Sottoanello

Definizione generale

Definizione (265)

Sia $(A,+,\cdot )$$(A,+,\cdot )$ un anello. Un sottoinsieme $B\subset A$$B \subset A$ si dice sottoanello di $A$$A$ se valgono le seguenti proprietà:

1. $(B,+)$$(B,+)$ è un sottogruppo del gruppo additivo $(A,+)$$(A,+)$ (cioè, per il criterio $ab^{-1}\in A$$ab^{-1}\in A$ questo equivale a dire che $B$$B$ è chiuso

rispetto alla differenza);

1. $(B,\cdot )$$(B,\cdot )$ è un sottomonoide del monoide $(A,{\dot {)}}$$(A,{\dot {)}}$, cioè $1_{A}\in B$$1_{A}\in B$ e $B$$B$ è chiuso rispetto al prodotto.

 

Esempio (266)

L'insieme degli interi pari non è un sottoanello, perché $1_{A}$$1_{A}$ non è contenuta nel sottoanello. Ciononostante, è vero che questo è un sottogruppo dell'anello.

 

Osservazione (267)

Per provare che un sottoinsieme $B$$B$ è un sottoanello dell'anello $A$$A$ basta provare che $1_{A}$$1_{A}$ sta in $B$$B$ e che $B$$B$ è chiuso rispetto alla differenza e al prodotto.

 

Sottocorpi e sottocampi

Se ci si restringe alla classe dei campi, le sottostrutture sono i sottocorpi e i sottocampi.

Definizione (268)

Sia $K$$K$ un corpo (campo). Un sottoinsieme $K_{0}$$K_{0}$ di $K$$K$ con $|K_{0}|>1$$|K_{0}|>1$ si dice sottocorpo (sottocampo) di $K$$K$ se $K_{0}$$K_{0}$ è un sottoanello di $K$$K$ e $K_{0}^{*}=K_{0}\smallsetminus 0$$K_{0}^{*}=K_{0}\smallsetminus 0$ è un sottogruppo di $K^{*}$$K^{*}$ rispetto al prodotto.

 

Osservazione (269)

Preso un elemento in $K_{0}$$K_{0}$ diverso da $0$$0$, il suo inverso $k_{0}^{-1}$$k_{0}^{-1}$ che esiste in $K$$K$ deve esistere in $(K_{0})^{*}$$(K_{0})^{*}$.

 

Criterio: Un sottoinsieme di cardinalità maggiore di 1 di un corpo o un campo è un sottocorpo (sottocampo) se e solo se $\forall a,b,\in K_{0}$$\forall a,b,\in K_{0}$, allora $a-b\in K_{0}$$a-b\in K_{0}$ e $\forall a,b\in (K_{0})^{*}$$\forall a,b\in (K_{0})^{*}$ allora $ab^{-1}\in (K_{0})^{*}$$ab^{-1}\in (K_{0})^{*}$.