Azioni di gruppo

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Definizione (196 Azione di un gruppo)

Si dice azione di un gruppo su un insieme un'applicazione che alla coppia associa un elemento , spesso indicato semplicemente . Attenzione, non si tratta di una moltiplicazione (se non in particolari casi).

L'applicazione soddisfa due condizioni:

  1. (l'unità del gruppo opera come l'identità)

(il prodotto opera come la composizione di due applicazioni su )

 

Assegnata un'azione di su si dice anche che è un -insieme (insieme su cui opera).

L'azione di su si dice banale se per ogni , e per ogni , (se ogni elemento di agisce come l'identità su ).

Biiezione tra azione di un gruppo G e omomorfismi da G al gruppo simmetrico su X[modifica | modifica wikitesto]

Lemma (197 Biiezione tra azioni e omomorfismi di gruppi)

Esiste una biiezione tra l'insieme delle azioni di un gruppo sull'insieme e l'insieme degli omomorfismi dal gruppo al gruppo simmetrico su , definiti da (gruppo di applicazioni biettive con l'operazione di composizione).

 
Dimostrazione

Corrispondenza azione omomorfismo. Data un'azione, , per ogni resta definita un'applicazione, che chiamo di in se stesso definita ponendo: . Si noti che è biettiva, cioè è un elemento di .

Iniettività. Supponiamo che abbiano la stessa immagine mediante , cioè che . Allora posso far agire l'inversa sui due elementi e ottengo:. Allora implica (per la condizione 1), allora è iniettiva.

Suriettività: ogni elemento di ha una preimmagine per , basta porre . Infatti (deriva sempre dalle condizioni 1 e 2 della definizione).

In particolare è biettiva, ed è un elemento di .

Omomorfismo: Possiamo definire l'applicazione che a ogni elemento di associa la permutazione su . Questa applicazione definita ponendo, per ogni , è un omomorfismo di gruppi. In altre parole, data un'azione di su ad essa si può associare un morfismo tra e descritto sopra, tale che a ogni elemento di associa .

Dobbiamo provare che comunque scelga due elementi , allora (il prodotto delle immagini eseguito nel gruppo simmetrico è la composizione).

Per la proprietà 2 della nozione di azione valgono le seguenti equivalenze:
Allora e è un morfismo.

Corrispondenza omomorfismo azione: sia un omomorfismo di gruppi. Allora ponendo per ogni e per ogni , , resta definita un'azione di su .

è biettiva. Verifichiamo le proprietà della definizione di azione:

  1. Vale la proprietà 1: . Quindi opera come l'identità su .
  2. Se prendo elementi ottengo .

Per costruzione le corrispondenze azione morfismo e morfismo azione descritte sono l'una l'inversa dell'altra.

Si realizza una biiezione tra l'insieme di tutte le azioni di un gruppo su un insieme e gli omomorfismi di in .

 

In conclusione, quindi, azioni di G su X e omomorfismi sono concetti equivalenti.

Rappresentazione di permutazioni[modifica | modifica wikitesto]

Definizione (198)

Un morfismo da un gruppo al gruppo si dice rappresentazione di permutazioni di su .

 
Osservazione (199)

In generale, dato un morfismo da a , l'immagine è un sottogruppo di . Un monomorfismo è un morfismo iniettivo. In un monomorfismo il nucleo è ridotto all'unità di .

Vale anche viceversa: se il nucleo è ridotto alla sola unità, il morfismo è iniettivo.
 
Definizione (200 Gruppo di permutazioni)

Ogni sottogruppo del gruppo simmetrico su si dice gruppo di permutazioni.

 

Se ha nucleo ridotto all'unità di , ovvero è un monomorfismo, allora è isomorfo alla sua immagine per il teorema di omomorfismo (infatti il quoziente ed è isomorfo a ).

Definizione (201 Rappresentazione fedele)

Un morfismo è una rappresentazione fedele se ha nucleo ridotto all'unità di , ossia se è monomorfismo.

 
Osservazione (202)

Se in generale ho un morfismo, potrebbe perdere vari elementi rispetto al gruppo di partenza.

 

Azioni di G su se stesso[modifica | modifica wikitesto]

Nel caso in cui è finito, si ha il teorema di Cayley.

Consideriamo l'azione di sull'insieme che è definita ponendo, per ogni coppia , , che sta ancora in .


Se fisso e considero la permutazione , essa è la moltiplicazione a sinistra di ogni per . Si può verificare che è un'azione:

  1. è il prodotto dell'unità per l'elemento di , che è ancora uguale ad .
  2. Se prendo e calcolo ottengo


Per ogni fissato la permutazione manda ogni elemento nel prodotto , cioè è la moltiplicazione a sinistra per degli elementi . A ogni elemento di viene associata la permutazione sugli elementi di .

Definizione (203 Rappresentazione regolare sinistra)

Il morfismo si dice rappresentazione regolare sinistra di .

 

Proprietà della rappresentazione regolare[modifica | modifica wikitesto]

è un monomorfismo, ed è una rappresentazione fedele del gruppo nel gruppo simmetrico infatti .

Osserviamo che se è l'identità su , deve essere . Con le leggi di cancellazione si ha . Dunque e si ha un monomorfismo. (se considero la permutazione , se non è l'unità nessun elemento è fissato). Abbiamo provato che la permutazione è priva di punti fissi.

Teorema di Cayley[modifica | modifica wikitesto]

Nel caso in cui sia un gruppo finito si può enunciare il seguente teorema riguardante la rappresentazione regolare.
Teorema (204 Teorema di Cayley)

Sia un gruppo finito di ordine , allora esiste un momomorfismo da al gruppo simmetrico tale che il gruppo (che è isomorfo a ) risulta costituito da permutazioni tali che siano prive di punti fissi e decomponibili nel prodotto di cicli a due a due disgiunti di lunghezza , dove .

 
Dimostrazione

Il morfismo cercato è la rappresentazione regolare sinistra; è iniettivo quindi l'immagine di mediante è isomorfa a o equivalentemente è una rappresentazione fedele di .


Proviamo che è una permutazione priva di punti fissi e scrivo come agisce sugli elementi:

infatti se è il periodo di , e torno in e il ciclo si chiude.


Questo è un ciclo di lunghezza : l'immagine di un elemento si ottiene moltiplicandolo a sinistra per . Se non ci sono altri cicli (il numero di cicli è ).


Altrimenti prendo un nuovo elemento e scrivo il ciclo:

Anche questo ciclo è di lunghezza .

 

Esiste anche una rappresentazione regolare destra. Cerco un morfismo da al gruppo simmetrico dove è la permutazione sugli elementi di che ottengo moltiplicando a destra gli elementi di per . Solo in questo modo il morfismo è ben definito (deriva dal fatto di usare gli operatori a destra).

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