementi di $G$$G$ che commutano con $h$$h$.

Esercizio (228)

Supponiamo di avere un gruppo finito che ha potenza uguale a un numero primo ($p$$p$-gruppo finito). In questo gruppo il centro è più grande della sola unità.

Il fatto che il centro non può essere ridotto a $1$$1$ si ricava dall'equazione delle classi. Infatti, per quest'equazione

$$O(Z_{G})=O(G)-\sum _{i=1}^{s}{\frac {O(G)}{O(G_{x_{i}})}}$$

$$O(Z_{G})=O(G)-\sum _{i=1}^{s}{\frac {O(G)}{O(G_{x_{i}})}}$$

In ogni gruppo ciclico finito esiste per ogni divisore dell'ordine uno e un solo sottogruppo che ha come ordine quel divisore. Ma se $G$$G$ ha come ordine un numero primo, ha solo due sottogruppi banali. Quindi ${\frac {o(G)}{o(G_{x_{i}})}}=1$${\frac {o(G)}{o(G_{x_{i}})}}=1$. Allora necessariamente ci sono orbite con un elemento solo.

 

Azione per coniugio sui sottogruppi

Sia $G$$G$ un gruppo e sia $X$$X$ l'insieme dei sottogruppi di $G$$G$. Allora possiamo definire un'azione $G\times X\to X$$G\times X\to X$ ponendo $\forall g\in G,\,\forall H$$\forall g\in G,\,\forall H$ sottogruppo di $G$$G$, $H^{g}=\{h^{g},\forall h\in H\}=\{gHg^{-1},\forall h\in H\}$$H^{g}=\{h^{g},\forall h\in H\}=\{gHg^{-1},\forall h\in H\}$ (è immediato verificare che $gHg^{-1}$$gHg^{-1}$ è un sottogruppo di $G$$G$).

Sono soddisfatti i due assiomi di azione:

1. $1_{g}\cdot H=1_{g}H(1_{g})^{-1}=H$$1_{g}\cdot H=1_{g}H(1_{g})^{-1}=H$
2. Siano $g_{1},g_{2}\in G$$g_{1},g_{2}\in G$, allora $g_{1}\cdot (g_{2}\cdot h)=g_{1}\cdot (g_{2}hg_{2}^{-1})=g_{1}g_{2}hg_{2}^{-1}g_{1}^{-1}=(g_{1}g_{2})H(g_{1}g_{2})^{-1}=(g_{1}g_{2})\cdot h,\quad \forall h\in H$$g_{1}\cdot (g_{2}\cdot h)=g_{1}\cdot (g_{2}hg_{2}^{-1})=g_{1}g_{2}hg_{2}^{-1}g_{1}^{-1}=(g_{1}g_{2})H(g_{1}g_{2})^{-1}=(g_{1}g_{2})\cdot h,\quad \forall h\in H$ (operatorialità)

L'orbita $GH$$GH$ è l'insieme $\{h^{g}\}$$\{h^{g}\}$, cioè l'insieme dei coniugati di $H$$H$ mediante gli elementi di $G$$G$, della forma $\{gHg^{-1},g\in G\}$$\{gHg^{-1},g\in G\}$ (classe di coniugio del sottogruppo $H$$H$).

Definizione (229 Normalizzante)

Lo stabilizzatore $G_{H}$$G_{H}$ è definito come $G_{H}=\{g\in G|H^{g}=H\}=\{g\in G|gHg^{-1}=H\}$$G_{H}=\{g\in G|H^{g}=H\}=\{g\in G|gHg^{-1}=H\}$. Questo stabilizzatore viene denotato con $N_{G}(H)$$N_{G}(H)$ e si chiama normalizzante del sottogruppo $H$$H$ in $G$$G$. E' il più grande sottogruppo di $G$$G$ in cui $H$$H$ è normale.

 

Per l'equazione delle orbite sappiamo che la cardinalità dell'orbita che contiene $H$$H$$G.H$$G.H$ è uguale alla cardinalità dell'insieme dei laterali $G:N_{G}(H)$$G:N_{G}(H)$. La lunghezza dell'orbita è un divisore dell'ordine di $G$$G$ ed è uguale al quoziente tra l'ordine di $G$$G$ e l'ordine del normalizzante.