Polinomi

Polinomio irriducibile[modifica | modifica wikitesto]

Definizione (334 Polinomio irriducibile)

Sia un campo e il corrispondente anello dei polinomi in a coefficienti in . Esso è un dominio a ideali principali. Un polinomio si dice irriducibile ( primo) se il grado di è maggiore di zero (le costanti sono escluse) e gli unici fattori di in sono i polinomi di grado zero, cioè le costanti non nulle (elementi unitari) e i polinomi della forma con costante non nulla. In altre parole, le uniche fattorizzazioni ammesse da sono quelle della forma ,

 

Rappresentazione costante degli elementi del quoziente[modifica | modifica wikitesto]

Sia ora un ideale dell'anello . Esso è principale e sarà generato da un polinomio, cioè . Possiamo supporre anche che il grado del generatore sia positivo per evitare il caso banale in cui (infatti una costante genera tutto ), ovvero .


Allora vale il seguente

Teorema (335 Rappresentazione standard degli elementi dell'anello quoziente $\frac{F[x]}{I[x]}$)

Nelle ipotesi precedenti, ogni elemento dell'anello quoziente (cioè ogni laterale di ) contiene uno e un solo polinomio di grado inferiore al grado del generatore di . In altre parole: ogni laterale dell'ideale in si può rappresentare in un unico modo nella forma: ove il grado di è minore di .

 
Dimostrazione

Sia un generico elemento di . Dividiamo per :

(vale sempre in un dominio euclideo) e .


D'altronde posso riscrivere

siccome , allora . Allora e differiscono per un elemento dell'ideale, quindi . Ho provato che in ogni laterale è possibile trovare un polinomio con grado inferiore a quello di . Mostriamo che tale polinomio è unico.


Supponiamo che contenga un altro polinomio con . Allora la differenza , allora è prodotto di per un altro elemento dell'anello e quindi ha grado maggiore di . L'unica possibilità per cui la differenza sta dentro è che , cioè . Questo unico polinomio di cui il teorema garantisce l'esistenza può essere scelto come rappresentante standard.

 
Corollario (336)

Sia un campo finito di ordine . Supponiamo . Allora l'anello quoziente è un anello finito e il numero dei suoi elementi è .

 
Dimostrazione

La cardinalità di per la rappresentazione standard è uguale al numero dei polinomi a coefficienti in di grado minore di . Preso un polinomio si può scrivere come . Ci sono coefficienti e scelte per ogni coefficiente, cioè scelte in totale.

 


Se è irriducibile, l'anello è un campo. Siccome ogni elemento del campo è rappresentabile da un polinomio di grado minore di , identificando le costanti con gli elementi di F ottengo un campo più grande di F che lo contiene.


Preso un campo finito con primo. Allora per ogni esiste per ogni possibile n posso costruire un campo di ordine .


Caratteristica: periodo additivo dell'unità. In un campo finito la caratteristica è finita, e quindi dev'essere un numero primo. In realtà tutti gli elementi hanno periodo finito . Ogni campo finito ha per ordine una potenza di .


Per ogni numero primo e per ogni maggiore di 0 esiste un campo finito di ordine . Campi finiti dello stesso ordine sono isomorfi tra di loro.

Ampliamento di campi[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo l'anello dei polinomi a coefficienti in un campo . Consideriamo l'ideale generato da con grado positivo. Allora per il teorema di rappresentazione gli elementi dell'anello quoziente possono essere rappresentati come con polinomio di grado minore di , che è unico. Di conseguenza, se è un campo finito di ordine , allora l'anello quoziente ha cardinalità .


Considero l'applicazione tale che per ogni , . è un monomorfismo di anelli. Infatti, se ho due scalari , si ha come immagine il laterale e lo stesso vale per il prodotto. Il morfismo è iniettivo, perché se e solo se . Ma questa possibilità si verifica solo se , perché ogni polinomio in ha grado maggiore di . Possiamo identificare tramite un sottoanello.


Allora possiamo pensare contenuto nell'anello quoziente . In particolare, se è irriducibile in ovvero se l'anello quoziente è un campo, possiamo considerare come un ampliamento del campo .

Quindi, preso un campo arbitrario e considerato un polinomio irriducibile con grado maggiore di 1, si può considerare un campo in relazione con quel polinomio.

Esempio 1: campo reale[modifica | modifica wikitesto]

Se è il campo reale, allora è irriducibile in . Infatti, se fosse riducibile, dovrebbe avere dei fattori propri, cioè si potrebbe scrivere . Ponendo i coefficienti del polinomio trovato uguali a quelli di si ha , cioè e .


Allora l'anello quoziente generato da è un campo e sappiamo che ogni elemento di è rappresentabile in modo unico nella forma:

(cioè ideale generato dal polinomio più un polinomio di grado minore)


Quindi il campo che estende i reali è un campo con polinomi con grado . Per quanto riguarda la somma, se consideriamo come l'insieme dei polinomi , la somma di due laterali ha come rappresentante la somma dei polinomi rappresentanti.


Se identifichiamo come l'insieme dei polinomi, il prodotto è calcolato modulo . Cioè,

Bisogna considerare come prodotto il resto della divisione del prodotto ordinario per .


Prodotto ordinario:

Divisione per :
E' chiaro allora che l'applicazione che al generico elemento di associa il numero complesso realizza un isomorfismo fra il campo e il campo complesso .


Il quoziente di un anello rispetto a un ideale è un campo se e solo se l'ideale è massimale, cioè se è generato da un irriducibile.

Esempio 2: campo digitale[modifica | modifica wikitesto]

Considero il campo delle classi di resti modulo che ha come elementi le classi di resti . Considerando lo stesso polinomio esso è uguale a quindi questo è un polinomio riducibile in e quindi l'anello quoziente non è un campo e non è un dominio, ma ha divisori dello zero. Infatti, preso nel quoziente, si ha che che è lo zero del quoziente.


Preso , questo polinomio è irriducibile, altrimenti si potrebbe scrivere:

cioè
e l'ultima condizione non è possibile perché . Il quoziente è un campo di ordine .


Sia , è irriducibile in , è un campo che ha elementi elementi. E' possibile scrivere le tavola di composizione rispetto alla somma e al prodotto:


Elementi di : .


Tavole del prodotto modulo :

(si vede che ci sono divisori dello zero, non è un campo).


Tavole del prodotto modulo :

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