Polinomi

Polinomi come successioni

Sia $(A,+,\cdot )$$(A,+,\cdot )$ un anello commutativo.

Definizione (270 Polinomio)

Si dice polinomio sull'anello $A$$A$ una successione $(a_{0},a_{1},\dots ,a_{i},\dots ,)$$(a_{0},a_{1},\dots ,a_{i},\dots ,)$ di elementi di $A$$A$ che sia definitivamente nulla, cioè tale che a partire da un certo posto in poi, $a_{i}=0_{A}$$a_{i}=0_{A}$.

Gli elementi $a_{0},a_{1},a_{i}$$a_{0},a_{1},a_{i}$ sono i coefficienti del polinomio.

 

Definizione (271 Somma e prodotto di polinomi)

Data la successione $(a_{0},a_{1},a_{i},\dots )$$(a_{0},a_{1},a_{i},\dots )$ e $(b_{0},b_{1},b_{i},\dots )$$(b_{0},b_{1},b_{i},\dots )$ definiamo la somma di polinomi come la successione $(a_{0}+b_{0},a_{1}+b_{1},\dots ,a_{i}+b_{i},\dots )$$(a_{0}+b_{0},a_{1}+b_{1},\dots ,a_{i}+b_{i},\dots )$.

Prese due successioni definitivamente nulle come sopra, si definisce prodotto di polinomi la successione

$$(a_{0},a_{1},a_{i})\cdot (b_{0},b_{1},b_{i})=(a_{0}*b_{0},a_{0}*b_{1}+a_{1}*b_{0},\sum _{h=0}^{i}a_{h}*b_{i-h},\dots$$

$$(a_{0},a_{1},a_{i})\cdot (b_{0},b_{1},b_{i})=(a_{0}*b_{0},a_{0}*b_{1}+a_{1}*b_{0},\sum _{h=0}^{i}a_{h}*b_{i-h},\dots$$

Senza imporre che la successione sia definitivamente nulla si ha una serie formale su $A$$A$.

 

Anello dei polinomi

Proposizione (272)

L'insieme di tutti i polinomi su $A$$A$ con le operazioni di somma e prodotto sopra definite è un anello commutativo.

 

Dimostrazione

Basta verificare che si ha un gruppo abeliano rispetto alla somma, che il prodotto è commutativo e che il prodotto è associativo, che valgono le proprietà distributive e che lo zero e l'unità sono presenti. Lo zero è la successione identicamente nulla, cioè $0_{A},0_{A},\dots ,0_{A},\dots$$0_{A},0_{A},\dots ,0_{A},\dots$; l'unità è la successione $(1_{A},0_{A},\dots ,0_{A})$$(1_{A},0_{A},\dots ,0_{A})$.

 

Polinomi come espressioni formali

Due polinomi coincidono quando sono uguali termine a termine.

Per ottenere la rappresentazione usuale dei polinomi scegliamo un simbolo $x$$x$ (indeterminata). Se $A_{i}=0_{A}\forall i>m$$A_{i}=0_{A}\forall i>m$ e $a_{m}\neq 0$$a_{m}\neq 0$. La successione $(a_{0},a_{1},a_{m},0,0,0,\dots )$$(a_{0},a_{1},a_{m},0,0,0,\dots )$ viene scritta come

$$a_{m}*x^{m}+a_{m-1}*x^{m-1}+a_{1}*x^{1}+a_{0}*x^{0}=A(x)$$

$$a_{m}*x^{m}+a_{m-1}*x^{m-1}+a_{1}*x^{1}+a_{0}*x^{0}=A(x)$$

Questa è una scrittura puramente formale.

Se qualche coefficiente $a_{j}$$a_{j}$ per $0<j<n-1$$0<j<n-1$ è nullo, allora si omette il termine $a_{j}*x^{j}$$a_{j}*x^{j}$.

Le operazioni di somma e prodotto di polinomi coincidono con quelle usuali nella usuale rappresentazione.

Interpretazione della scrittura formale

Considerando la scrittura:

$$A(x)=a_{m}*x^{m}+\dots +a_{1}*x+a_{0}$$

$$A(x)=a_{m}*x^{m}+\dots +a_{1}*x+a_{0}$$

il polinomio $A(x)$$A(x)$ si può vedere come somma di particolari polinomi che chiamiamo monomi$a_{i}*x^{i}$$a_{i}*x^{i}$, dove il simbolo $a_{i}*x^{i}$$a_{i}*x^{i}$ è la successione $(0,0,0,a_{i},0,0,\dots )$$(0,0,0,a_{i},0,0,\dots )$ con $0\leq i\leq m$$0\leq i\leq m$. La somma di queste successioni secondo la regola definita prima si ottiene proprio $A(x)=(a_{0},a_{1},\dots ,a_{i},\dots ,a_{m})$$A(x)=(a_{0},a_{1},\dots ,a_{i},\dots ,a_{m})$.

Il monomio $a_{i}*x^{i}$$a_{i}*x^{i}$ è a sua volta prodotto del monomio $a_{i}=a_{i}*x^{0}=(a_{i},0,0,\dots )$$a_{i}=a_{i}*x^{0}=(a_{i},0,0,\dots )$ e il monomio $x_{i}=1_{A}*x^{i}=(0,0,1_{A},0,0,\dots )$$x_{i}=1_{A}*x^{i}=(0,0,1_{A},0,0,\dots )$.

$x^{i}$$x^{i}$ è sua volta si può intrerpretare come la potenza $i$$i$-esima del polinomio $1_{A}*x$$1_{A}*x$.

A questa scrittura formale si possono applicare le regole usate per i polinomi a coefficienti numerici.

L'anello dei polinomi su $A$$A$ nell'indeterminata $x$$x$ si denota con il simbolo $A[x]$$A[x]$.

Anticipazione: morfismi tra anelli

Definizione (273 Morfismo di anelli)

Siano $A$$A$ e $B$$B$ due anelli. Un'applicazione $f\colon A\to B$$f\colon A\to B$ si dice morfismo di anelli se

1. $\forall x,y\in A$$\forall x,y\in A$, $f(x+y)=f(x)+f(y)$$f(x+y)=f(x)+f(y)$
2. $\forall x,y$$\forall x,y$, $f(xy)=f(x)*f(y)$$f(xy)=f(x)*f(y)$
3. $f(1_{A})=1_{B}$$f(1_{A})=1_{B}$

Un morfismo di anelli è un morfismo di gruppi abeliani e un morfismo di monoidi moltiplicativi.

 

Come nel caso dei gruppi, un morfismo può essere iniettivo (monomorfismo), suriettivo (epimorfismo) e biettivo (isomorfismo).

Sottoanello delle costanti

Osservazione (274)

I monomi di tipo $a*x^{0}=a$$a*x^{0}=a$ con $a\in A$$a\in A$, cioè le successioni $(a,0,0,\dots )$$(a,0,0,\dots )$ formano un sottoanello di $A[x]$$A[x]$. Infatti l'unità, le differenze e i prodotti appartengono ancora al sottoanello. Questo sottoanello è isomorfo all'anello $A$$A$ (infatti se al monomio $a*x^{0}$$a*x^{0}$ si associa $a$$a$, si verifica subito che c'è un omomorfismo di anelli).

In questo senso, si può identificare $A$$A$ come un sottoanello di $A[x]$$A[x]$ chiamato anello delle costanti. In particolare, lo zero e l'unità di $A$$A$ sono identificati con lo zero e l'unità di $A[x]$$A[x]$.

 

Grado

Definizione (275 Grado di un polinomio e coefficiente direttivo)

Sia $A[x]=a_{n}*x^{n}+a_{n-1}*x^{n-1}+\dots +a_{1}*x+a_{0}$$A[x]=a_{n}*x^{n}+a_{n-1}*x^{n-1}+\dots +a_{1}*x+a_{0}$ con $a_{n}\neq 0$$a_{n}\neq 0$ un qualsiasi polinomio non nullo ($\neq 0_{A[x]}$$\neq 0_{A[x]}$) in $A[x]$$A[x]$. Allora per ogni $m>n$$m>n$, $A_{m}=0$$A_{m}=0$. Diremo che $n$$n$ è il grado di $A[x]$$A[x]$ e si scrive $n=gr(A[x])$$n=gr(A[x])$. $a_{n}$$a_n$ si dice coefficiente direttivo di $A[x]$$A[x]$ e se $a_{n}=1_{A}$$a_{n}=1_{A}$, $A(x)$$A(x)$ si dice monico. Al polinomio nullo si attribuisce convenzionalmente grado $-1$$-1$.

 

NB: i polinomi di grado zero sono le costanti con $a\neq 0$$a\neq 0$.

Proposizione (276)

Siano $A(x),B(x)\in A[x]$$A(x),B(x)\in A[x]$. Allora

1. il grado della somma $A(x)+B(x)\leq \max\{gr(A(x)),gr(B(x))\}$$A(x)+B(x)\leq \max\{gr(A(x)),gr(B(x))\}$.

(non vale sempre l'uguale, infatti, se ad esempio i due polinomi hanno lo stesso grado e i due termini di grado massimo sono opposti, il grado della somma è $n-1$$n-1$)

1. Il grado del prodotto $gr(A(x)*B(x))\leq gr(A(x))+gr(B(x))$$gr(A(x)*B(x))\leq gr(A(x))+gr(B(x))$

 

Dimostrazione

2. Se $A(x)=a_{n}*x^{n}+a_{1}*x+a_{0}$$A(x)=a_{n}*x^{n}+a_{1}*x+a_{0}$ e $B_{x}=b_{m}*x^{m}+\dots +b_{1}*x+b_{0}$$B_{x}=b_{m}*x^{m}+\dots +b_{1}*x+b_{0}$, allora $A(x)*B(x)=(a_{n}*b_{m})*x^{m+n}+(a_{n}*b_{n-1})*x^{n-1}+\dots +a_{0}*b_{0}$$A(x)*B(x)=(a_{n}*b_{m})*x^{m+n}+(a_{n}*b_{n-1})*x^{n-1}+\dots +a_{0}*b_{0}$ e quindi il grado del prodotto non può superare la somma dei gradi. Non è necessariamente uguale, perché se $A$$A$ ha divisori dello zero, allora può avvenire che $a_{n}*b_{n}=0$$a_{n}*b_{n}=0$ anche se $a_{n}\neq 0,b_{n}\neq 0$$a_{n}\neq 0,b_{n}\neq 0$.

Se $A$$A$ è un dominio, il grado del prodotto è esattamente uguale a $m+n$$m+n$.

 

Ad esempio, se $A$$A$ è l'anello delle classi di resto modulo $6$$6$, allora $A(x)=[2]x^{3}+[1]$$A(x)=[2]x^{3}+[1]$ e $B(x)=[3]x^{2}+[2]$$B(x)=[3]x^{2}+[2]$ allora la somma dei gradi è $5$$5$ ma il prodotto è $[4]x^{3}+[3]x^{2}+[2]$$[4]x^{3}+[3]x^{2}+[2]$ (grado $3$$3$).

Proposizione (277 Proprietà di trasposto)

Se $A$$A$ è un dominio, anche il corrispondente anello $A[x]$$A[x]$ è un dominio, cioè è privo di divisori dello zero.

 

Dimostrazione

Dalla formula del prodotto: se prendo due polinomi non nulli con grado $m$$m$ e $n$$n$, che sono diversi da zero, dalla formula si ha che il prodotto ha grado $n+m$$n+m$ (il coefficiente di grado $n+m$$n+m$ non può essere uguale a zero) e quindi il prodotto di due polinomi non nulli è sempre un polinomio non nullo se l'anello delle costanti è un dominio.

 

Sia $A$$A$ un dominio. Se il grado del prodotto di due polinomi non nulli è $0$$0$, anche il grado dei fattori dev'essere $0$$0$.

Se $A$$A$ è un dominio, un polinomio è invertibile se e solo se ha grado $0$$0$. (se ha grado maggiore di $0$$0$, anche il grado del prodotto dev'essere maggiore di $0$$0$ e quindi non esiste nessun polinomio che moltiplicato con quello di partenza è uguale all'unità). Gli elementi unitari sono tutte e sole le costanti invertibili nel dominio $A$$A$. Ad esempio, se $A=\mathbb {Z}$$A=\mathbb {Z}$, tutti gli elementi unitari di $A[x]$$A[x]$ sono $\pm 1$$\pm 1$.

Preso l'anello dei polinomi delle classi di resto modulo $4$$4$, ad esempio il polinomio $(2x+1)^{2}=[4]x^{2}+[4]x+1=1$$(2x+1)^{2}=[4]x^{2}+[4]x+1=1$. In questo anello $2x+1$$2x+1$ è un polinomio di grado $1$$1$ che ha come inverso se stesso.