Sottoanello
Definizione generale[modifica | modifica wikitesto]
Sia un anello. Un sottoinsieme si dice sottoanello di se valgono le seguenti proprietà:
- è un sottogruppo del gruppo additivo (cioè, per il criterio questo equivale a dire che è chiuso
rispetto alla differenza);
- è un sottomonoide del monoide , cioè e è chiuso rispetto al prodotto.
L'insieme degli interi pari non è un sottoanello, perché non è contenuta nel sottoanello. Ciononostante, è vero che questo è un sottogruppo dell'anello.
Per provare che un sottoinsieme è un sottoanello dell'anello basta provare che sta in e che è chiuso rispetto alla differenza e al prodotto.
Sottocorpi e sottocampi[modifica | modifica wikitesto]
Se ci si restringe alla classe dei campi, le sottostrutture sono i sottocorpi e i sottocampi.
Sia un corpo (campo). Un sottoinsieme di con si dice sottocorpo (sottocampo) di se è un sottoanello di e è un sottogruppo di rispetto al prodotto.
Preso un elemento in diverso da , il suo inverso che esiste in deve esistere in .
Criterio: Un sottoinsieme di cardinalità maggiore di 1 di un corpo o un campo è un sottocorpo (sottocampo)
se e solo se , allora e allora .