Sia
un anello commutativo.
Definizione (270 Polinomio)
Si dice polinomio sull'anello
una successione
di elementi di
che sia
definitivamente nulla, cioè tale che a partire da un certo posto in poi,
.
Gli elementi
sono i coefficienti del polinomio.
Definizione (271 Somma e prodotto di polinomi)
Data la successione
e
definiamo la somma di polinomi come
la successione
.
Prese due successioni definitivamente nulle come sopra, si definisce prodotto di polinomi la successione

Senza imporre che la successione sia definitivamente nulla si ha una serie formale su

.
Proposizione (272)
L'insieme di tutti i polinomi su
con le operazioni di somma e prodotto sopra definite è un anello commutativo.
Dimostrazione
Basta verificare che si ha un gruppo abeliano rispetto alla somma, che il prodotto è commutativo e che il prodotto è associativo,
che valgono le proprietà distributive e che lo zero e l'unità sono presenti.
Lo zero è la successione identicamente nulla, cioè
; l'unità è la successione
.
Due polinomi coincidono quando sono uguali termine a termine.
Per ottenere la rappresentazione usuale dei polinomi scegliamo un simbolo
(indeterminata).
Se
e
. La successione
viene scritta come

Questa è una scrittura puramente formale.
Se qualche coefficiente
per
è nullo, allora si omette il termine
.
Le operazioni di somma e prodotto di polinomi coincidono con quelle usuali nella usuale rappresentazione.
Considerando la scrittura:

il polinomio

si può vedere come somma di particolari polinomi che chiamiamo
monomi
,
dove il simbolo

è la successione

con

.
La somma di queste successioni secondo la regola definita prima si ottiene proprio

.
Il monomio
è a sua volta prodotto del monomio
e il monomio
.
è sua volta si può intrerpretare come la potenza
-esima del polinomio
.
A questa scrittura formale si possono applicare le regole usate per i polinomi a coefficienti numerici.
L'anello dei polinomi su
nell'indeterminata
si denota con il simbolo
.
Definizione (273 Morfismo di anelli)
Siano
e
due anelli. Un'applicazione
si dice morfismo di anelli se
, 
, 

Un morfismo di anelli è un morfismo di gruppi abeliani e un morfismo di monoidi moltiplicativi.
Come nel caso dei gruppi, un morfismo può essere iniettivo (monomorfismo), suriettivo (epimorfismo) e biettivo (isomorfismo).
I monomi di tipo
con
, cioè le successioni
formano un sottoanello di
.
Infatti l'unità, le differenze e i prodotti appartengono ancora al sottoanello.
Questo sottoanello è isomorfo all'anello
(infatti se al monomio
si associa
, si verifica subito che c'è un omomorfismo di anelli).
In questo senso, si può identificare
come un sottoanello di
chiamato anello delle costanti.
In particolare, lo zero e l'unità di
sono identificati con lo zero e l'unità di
.
Definizione (275 Grado di un polinomio e coefficiente direttivo)
Sia
con
un qualsiasi polinomio non nullo (
) in
.
Allora per ogni
,
.
Diremo che
è il grado di
e si scrive
.
si dice coefficiente direttivo di
e se
,
si dice monico.
Al polinomio nullo si attribuisce convenzionalmente grado
.
NB: i polinomi di grado zero sono le costanti con
.
Proposizione (276)
Siano
. Allora
- il grado della somma
.
(non vale sempre l'uguale, infatti, se ad esempio i due polinomi hanno lo stesso grado e i due termini di grado massimo sono opposti,
il grado della somma è
)
- Il grado del prodotto

Dimostrazione
2. Se
e
, allora
e quindi il grado del prodotto non può superare la somma dei gradi.
Non è necessariamente uguale, perché se
ha divisori dello zero, allora può avvenire che
anche se
.
Se
è un dominio, il grado del prodotto è esattamente uguale a
.
Ad esempio, se
è l'anello delle classi di resto modulo
, allora
e
allora la somma dei
gradi è
ma il prodotto è
(grado
).
Proposizione (277 Proprietà di trasposto)
Se
è un dominio, anche il corrispondente anello
è un dominio, cioè è privo di divisori dello zero.
Dimostrazione
Dalla formula del prodotto: se prendo due polinomi non nulli con grado
e
, che sono diversi da zero,
dalla formula si ha che il prodotto ha grado
(il coefficiente di grado
non può essere uguale a zero)
e quindi il prodotto di due polinomi non nulli è sempre un polinomio non nullo se l'anello delle costanti è un dominio.
Sia
un dominio. Se il grado del prodotto di due polinomi non nulli è
, anche il grado dei fattori dev'essere
.
Se
è un dominio, un polinomio è invertibile se e solo se ha grado
. (se ha grado maggiore di
, anche il grado del prodotto
dev'essere maggiore di
e quindi non esiste nessun polinomio che moltiplicato con quello di partenza è uguale all'unità).
Gli elementi unitari sono tutte e sole le costanti invertibili nel dominio
.
Ad esempio, se
, tutti gli elementi unitari di
sono
.
Preso l'anello dei polinomi delle classi di resto modulo
, ad esempio il polinomio
.
In questo anello
è un polinomio di grado
che ha come inverso se stesso.