Polinomi

Polinomi come successioni[modifica | modifica wikitesto]

Sia un anello commutativo.


Definizione (270 Polinomio)

Si dice polinomio sull'anello una successione di elementi di che sia definitivamente nulla, cioè tale che a partire da un certo posto in poi, .


Gli elementi sono i coefficienti del polinomio.

 


Definizione (271 Somma e prodotto di polinomi)

Data la successione e definiamo la somma di polinomi come la successione .


Prese due successioni definitivamente nulle come sopra, si definisce prodotto di polinomi la successione

Senza imporre che la successione sia definitivamente nulla si ha una serie formale su .

 

Anello dei polinomi[modifica | modifica wikitesto]

Proposizione (272)

L'insieme di tutti i polinomi su con le operazioni di somma e prodotto sopra definite è un anello commutativo.

 
Dimostrazione

Basta verificare che si ha un gruppo abeliano rispetto alla somma, che il prodotto è commutativo e che il prodotto è associativo, che valgono le proprietà distributive e che lo zero e l'unità sono presenti. Lo zero è la successione identicamente nulla, cioè ; l'unità è la successione .

 

Polinomi come espressioni formali[modifica | modifica wikitesto]

Due polinomi coincidono quando sono uguali termine a termine.


Per ottenere la rappresentazione usuale dei polinomi scegliamo un simbolo (indeterminata). Se e . La successione viene scritta come

Questa è una scrittura puramente formale.


Se qualche coefficiente per è nullo, allora si omette il termine .


Le operazioni di somma e prodotto di polinomi coincidono con quelle usuali nella usuale rappresentazione.

Interpretazione della scrittura formale[modifica | modifica wikitesto]

Considerando la scrittura:

il polinomio si può vedere come somma di particolari polinomi che chiamiamo monomi, dove il simbolo è la successione con . La somma di queste successioni secondo la regola definita prima si ottiene proprio .


Il monomio è a sua volta prodotto del monomio e il monomio .


è sua volta si può intrerpretare come la potenza -esima del polinomio .


A questa scrittura formale si possono applicare le regole usate per i polinomi a coefficienti numerici.


L'anello dei polinomi su nell'indeterminata si denota con il simbolo .

Anticipazione: morfismi tra anelli[modifica | modifica wikitesto]

Definizione (273 Morfismo di anelli)

Siano e due anelli. Un'applicazione si dice morfismo di anelli se

  1. ,
  2. ,

Un morfismo di anelli è un morfismo di gruppi abeliani e un morfismo di monoidi moltiplicativi.

 



Come nel caso dei gruppi, un morfismo può essere iniettivo (monomorfismo), suriettivo (epimorfismo) e biettivo (isomorfismo).

Sottoanello delle costanti[modifica | modifica wikitesto]

Osservazione (274)

I monomi di tipo con , cioè le successioni formano un sottoanello di . Infatti l'unità, le differenze e i prodotti appartengono ancora al sottoanello. Questo sottoanello è isomorfo all'anello (infatti se al monomio si associa , si verifica subito che c'è un omomorfismo di anelli).


In questo senso, si può identificare come un sottoanello di chiamato anello delle costanti. In particolare, lo zero e l'unità di sono identificati con lo zero e l'unità di .

 

Grado[modifica | modifica wikitesto]

Definizione (275 Grado di un polinomio e coefficiente direttivo)

Sia con un qualsiasi polinomio non nullo () in . Allora per ogni , . Diremo che è il grado di e si scrive . si dice coefficiente direttivo di e se , si dice monico. Al polinomio nullo si attribuisce convenzionalmente grado .

 



NB: i polinomi di grado zero sono le costanti con .

Proposizione (276)

Siano . Allora

  1. il grado della somma .

(non vale sempre l'uguale, infatti, se ad esempio i due polinomi hanno lo stesso grado e i due termini di grado massimo sono opposti, il grado della somma è )

  1. Il grado del prodotto
 
Dimostrazione

2. Se e , allora e quindi il grado del prodotto non può superare la somma dei gradi. Non è necessariamente uguale, perché se ha divisori dello zero, allora può avvenire che anche se .


Se è un dominio, il grado del prodotto è esattamente uguale a .

 


Ad esempio, se è l'anello delle classi di resto modulo , allora e allora la somma dei gradi è ma il prodotto è (grado ).


Proposizione (277 Proprietà di trasposto)

Se è un dominio, anche il corrispondente anello è un dominio, cioè è privo di divisori dello zero.

 
Dimostrazione

Dalla formula del prodotto: se prendo due polinomi non nulli con grado e , che sono diversi da zero, dalla formula si ha che il prodotto ha grado (il coefficiente di grado non può essere uguale a zero) e quindi il prodotto di due polinomi non nulli è sempre un polinomio non nullo se l'anello delle costanti è un dominio.

 



Sia un dominio. Se il grado del prodotto di due polinomi non nulli è , anche il grado dei fattori dev'essere .


Se è un dominio, un polinomio è invertibile se e solo se ha grado . (se ha grado maggiore di , anche il grado del prodotto dev'essere maggiore di e quindi non esiste nessun polinomio che moltiplicato con quello di partenza è uguale all'unità). Gli elementi unitari sono tutte e sole le costanti invertibili nel dominio . Ad esempio, se , tutti gli elementi unitari di sono .


Preso l'anello dei polinomi delle classi di resto modulo , ad esempio il polinomio . In questo anello è un polinomio di grado che ha come inverso se stesso.

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