Proprietà degli UFD

Massimo comun divisore[modifica | modifica wikitesto]

Per i domini a ideali principali presi due elementi esiste sempre un tra i due e vale l'identità di Bézout. Si può provare l'esistenza di un per una sequenza di elementi. Se definiamo in modo ovvio l' di una lista, esso si definisce come riconducendolo al caso dell' tra due elementi. Infatti se esiste l' tra due elementi, per l'ipotesi induttiva esiste per elementi, allora esiste anche l' degli elementi.


Lemma (379)

Supponiamo che sia un . Per ogni coppia di elementi non nulli, esiste un .

 
Dimostrazione

Siano due elementi non nulli di . Osserviamo che se uno dei due è unitario, allora c'è un .


Infatti , perché ogni elemento unitario è divisore di qualsiasi elemento e se è unitario, .


Supponiamo che non sono unitari, allora sono decomponibili in un unico modo come prodotti di irriducibili. Consideriamo una fattorizzazione di in irriducibili. Nella fattorizzazione ci possono essere dei fattori a due a due associati, che chiamo . Raccogliendo eventualmente gli elementi unitari, abbiamo:

dove i non sono fra loro associati, ma sono a due a due non associati.


Possiamo scrivere

con elementi unitari e con per ogni .


Come basi compaiono gli stessi fattori irriducibili, se un fattore irriducibile di non è fattore di , allora comparirà con esponente nella fattorizzazione di .


Chiamiamo . Chiamiamo . Allora e . Se e e , per l'unicità di fattorizzazione è un sottoprodotto di e di , cioè

con per ogni . Allora siccome questi fattori compaiono in con esponenti che non superano allora e è massimo comun divisore.

 

Relazione tra primi e irriducibili[modifica | modifica wikitesto]

Lemma (380)

Sia un dominio a fattorizzazione unica. Allora se è irriducibile, è necessariamente primo.

 
Dimostrazione

Sia irriducibile in e si supponga che con . Allora esiste tale che . può essere unitario e se , allora è invertibile. Se ammette inverso si può scrivere . Similmente se è unitario, ragionando allo stesso modo, .


Supponiamo dunque che non siano elementi unitari, allora sono fattorizzabili in irriducibili. Sia e ove i e i sono irriducibili in . Allora il prodotto . Siccome per ipotesi e è irriducibile, allora per l'unicità della fattorizzazione è associato a uno dei o dei cioè differisce da loro per un elemento unitario. Allora se è associato a , si ha . Se invece si ha .

 



Consideriamo dominio a fattorizzazione unica e sia un polinomio a coefficienti non nulli. Se , allora ha ideali non principali, pur essendo a fattorizzazione unica, nonostante sia a ideali principali. Per questo era necessario estendere i due lemmi ai .

Polinomio primitivo[modifica | modifica wikitesto]

Definizione (381 Polinomio primitivo)

Se è un polinomio si può scrivere

Sia un dei coefficienti non nulli di . Allora è definito a meno di elementi unitari di . Se si dice primitivo se , cioè se i coefficienti sono a due a due coprimi.

 


Osservazione (382)

Se è come sopra, per ogni coefficiente si può scrivere per . Allora posso raccogliere da ciascun coefficiente e scrivere

e gli sono a due a due coprimi. Se chiamo esso è primitivo in .


Raccogliendo il massimo comun divisore tra i coefficienti ottengo uno scalare per un polinomio primitivo.


Notiamo che se con e primitivo in , si ha che e è associato a . Infatti per ogni coefficiente si ha:

Siccome i coefficienti sono a due a due coprimi, è anch'esso tra gli e si può scrivere con unitario. Allora
cioè semplificando per , , e quindi e sono associati.

 

Lemmi importanti[modifica | modifica wikitesto]

Lemma (383)

Se prendiamo un polinomio non nullo a coefficienti in dove è il campo delle frazioni di , allora si può scrivere

con scalare non nullo in e polinomio primitivo in . Una tale espressione è unica a meno di elementi unitari.

 
Dimostrazione

Sia con e supponiamo che , cioè . Per ogni , dove e (gli sono frazioni). Poniamo .


Allora appartiene a e per le osservazioni precedenti possiamo scrivere ove e ha coefficienti in ed è primitivo. Posto , si ha .


Per quanto riguarda l'unicità, supponiamo che don e ed è primitivo. Sia , con e . Allora posso scrivere da cui, moltiplicando per ed

Quest'uguaglianza è un'uguaglianza fra polinomi in . Per quanto visto sopra, in . Quindi per un opportuno unitario in . Segue che ovvero differisce da per un elemento unitario . Infine segue ancora che , cioè semplificando per , differisce da per un elemento unitario e la scrittura sopra è unica a meno di elementi unitari.

 
Corollario (384)

Siano primitivi e associati in (cioè differenti per un elemento unitario di cioè una costante non nulla). Allora e sono associati in , cioè differiscono per un elemento unitario di .

 
Dimostrazione

Prendiamo , polinomi di associati in , allora con . Inoltre, , quindi , quindi per la parte sull'unicità del lemma 1, e , cioè i due polinomi sono associati in .

 
Lemma (385 Lemma di Gauss)

Il prodotto di due polinomi primitivi in è primitivo in .

 
Dimostrazione

Supponiamo per assurdo che non sia primitivo in . Allora tra i coefficienti di non è unitario. Allora esiste irriducibile tale che ma perché tra i coefficienti di e è .


Siccome in ogni ogni irriducibile è primo, allora è primo in . Ciò equivale a dire che l'anello quoziente è un dominio, cioè non ha divisori dello zero (questo vale perché è primo). Se è un dominio, anche è un dominio. Chiamiamo ora l'omomorfismo indotto dall'epimorfismo canonico , che ad ogni elemento associa .


Invece il morfismo associa a ogni polinomio il polinomio dove è l'ideale principale generato da .


Siccome questo è un morfismo di anelli, allora

ovvero se è il polinomio immagine, posso riscriverlo come . Ma è divisibile per . Tutti i coefficienti di sono divisibili per , allora nel quoziente i coefficienti sono tutti uguali a 0, cioè . Siccome si ha .


Ma questa è una contraddizione, perché in un dominio non ci sono divisori dello zero.

 


Lemma (386 Conseguenza del Lemma di Gauss)

Sia un polinomio a coefficienti in irriducibile in e di grado positivo (siccome non siamo in un campo, una costante non unitaria può essere riducibile). Allora è irriducibile anche in . (un polinomio irriducibile negli interi lo è anche nei razionali)

 
Dimostrazione

è necessariamente primitivo in , perché in caso contrario avrebbe una fattorizzazione non banale in della forma con non unitario in e non nullo.


Supponiamo per assurdo che sia riducibile in , allora a coefficienti in entrambi di grado positivo.


Per il lemma 1 sappiamo che e con primitivi in e elementi di , necessariamente unitari perché ogni costante è unitaria in un campo.


Segue che posso scrivere dove siccome sono primitivi in , allora il prodotto è primitivo in per il lemma 2.


Segue a sua volta che per il corollario al lemma 1, un polinomio primitivo in è uguale a uno scalare in per un polinomio primitivo in . I due elementi differiscono per un elemento unitario. Poiché hanno grado , allora ho una contraddizione rispetto all'ipotesi che è irriducibile in perché ho una fattorizzazione non banale. Ciò conferma l'irriducibilità di in , perché l'assurdo non può valere.

 

Criterio di Eisenstein[modifica | modifica wikitesto]

Teorema (387 Criterio di Eisenstein)

Sia un polinomio a coefficienti interi appartenente a di grado positivo. Supponiamo che esista un primo tale che per ogni , , . Allora è irriducibile in .

 
Dimostrazione

Osserviamo che poiché , allora senza perdere generalità possiamo supporre che sia primitivo in . Se non lo fosse, semplificando per il massimo comun divisore dei coefficienti si ottiene ancora un polinomio primitivo.


Supponiamo che sia riducibile in . Allora per il lemma 3, è riducibile in , sia fattorizzabile come ove per assurdo sono polinomi di grado positivo a coefficienti interi.


Scrivendoli esplicitamente si ha

sono polinomi in di grado maggiore di zero.


Se allora il termine noto è il prodotto dei termini noti.

Siccome per ipotesi è primo e divide , allora o o . Supponiamo ad esempio che . Per ipotesi, , cioè se , .


Consideriamo l'epimorfismo indotto dall'epimorfismo canonico .

Allora si ha che siccome divide tutti i coefficienti in mezzo, rimane solo e siccome , e questo non è il polinomio nullo. D'altronde . Siccome è un morfismo, si ha
cioè è un fattore di . Ciò implica che . Allora in particolare ma questo è assurdo perché .

 



Possiamo concludere che ci sono polinomi irriducibili sui razionali per ogni possibile grado. Allora i polinomi è sempre irriducibile per ogni grado.


Esiste anche l'algoritmo di Kroneker che permette di fattorizzare gli irriducibili sui razionali.

Si può anche scegliere un primo opportuno che non divide il coefficiente direttivo del polinomio. Si riducono i coefficienti di modulo se il polinomio non è riducibile in non lo è nemmeno in .


Se è un dominio, è a ideali principali solo se è un campo.

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