Sia ora
una congruenza in un gruppo
con nucleo uguale al sottogruppo normale
. Sappiamo che il prodotto definito su
induce un
prodotto sull'insieme quoziente delle classi di equivalenza
.
ha come elementi i laterali destri (o sinistri) di
in
.
Denotiamo l'insieme quoziente
con
(perché i suoi elementi sono esprimibili mediante
).
Allora
si chiama gruppo quoziente di
rispetto al sottogruppo normale
.
Teorema (181)
- L'insieme quoziente
è un gruppo rispetto all'operazione indotta definita su
chiamata prodotto di laterali:
presi due laterali
e
, si definisce
. Questo gruppo con l'operazione si chiama gruppo quoziente
di
rispetto al sottogruppo normale
.
- Se consideriamo la proiezione canonica
, definita ponendo
,
essa è un epimorfismo da
a
. Allora
in questo contesto viene chiamata epimorfismo canonico.
Dimostrazione
L'operazione indotta è associativa, ammette unità (la classe di equivalenza dell'unità, cioè il laterale destro che contiene l'unità, che è
).
Ogni laterale
ammette come inverso il laterale
che contiene l'inverso di
.
Quindi l'insieme quoziente con l'operazione indotta è un gruppo.
Presi due elementi
devo dimostrare che la proiezione canonica
conserva il prodotto.
per definizione della proiezione canonica. Un elemento generico dell'insieme quoziente ha una preimmagine in
, data da tutti gli elementi
contenuti nel laterale, quindi
è suriettiva.
Se considero un gruppo
e un qualsiasi sottogruppo normale
,
il quoziente
è epimorfo a
(l'epimorfismo è la proiezione canonica
).
non è l'unico morfismo di
su
, la proiezione canonica si può comporre con altri isomorfismi.
Teorema fondamentale di omomorfismo per i gruppi[modifica | modifica wikitesto]
Teorema (184)
Siano
due gruppi e
un morfismo di gruppi. Allora valgono le seguenti proprietà:
- la relazione di equivalenza
sul dominio
associata all'applicazione
è una congruenza.
- supponendo vero il punto 1, sia
il nucleo di
e sia
la proiezione canonica di
su
. Allora esiste ed è unico un morfismo
tale che sia
, ovvero tale da rendere commutativo il diagramma:

(per la teoria degli insiemi una tale aplicazione esiste, bisogna verificare che esiste per i gruppi)
è iniettiva, cioè
è un monomorfismo ed è un isomorfismo se e solo se
è un epimorfismo.
Dimostrazione
- Supponiamo che
e
, quindi
e
, da cui segue
. Ma
è un
morfismo. quindi
. Similmente
, quindi
e
hanno la stessa immagine,
quindi
e
è una congruenza.
(ricordare che
è la relazione tale che
se e solo se
)
- Per il teorema di omomorfismo per gli insiemi, sappiamo che esiste ed è unica un'applicazione
tale che
. L'applicazione
manda un elemento dell'insieme quoziente
nell'immagine del rappresentante
,
ed è ben definita perché
è il nucleo di
e due elementi con la stessa immagine mediante
sono in relazione mediante
e
appartengono allo stesso
laterale
.
è la funzione cercata. Bisogna dimostrare che è un morfismo.
,
e
,
, ma
è un morfismo e conserva il prodotto. Quindi
, quindi
.
- Segue dal teorema di omomorfismo per gli insiemi, in cui l'iniettività è verificata se
come in questo caso.
In particolare, in questo caso se
, allora
è un isomorfismo e
è isomorfo a
.
Viceversa, tutti e soli i gruppi
che sono immagine epimorfa di un gruppo
coincidono a meno di
isomorfismi con i gruppi quozienti rispetto ai sottogruppi normali di
.
Definizione (185 Nucleo di un morfismo)
Il nucleo
della congruenza
associata al morfismo
, si dice nucleo del morfismo
e si denota con
. Per definizione
, ma se
è un morfismo,
.
Il nucleo è l'insieme di tutte le preimmagini dell'unità di
.
Esempio (186)
Sia
gruppo simmetrico delle biezioni, sia
il sottogruppo di
.
Se
(associa a 
se è pari e
se è dispari), è un epimorfismo di
sul gruppo moltiplicativo
.
La funzione segno conserva il prodotto, è un epimorfismo e il nucleo è l'insieme di tutte le permutazioni pari che hanno come immagine
.
Il gruppo alterno, essendo il nucleo di un epimorfismo, è normale in
.
Se
è un gruppo ed esiste un omomorfismo
allora si considera il quoziente di
rispetto al nucleo di
.
La proiezione canonica
è la mappa che a ogni elemento di
associa il laterale
.
Per il teorema di morfismo degli insiemi esiste ed è unica l'applicazione
tale che
.
è iniettiva ed è un isomorfismo solo se
è un
epimorfismo da
ad
. Il teorema universale del morfismo esprime la proprietà universale della proiezione canonica.
Ogni quoziente di
rispetto a un qualsiasi sottogruppo normale è epimorfo a
.
Sia
il gruppo additivo degli interi. Fissato un intero
, consideriamo il sottogruppo ciclico generato da
(normale) che chiamiamo
: esso consiste di tutti i multipli di
, cioè gli interi della forma

.
Considero tre casi distinti:
- Se
, il sottogruppo
è ridotto alla sola unità di
. Quando considero il quoziente 
esso coincide con l'intero gruppo
. Questo quoziente è isomorfo a
.
In generale, se prendo un qualsiasi gruppo
e ne faccio il quoziente rispetto al sottogruppo contenente solo l'unità, esso è isomorfo a
.
- se
allora
, il gruppo quoziente di
rispetto a
stesso è dato da un solo elemento ed è il gruppo banale.
E' isomorfo al sottogruppo generato dall'unità di
.
- Se
, siccome il sottogruppo ciclico generato da
coincide con quello generato da
, considero
.
In questo caso gli elementi del quoziente
sono i laterali additivi della forma
. Il laterale
che contiene
è
dato dagli elementi della forma
che è la classe di resti di
. Dunque
è l'insieme delle
classi di resti modulo
e l'operazione indotta su
è la somma di laterali.
La somma di due laterali
cioè la somma di classi di resti modulo
.
Dunque si conclude che il gruppo quoziente
con l'operazione indotta da
coincide con il gruppo additivo delle classi
di resti modulo
.
Un gruppo ciclico infinito è sempre isomorfo al gruppo additivo degli interi.
Se consideriamo un qualsiasi sottogruppo di
esso dev'essere ciclico. I gruppi che ottengo quozientando il gruppo degli interi
sono a meno di isomorfismi lo stesso
(ottenuto quozientando rispetto al sottogruppo banale), il sottogruppo banale
(ottenuto quozientando rispetto all'intero
) e i gruppi additivi delle classi di resto modulo
(ottenuti quozientando rispetto ai
sottogruppi ciclici generati da
).
In termini di congruenze, le uniche congruenze ammesse dal sottogruppo degli interi oltre a quelle banali (identità e relazione universale)
sono le congruenze modulo
per ogni fissato
.
Sia
un gruppo ciclico generato da un suo elemento
. Allora ogni elemento di
si può scrivere come una potenza di
. Consideriamo
la mappa
definita ponendo per ogni
,
.
è un epimorfismo perché conserva le operazioni: presi due interi
se considero la loro somma e ne faccio l'immagine,
si ottiene
(conserva il prodotto). Per costruzione, siccome
è ciclico,
ogni elemento di
si può scrivere come una potenza e quindi ha una preimmagine (suriettività).
Se
è suriettivo,
. Ci sono due possibilità:
ha periodo infinito; in questo caso la funzione potenza è iniettiva l'unico
per cui
è
.
Allora il quoziente
è isomorfo al gruppo di arrivo, ovvero
è isomorfo a
.
Ogni gruppo ciclico infinito è isomorfo al gruppo degli interi
.
- il periodo di
è
. Allora

.
Se

, per ogni

, allora

è un multiplo di

.
Allora il nucleo è il sottogruppo ciclico

generato da

. Se

ho il gruppo banale. Se

, usando il teorema di omomorfismo
si ha che

è isomorfo al quoziente di

rispetto al nucleo, cioè alla classe di resti modulo

(il teorema di omomorfismo è quello che afferma l'esistenza di un morfismo

).
Ogni gruppo ciclico finito di ordine

è isomorfo al gruppo additivo delle classi di resto modulo

.
è un sottogruppo di
. Nel quoziente
ogni elemento ha periodo finito. Preso un
laterale del tipo
, sommando
volte si ottiene l'unità del quoziente, infatti si ottiene
. Quindi l'ordine di ogni
laterale divide
.
L'unione insiemistica di due sottogruppi non è sempre un sottogruppo.
Definizione (188 Insieme prodotto)
Siano
sottogruppi di
.
Chiamo l'insieme prodotto l'insieme di tutti i possibili prodotti
. Questo non è in generale un sottogruppo.
Lemma (189)
Condizione necessaria e sufficiente affinché il prodotto sia un sottogruppo è che sia permutabile,
cioè che ogni elemento
si possa scrivere come
.
Il prodotto non è sempre un sottogruppo.
Esempio (190 Controesempio)
Se considero infatti il gruppo
, il prodotto generato dai sottogruppi di due scambi distinti ha ordine
e questo non può essere un sottogruppo di
perché
non divide
.
Esercizio (191)
In generale, se
è un gruppo finito e se
e
sono finiti, allora il prodotto è finito e l'ordine del sottogruppo prodotto
è dato dalla formula:

Lemma (192)
Siano
sottogruppi di un gruppo
e supponiamo che
sia normale in
. Allora il prodotto
è un sottogruppo.
(Inoltre, il prodotto di due sottogruppi normali è ancora normale.)
Dimostrazione
- unità
- Il prodotto contiene ovviamente l'unità, che è contenuta in ognuno dei due sottogruppi.
- chiusura per prodotto
- siano
e
elementi del prodotto. Allora
. Siccome
è normale, il laterale sinistro
coincide con il laterale destro, quindi esiste
tale che
.
che appartiene ancora a
.
- chiusura per inversi
- sia
un elemento di
.
L'inverso
appartiene al laterale
che coincide con
e questo implica che l'inverso di
è
che appartiene a
.
Teorema (193)
Sia
un gruppo, siano
sottogruppi di
e supponiamo che
sia normale.
Allora
è un sottogruppo normale del prodotto
, e l'intersezione
è un sottogruppo normale di
.
Il gruppo quoziente
è isomorfo al gruppo quoziente
.
Dimostrazione
Consideriamo l'applicazione
definita ponendo
, cioè ad ogni
associa il laterale che
lo contiene (nota 1).
è suriettiva, un generico elemento del quoziente è
, che è un elemento di
, cioè coincide con il laterale
.
Allora questo elemento ha preimmagine
mediante
.
è un morfismo, perché presi due elementi
, se calcolo
.
Ma questo per definizione di prodotto di laterali è uguale al prodotto
(per l'operazione di prodotto di laterali).
Dunque
è un epimorfismo da
a
. Il nucleo di
è l'insieme di tutti gli elementi di
che hanno come immagine l'unità nel
gruppo di arrivo, cioè è l'insieme
. Cioè sono tutti e soli gli
che stanno anche in
(il nucleo è
), quindi segue dal teorema di omomorfismo che il quoziente
è isomorfo al gruppo di arrivo
(tesi).
(Infatti per il teorema di omomorfismo l'applicazione
è un omomorfismo).
Se considero il quoziente
i laterali sono della forma
, ma
quindi
.
Teorema (195)
Sia
un gruppo e siano
entrambi sottogruppi normali di
.
Supponiamo che
. Allora
è normale in
e si può considerare il quoziente
.
Questo è un sottogruppo normale del gruppo quoziente
e il quoziente di
rispetto al sottogruppo normale
è isomorfo a
,
(in simboli
è isomorfo a
, cioè posso semplificare per
).
Dimostrazione
Consideriamo l'applicazione
che associa a un elemento di 
un elemento
di
. Questa
corrispondenza sembra dipendere dalla scelta dei rappresentanti dei laterali, ma in realtà non è così. Se cambio rappresentante,
è ben
definita.
Supponiamo di cambiare rappresentante del laterale.
. Allora
. Siccome
per ipotesi,
,
. Quindi
è ben definita perché
.
è suriettiva, perché ogni elemento di
ha una preimmagine.
L'applicazione inoltre conserva il prodotto ed è un epimorfismo.
Il nucleo di
è l'insieme dei laterali
tali che
. Quindi
. Questo avviene quando
, quindi
laterali di
in
e costituiscono il gruppo quoziente
. Allora per il teorema di omomorfismo il gruppo di partenza
quozientato rispetto ad
(nucleo) dev'essere isomorfo al gruppo di arrivo
.