Immersione di un dominio in un campo

Teorema[modifica | modifica wikitesto]

Ci si può chiedere se un dominio si può considerare come sottoanello di un opportuno campo.


Teorema (374)

Sia un dominio. Ogni dominio si può immergere in (è isomorfo a un sottoanello di) un campo . Esiste sottoanello di e un monomorfismo tale che .

 
Dimostrazione

Cominciamo con il supporre che sia già un sottoanello di un campo . Consideriamo il sottocampo di generato da , cioè è l'intersezione di tutti i sottocampi di contenenti .


Dimostro che . è l'inverso di in .


La parentesi a destra è un sottoinsieme di , inoltre contiene perché contiene tutti gli elementi .


Inoltre, l'insieme tra parentesi graffe è un sottocampo di infatti:

  • è chiuso ridpetto alla differenza, infatti

e questo è ancora un elemento dell'insieme tra parentesi graffe.

  • è un sottogruppo di rispetto al prodotto, cioè soddisfa il criterio in con

Prendo . Allora

che appartiene ancora all'insieme.

Quindi l'insieme tra parentesi è un sottocampo di che contiene ed è contenuto nell'intersezione di tutti i campi che contengono , quindi coincide con .

 



Con questo teorema si può capire come creare un campo che contiene un anello e che sia minimale.


Consideriamo l'insieme

Su definiamo una relazione che associa a due coppie e se e solo se . Questa relazione è di equivalenza. Allora consideriamo l'insieme quoziente . Denotiamo con la classe di equivalenza contenente la coppia . Ogni coppia si chiama frazione. è per abuso di linguaggio la frazione individuata dalla coppia .


Sia l'insieme quoziente (qui, come nel teorema precedente, ). Notiamo che la classe di equivalenza coincide con se e solo se .


Sull'insieme quoziente definisco somma e prodotto.

  • La somma . Si può verificare che questa operazione è ben definita, cioè che cambiando

rappresentanti per le classi di equivalenza si trova come somma la stessa frazione.

  • Il prodotto . Il prodotto è ben definito e commutativo.

Rispetto alla somma, il quoziente è un gruppo abeliano con uguale alla classe che contiene tutte le coppie del tipo . Rispetto al prodotto, è un gruppo con unità. L'unità è la classe . L'inverso di è la classe di .


Valgono le proprietà distributive, cioè è un campo.


Consideriamo l'applicazione definita ponendo per ogni elemento , . Questa applicazione conserva la somma e il prodotto, quindi .


Similmente è conservato il prodotto:

Il nucleo è ridotto a , perché preso un elemento con immagine , se questo elemento ha come immagine si ha cioè .


Quindi il morfismo è iniettivo, è isomorfo a ed è un sottoanello di .

Osservazioni[modifica | modifica wikitesto]

Osservazione (375)

Identificando ogni con , si identifica con e pertanto si può considerare come sottoanello di .

 


Osservazione (376)

Notiamo che per ogni possiamo scrivere allora si può considerare come prodotto in di per l'inverso di . Quindi per le considerazioni iniziali genera .


Nessun sottocampo proprio di può contenere .

 

Campo delle frazioni[modifica | modifica wikitesto]

Definizione (377 Campo delle frazioni)

Diremo che è il campo delle frazioni o campo dei quozienti del dominio .

 

Ad esempio, se è il dominio degli interi, si può costruire come campo delle frazioni il campo dei razionali.


Si può provare il seguente teorema:

Teorema (378)

Costruiamo e come sopra. Sia un monomorfismo di a un campo , cioè un'immersione di in un campo . Allora si può estendere in un unico modo a un monomorfismo dal campo a , cioè si può estendere a un morfismo di campi.


In particolare, se è generato da allora è isomorfo a perché deve contenere .

 
Dimostrazione

Si consideri la mappa che preso un elemento di associa che va da a ed è un monomorfismo. estende , cioè . E' iniettiva, è unica. Ogni che estende è tale che l'immagine di un qualsiasi elemento di è necessariamente la stessa di .

 
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