Gruppi quoziente

Notazione

Sia ora $R$$R$ una congruenza in un gruppo $G$$G$ con nucleo uguale al sottogruppo normale $N$$N$. Sappiamo che il prodotto definito su $G$$G$ induce un prodotto sull'insieme quoziente delle classi di equivalenza $G/R$$G/R$. $G/R$$G/R$ ha come elementi i laterali destri (o sinistri) di $N$$N$ in $G$$G$.

Denotiamo l'insieme quoziente $G/R$$G/R$ con $G/N$$G/N$ (perché i suoi elementi sono esprimibili mediante $N$$N$). Allora $G/N$$G/N$ si chiama gruppo quoziente di $G$$G$ rispetto al sottogruppo normale $N$$N$.

Teorema (181)

1. L'insieme quoziente $G/N$$G/N$ è un gruppo rispetto all'operazione indotta definita su $G$$G$ chiamata prodotto di laterali:

presi due laterali $Na$$Na$ e $Nb$$Nb$, si definisce $Na*Nb=Nab$$Na*Nb=Nab$. Questo gruppo con l'operazione si chiama gruppo quoziente di $G$$G$ rispetto al sottogruppo normale $N$$N$.

1. Se consideriamo la proiezione canonica $\pi \colon G\to G/N$$\pi \colon G\to G/N$, definita ponendo $\pi (a)=Na,\forall a\in G$$\pi (a)=Na,\forall a\in G$,

essa è un epimorfismo da $G$$G$ a $G/N$$G/N$. Allora $\pi$$\pi$ in questo contesto viene chiamata epimorfismo canonico.

 

Dimostrazione

L'operazione indotta è associativa, ammette unità (la classe di equivalenza dell'unità, cioè il laterale destro che contiene l'unità, che è $N$$N$). Ogni laterale $Na$$Na$ ammette come inverso il laterale $Na^{-1}$$Na^{-1}$ che contiene l'inverso di $a$$a$. Quindi l'insieme quoziente con l'operazione indotta è un gruppo.

Presi due elementi $a,b$$a,b$ devo dimostrare che la proiezione canonica $\pi (ab)$$\pi (ab)$ conserva il prodotto. $\pi (a)*\pi (b)=Na*Nb=Nab=\pi (ab)$$\pi (a)*\pi (b)=Na*Nb=Nab=\pi (ab)$ per definizione della proiezione canonica. Un elemento generico dell'insieme quoziente ha una preimmagine in $G$$G$, data da tutti gli elementi contenuti nel laterale, quindi $\pi$$\pi$ è suriettiva.

 

Osservazione (182)

Se considero un gruppo $G$$G$ e un qualsiasi sottogruppo normale $N$$N$, il quoziente $G/N$$G/N$ è epimorfo a $G$$G$ (l'epimorfismo è la proiezione canonica $\pi$$\pi$).

 

Osservazione (183)

$\pi$$\pi$ non è l'unico morfismo di $G$$G$ su $G/N$$G/N$, la proiezione canonica si può comporre con altri isomorfismi.

 

Teorema fondamentale di omomorfismo per i gruppi

Teorema (184)

Siano $G,H$$G,H$ due gruppi e $F\colon G\to H$$F\colon G\to H$ un morfismo di gruppi. Allora valgono le seguenti proprietà:

1. la relazione di equivalenza $R=R_{f}$$R=R_{f}$ sul dominio $G$$G$ associata all'applicazione $f$$f$ è una congruenza.
2. supponendo vero il punto 1, sia $N$$N$ il nucleo di $R$$R$ e sia $\pi \colon G\to G/N$$\pi \colon G\to G/N$ la proiezione canonica di $G$$G$ su $G/N$$G/N$. Allora esiste ed è unico un morfismo ${\bar {f}}\colon G/N\to H$${\bar {f}}\colon G/N\to H$ tale che sia $f={\bar {f}}\circ \pi$$f={\bar {f}}\circ \pi$, ovvero tale da rendere commutativo il diagramma:

$$G\rightarrow ^{\pi }G/N\rightarrow ^{\bar {f}}H=G\rightarrow ^{f}H$$

$$G\rightarrow ^{\pi }G/N\rightarrow ^{\bar {f}}H=G\rightarrow ^{f}H$$

(per la teoria degli insiemi una tale aplicazione esiste, bisogna verificare che esiste per i gruppi)

1. ${\bar {f}}$${\bar {f}}$ è iniettiva, cioè ${\bar {f}}$${\bar {f}}$ è un monomorfismo ed è un isomorfismo se e solo se $f$$f$ è un epimorfismo.

 

Dimostrazione

1. Supponiamo che $aRa'$$aRa'$ e $bRb'$$bRb'$, quindi $f(a)=f(a')$$f(a)=f(a')$ e $f(b)=f(b')$$f(b)=f(b')$, da cui segue $f(a)*f(b)=f(a')*f(b')$$f(a)*f(b)=f(a')*f(b')$ . Ma $f$$f$ è un

morfismo. quindi $f(a)*f(b)=f(ab)$$f(a)*f(b)=f(ab)$. Similmente $f(a')*f(b')=f(a'b')$$f(a')*f(b')=f(a'b')$, quindi $ab$$ab$ e $a'b'$$a'b'$ hanno la stessa immagine, quindi $abRa'b'$$abRa'b'$ e $R$$R$ è una congruenza. (ricordare che $R=R_{f}$$R=R_{f}$ è la relazione tale che $a\sim b$$a\sim b$ se e solo se $f(a)=f(b)$$f(a)=f(b)$)

1. Per il teorema di omomorfismo per gli insiemi, sappiamo che esiste ed è unica un'applicazione ${\bar {f}}\colon G/N\to H$${\bar {f}}\colon G/N\to H$ tale che $f={\bar {f}}\circ \pi$$f={\bar {f}}\circ \pi$. L'applicazione ${\bar {F}}$${\bar {F}}$ manda un elemento dell'insieme quoziente $Na$$Na$ nell'immagine del rappresentante $a$$a$,

ed è ben definita perché $N$$N$ è il nucleo di $R$$R$ e due elementi con la stessa immagine mediante $f$$f$ sono in relazione mediante $R$$R$ e appartengono allo stesso laterale $Na$$Na$. ${\bar {f}}$${\bar {f}}$ è la funzione cercata. Bisogna dimostrare che è un morfismo. ${\bar {f}}(Na)=f(a)$${\bar {f}}(Na)=f(a)$, e ${\bar {f}}(Nb)=f(b)$${\bar {f}}(Nb)=f(b)$, ${\bar {f}}(Na)*{\bar {f}}(Nb)=f(a)*f(b)$${\bar {f}}(Na)*{\bar {f}}(Nb)=f(a)*f(b)$, ma $f$$f$ è un morfismo e conserva il prodotto. Quindi $f(a)*f(b)=f(ab)={\bar {f}}(Nab)$$f(a)*f(b)=f(ab)={\bar {f}}(Nab)$, quindi ${\bar {f}}(Na*Nb)$${\bar {f}}(Na*Nb)$.

1. Segue dal teorema di omomorfismo per gli insiemi, in cui l'iniettività è verificata se $R=R_{f}$$R=R_{f}$ come in questo caso.

 

In particolare, in questo caso se $f(G)=H$$f(G)=H$, allora ${\bar {F}}$${\bar {F}}$ è un isomorfismo e $H$$H$ è isomorfo a $G/N$$G/N$. Viceversa, tutti e soli i gruppi $H$$H$ che sono immagine epimorfa di un gruppo $G$$G$ coincidono a meno di isomorfismi con i gruppi quozienti rispetto ai sottogruppi normali di $G$$G$.

Nucleo di una congruenza

Definizione (185 Nucleo di un morfismo)

Il nucleo $N$$N$ della congruenza $R=R_{f}$$R=R_{f}$ associata al morfismo $f\colon G\to H$$f\colon G\to H$, si dice nucleo del morfismo$F$$F$ e si denota con $\ker F$$\ker F$. Per definizione $\ker F=\{g\in G\,t.c.\,f(g)=f(1_{G})\}$$\ker F=\{g\in G\,t.c.\,f(g)=f(1_{G})\}$, ma se $f$$f$ è un morfismo, $f(1_{G})=1_{H}$$f(1_{G})=1_{H}$. Il nucleo è l'insieme di tutte le preimmagini dell'unità di $H$$H$.

 

Esempi sui morfismi

Esempio (186)

Sia $G=S_{n}$$G=S_{n}$ gruppo simmetrico delle biezioni, sia $H=\pm 1$$H=\pm 1$ il sottogruppo di $(Q^{\ast },{\dot {)}}$$(Q^{\ast },{\dot {)}}$. Se $F=\delta _{\sigma }$$F=\delta _{\sigma }$ (associa a $\sigma$$\sigma$$1$$1$ se è pari e $-1$$-1$ se è dispari), è un epimorfismo di $S_{n}$$S_{n}$ sul gruppo moltiplicativo $\pm 1$$\pm 1$. La funzione segno conserva il prodotto, è un epimorfismo e il nucleo è l'insieme di tutte le permutazioni pari che hanno come immagine $1$$1$. Il gruppo alterno, essendo il nucleo di un epimorfismo, è normale in $S_{n}$$S_{n}$.

 

Riepilogo

Se $G$$G$ è un gruppo ed esiste un omomorfismo $f\colon G\to H$$f\colon G\to H$ allora si considera il quoziente di $G$$G$ rispetto al nucleo di $F$$F$. La proiezione canonica $\pi \colon G\to G/N$$\pi \colon G\to G/N$ è la mappa che a ogni elemento di $G$$G$ associa il laterale $Na$$Na$. Per il teorema di morfismo degli insiemi esiste ed è unica l'applicazione ${\bar {f}}$${\bar {f}}$ tale che $f={\bar {f}}\circ \pi$$f={\bar {f}}\circ \pi$. ${\bar {f}}\colon G/N\to H$${\bar {f}}\colon G/N\to H$ è iniettiva ed è un isomorfismo solo se $f$$f$ è un epimorfismo da $G$$G$ ad $H$$H$. Il teorema universale del morfismo esprime la proprietà universale della proiezione canonica.

Ogni quoziente di $G$$G$ rispetto a un qualsiasi sottogruppo normale è epimorfo a $G$$G$.

Gruppo additivo degli interi

Sia $(\mathbb {Z} ,+)$$(\mathbb {Z} ,+)$ il gruppo additivo degli interi. Fissato un intero $n$$n$, consideriamo il sottogruppo ciclico generato da $n$$n$ (normale) che chiamiamo $N$$N$: esso consiste di tutti i multipli di $n$$n$, cioè gli interi della forma

$$\{hn,\,h\in \mathbb {Z} \}=n\mathbb {Z}$$

$$\{hn,\,h\in \mathbb {Z} \}=n\mathbb {Z}$$

.

Considero tre casi distinti:

1. Se $n=0$$n=0$, il sottogruppo $N$$N$ è ridotto alla sola unità di $(\mathbb {Z} ,+)$$(\mathbb {Z} ,+)$. Quando considero il quoziente $\mathbb {Z} /(0*\mathbb {Z} )$$\mathbb {Z} /(0*\mathbb {Z} )$

esso coincide con l'intero gruppo $\mathbb {Z}$$\mathbb {Z}$. Questo quoziente è isomorfo a $G$$G$. In generale, se prendo un qualsiasi gruppo $G$$G$ e ne faccio il quoziente rispetto al sottogruppo contenente solo l'unità, esso è isomorfo a $G$$G$.

1. se $n=1,-1$$n=1,-1$ allora $N=\mathbb {Z}$$N=\mathbb {Z}$, il gruppo quoziente di $\mathbb {Z}$$\mathbb {Z}$ rispetto a $\mathbb {Z}$$\mathbb {Z}$ stesso è dato da un solo elemento ed è il gruppo banale.

E' isomorfo al sottogruppo generato dall'unità di $\mathbb {Z}$$\mathbb {Z}$.

1. Se $n\neq 0,n\neq \pm 1$$n\neq 0,n\neq \pm 1$, siccome il sottogruppo ciclico generato da $n$$n$ coincide con quello generato da $-n$$-n$, considero $n>0$$n>0$.

In questo caso gli elementi del quoziente ${\frac {\mathbb {Z} }{n*\mathbb {Z} }}$${\frac {\mathbb {Z} }{n*\mathbb {Z} }}$ sono i laterali additivi della forma $n*h$$n*h$. Il laterale $a+N$$a+N$ che contiene $a$$a$ è dato dagli elementi della forma $\{a+hn,\,h\in \mathbb {Z} \}$$\{a+hn,\,h\in \mathbb {Z} \}$ che è la classe di resti di $a\mod n$$a\mod n$. Dunque ${\frac {\mathbb {Z} }{N\mathbb {Z} }}$${\frac {\mathbb {Z} }{N\mathbb {Z} }}$ è l'insieme delle classi di resti modulo $n$$n$ e l'operazione indotta su ${\frac {\mathbb {Z} }{n*\mathbb {Z} }}$${\frac {\mathbb {Z} }{n*\mathbb {Z} }}$ è la somma di laterali. La somma di due laterali $N+a+N+b=N+a+b$$N+a+N+b=N+a+b$ cioè la somma di classi di resti modulo $n$$n$. Dunque si conclude che il gruppo quoziente ${\frac {\mathbb {Z} }{n\mathbb {Z} }}$${\frac {\mathbb {Z} }{n\mathbb {Z} }}$ con l'operazione indotta da $\mathbb {Z}$$\mathbb {Z}$ coincide con il gruppo additivo delle classi di resti modulo $n$$n$.

Un gruppo ciclico infinito è sempre isomorfo al gruppo additivo degli interi. Se consideriamo un qualsiasi sottogruppo di $(\mathbb {Z} ,+)$$(\mathbb {Z} ,+)$ esso dev'essere ciclico. I gruppi che ottengo quozientando il gruppo degli interi sono a meno di isomorfismi lo stesso $\mathbb {Z}$$\mathbb {Z}$ (ottenuto quozientando rispetto al sottogruppo banale), il sottogruppo banale (ottenuto quozientando rispetto all'intero $\mathbb {Z}$$\mathbb {Z}$) e i gruppi additivi delle classi di resto modulo $n$$n$ (ottenuti quozientando rispetto ai sottogruppi ciclici generati da $n$$n$). In termini di congruenze, le uniche congruenze ammesse dal sottogruppo degli interi oltre a quelle banali (identità e relazione universale) sono le congruenze modulo $n$$n$ per ogni fissato $n>1$$n>1$.

Classificazione dei gruppi ciclici

Sia $G$$G$ un gruppo ciclico generato da un suo elemento $a$$a$. Allora ogni elemento di $G$$G$ si può scrivere come una potenza di $a$$a$. Consideriamo la mappa $f\colon (\mathbb {Z} ,+)\to (G,{\dot {)}}$$f\colon (\mathbb {Z} ,+)\to (G,{\dot {)}}$ definita ponendo per ogni $r\in \mathbb {Z}$$r\in \mathbb {Z}$, $f(r)=a^{r}$$f(r)=a^{r}$.

$F$$F$ è un epimorfismo perché conserva le operazioni: presi due interi $r,s$$r,s$ se considero la loro somma e ne faccio l'immagine, si ottiene $f(r+s)=a^{r+s}=a^{r}*a^{s}$$f(r+s)=a^{r+s}=a^{r}*a^{s}$ (conserva il prodotto). Per costruzione, siccome $G$$G$ è ciclico, ogni elemento di $G$$G$ si può scrivere come una potenza e quindi ha una preimmagine (suriettività).

Se $f$$f$ è suriettivo, $\ker f=\{r\in \mathbb {Z} \,t.c.a^{r}=1_{G}\}$$\ker f=\{r\in \mathbb {Z} \,t.c.a^{r}=1_{G}\}$. Ci sono due possibilità:

1. $a$$a$ ha periodo infinito; in questo caso la funzione potenza è iniettiva l'unico $r$$r$ per cui $a^{r}=1_{G}$$a^{r}=1_{G}$ è $r=0$$r=0$.

Allora il quoziente ${\frac {\mathbb {Z} }{\ker f}}=\mathbb {Z} /0$${\frac {\mathbb {Z} }{\ker f}}=\mathbb {Z} /0$ è isomorfo al gruppo di arrivo, ovvero $G$$G$ è isomorfo a ${\frac {\mathbb {Z} }{0}}$${\frac {\mathbb {Z} }{0}}$. Ogni gruppo ciclico infinito è isomorfo al gruppo degli interi $(\mathbb {Z} ,+)$$(\mathbb {Z} ,+)$.

1. il periodo di $a$$a$ è $n<+\infty$$n<+\infty$. Allora

$$\ker f=\{rt.c.a^{r}=1_{G}\}$$

$$\ker f=\{rt.c.a^{r}=1_{G}\}$$

. Se $o(a)=n$$o(a)=n$, per ogni $r\neq 0\,t.c.a^{r}=1_{g}$$r\neq 0\,t.c.a^{r}=1_{g}$, allora $r$$r$ è un multiplo di $n$$n$. Allora il nucleo è il sottogruppo ciclico $n*\mathbb {Z}$$n*\mathbb {Z}$ generato da $n$$n$. Se $n=1$$n=1$ ho il gruppo banale. Se $n>1$$n>1$, usando il teorema di omomorfismo si ha che $G$$G$ è isomorfo al quoziente di $\mathbb {Z}$$\mathbb {Z}$ rispetto al nucleo, cioè alla classe di resti modulo $n$$n$ (il teorema di omomorfismo è quello che afferma l'esistenza di un morfismo ${\bar {f}}\colon \mathbb {Z} /n\to G$${\bar {f}}\colon \mathbb {Z} /n\to G$). Ogni gruppo ciclico finito di ordine $n>1$$n>1$ è isomorfo al gruppo additivo delle classi di resto modulo $n$$n$.

Osservazione (187)

$(\mathbb {Z} ,+)$$(\mathbb {Z} ,+)$ è un sottogruppo di $(\mathbb {Q} ,+)$$(\mathbb {Q} ,+)$. Nel quoziente ${\frac {\mathbb {Q} }{\mathbb {Z} }}$${\frac {\mathbb {Q} }{\mathbb {Z} }}$ ogni elemento ha periodo finito. Preso un laterale del tipo $z+m/n$$z+m/n$, sommando $n$$n$ volte si ottiene l'unità del quoziente, infatti si ottiene $\mathbb {Z} +m=\mathbb {Z}$$\mathbb {Z} +m=\mathbb {Z}$. Quindi l'ordine di ogni laterale divide $n$$n$.

 

Prodotto di insiemi

L'unione insiemistica di due sottogruppi non è sempre un sottogruppo.

Definizione (188 Insieme prodotto)

Siano $A,B$$A,B$ sottogruppi di $G$$G$. Chiamo l'insieme prodotto l'insieme di tutti i possibili prodotti $ab$$ab$. Questo non è in generale un sottogruppo.

 

Lemma (189)

Condizione necessaria e sufficiente affinché il prodotto sia un sottogruppo è che sia permutabile, cioè che ogni elemento $ab$$ab$ si possa scrivere come $b'a'$$b'a'$.

 

Il prodotto non è sempre un sottogruppo.

Esempio (190 Controesempio)

Se considero infatti il gruppo $S_{3}$$S_3$, il prodotto generato dai sottogruppi di due scambi distinti ha ordine $4$$4$ e questo non può essere un sottogruppo di $S_{3}$$S_3$ perché $4$$4$ non divide $6$$6$.

 

Esercizio (191)

In generale, se $G$$G$ è un gruppo finito e se $A$$A$ e $B$$B$ sono finiti, allora il prodotto è finito e l'ordine del sottogruppo prodotto è dato dalla formula:

$$O(G)={\frac {o(A)*o(B)}{O(A\cap B)}}.$$

$$O(G)={\frac {o(A)*o(B)}{O(A\cap B)}}.$$

 

Lemma (192)

Siano $N,H$$N,H$ sottogruppi di un gruppo $G$$G$ e supponiamo che $N$$N$ sia normale in $G$$G$. Allora il prodotto $NH$$NH$ è un sottogruppo. (Inoltre, il prodotto di due sottogruppi normali è ancora normale.)

 

Dimostrazione

unità

Il prodotto contiene ovviamente l'unità, che è contenuta in ognuno dei due sottogruppi.

chiusura per prodotto

siano $n_{1}h_{1}$$n_{1}h_{1}$ e $n_{2}h_{2}$$n_{2}h_{2}$ elementi del prodotto. Allora $(n_{1}*h_{1})(n_{2}*h_{2})=n_{1}*(h_{1}*n_{2})*h_{2}$$(n_{1}*h_{1})(n_{2}*h_{2})=n_{1}*(h_{1}*n_{2})*h_{2}$. Siccome

$N$$N$ è normale, il laterale sinistro $h_{1}*N$$h_{1}*N$ coincide con il laterale destro, quindi esiste $n_{3}\in N$$n_{3}\in N$ tale che $h_{1}*n_{2}=n_{3}*h_{1}$$h_{1}*n_{2}=n_{3}*h_{1}$. $n_{1}*(n_{3}*h_{1})*h_{2}=(n_{1}*n_{3})*(h_{1}*h_{2})$$n_{1}*(n_{3}*h_{1})*h_{2}=(n_{1}*n_{3})*(h_{1}*h_{2})$ che appartiene ancora a $NH$$NH$.

chiusura per inversi

sia $nh$$nh$ un elemento di $NH$$NH$.

L'inverso $(nh)^{-1}=h^{-1}*n^{-1}$$(nh)^{-1}=h^{-1}*n^{-1}$ appartiene al laterale $h^{-1}N$$h^{-1}N$ che coincide con $N*h^{-1}$$N*h^{-1}$ e questo implica che l'inverso di $nh$$nh$ è ${\bar {n}}*h^{-1}$${\bar {n}}*h^{-1}$ che appartiene a $NH$$NH$.

 

Conseguenze del teorema di omomomrfismo

Teorema (193)

Sia $G$$G$ un gruppo, siano $N,H$$N,H$ sottogruppi di $G$$G$ e supponiamo che $N$$N$ sia normale. Allora $N$$N$ è un sottogruppo normale del prodotto $NH$$NH$, e l'intersezione $H\cap N$$H\cap N$ è un sottogruppo normale di $H$$H$. Il gruppo quoziente ${\frac {NH}{N}}$${\frac {NH}{N}}$ è isomorfo al gruppo quoziente ${\frac {H}{H\cap N}}$${\frac {H}{H\cap N}}$.

 

Dimostrazione

Consideriamo l'applicazione $F\colon H\to NH/N$$F\colon H\to NH/N$ definita ponendo $f(h)=Nh$$f(h)=Nh$, cioè ad ogni $h$$h$ associa il laterale che lo contiene (nota 1). $f$$f$ è suriettiva, un generico elemento del quoziente è $Nh$$Nh$, che è un elemento di $N$$N$, cioè coincide con il laterale $Nh$$Nh$. Allora questo elemento ha preimmagine $h$$h$ mediante $f$$f$.

$f$$f$ è un morfismo, perché presi due elementi $h_{1},h_{2}\in H$$h_{1},h_{2}\in H$, se calcolo $f(h_{1}+h_{2})=Nh_{1}h_{2}$$f(h_{1}+h_{2})=Nh_{1}h_{2}$. Ma questo per definizione di prodotto di laterali è uguale al prodotto $Nh_{1}*Nh_{2}$$Nh_{1}*Nh_{2}$ (per l'operazione di prodotto di laterali).

Dunque $f$$f$ è un epimorfismo da $H$$H$ a $NH/H$$NH/H$. Il nucleo di $f$$f$ è l'insieme di tutti gli elementi di $H$$H$ che hanno come immagine l'unità nel gruppo di arrivo, cioè è l'insieme $\{h\in Ht.c.f(h)=Nh=N\}$$\{h\in Ht.c.f(h)=Nh=N\}$. Cioè sono tutti e soli gli $h$$h$ che stanno anche in $N$$N$ (il nucleo è $H\cap N$$H\cap N$), quindi segue dal teorema di omomorfismo che il quoziente ${\frac {H}{H\cap N}}$${\frac {H}{H\cap N}}$ è isomorfo al gruppo di arrivo ${\frac {NH}{N}}$${\frac {NH}{N}}$ (tesi). (Infatti per il teorema di omomorfismo l'applicazione ${\bar {f}}\colon {\frac {H}{H\cap N}}\to {\frac {NH}{H}}$${\bar {f}}\colon {\frac {H}{H\cap N}}\to {\frac {NH}{H}}$ è un omomorfismo).

 

Osservazione (194)

Se considero il quoziente ${\frac {NH}{N}}$${\frac {NH}{N}}$ i laterali sono della forma $Nnh$$Nnh$, ma $n\in N$$n\in N$ quindi $Nnh=Nh$$Nnh=Nh$.

 

Teorema (195)

Sia $G$$G$ un gruppo e siano $N,H$$N,H$ entrambi sottogruppi normali di $G$$G$. Supponiamo che $N\subset H$$N\subset H$. Allora $N$$N$ è normale in $H$$H$ e si può considerare il quoziente $H/N$$H/N$. Questo è un sottogruppo normale del gruppo quoziente $G/N$$G/N$ e il quoziente di $G/N$$G/N$ rispetto al sottogruppo normale $H/N$$H/N$ è isomorfo a $G/H$$G/H$, (in simboli ${\frac {G/N}{H/N}}$${\frac {G/N}{H/N}}$ è isomorfo a $G/H$$G/H$, cioè posso semplificare per $N$$N$).

 

Dimostrazione

Consideriamo l'applicazione $f\colon G/N\to G/H$$f\colon G/N\to G/H$ che associa a un elemento di $G/N$$G/N$$Ng$$Ng$ un elemento $Hg$$Hg$ di $G/H$$G/H$. Questa corrispondenza sembra dipendere dalla scelta dei rappresentanti dei laterali, ma in realtà non è così. Se cambio rappresentante, $f$$f$ è ben definita.

Supponiamo di cambiare rappresentante del laterale. $f(Nx)=H*x$$f(Nx)=H*x$. Allora $Hx=Hnx$$Hx=Hnx$. Siccome $n\in H$$n\in H$ per ipotesi, $hn\in H$$hn\in H$, $hng=hg$$hng=hg$. Quindi $f$$f$ è ben definita perché $N\subset H$$N\subset H$.

$f$$f$ è suriettiva, perché ogni elemento di $G/H$$G/H$ ha una preimmagine. L'applicazione inoltre conserva il prodotto ed è un epimorfismo.

Il nucleo di $f$$f$ è l'insieme dei laterali $Ng$$Ng$ tali che $f(Ng)=Hg=1_{G/H}=H$$f(Ng)=Hg=1_{G/H}=H$. Quindi $\ker F=\{Ngt.c.Hg=H\}$$\ker F=\{Ngt.c.Hg=H\}$. Questo avviene quando $g\in H$$g\in H$, quindi $\ker f=\{Nh\}$$\ker f=\{Nh\}$ laterali di $N$$N$ in $G$$G$ e costituiscono il gruppo quoziente $H/N$$H/N$. Allora per il teorema di omomorfismo il gruppo di partenza $G/N$$G/N$ quozientato rispetto ad $H/N$$H/N$ (nucleo) dev'essere isomorfo al gruppo di arrivo $G/H$$G/H$.