Morfismi
Anello quoziente[modifica | modifica wikitesto]
Se ho due anelli arbitrari un'applicazione lineare tra i due anelli è un morfismo se conserva la somma, il prodotto e l'unità.
Il nucleo di un morfismo è l'insieme di tutti gli elementi di che hanno come immagine lo zero di (è il nucleo
del morfismo che si avrebbe se si considerano i due anelli come gruppi additivi).
Come nel caso dei gruppi, ad ogni congruenza e quindi ad ogni ideale e ad ogni nucleo è associato un anello quoziente.
Sia un anello e un ideale (bilatero). Allora l'insieme quoziente di rispetto alla congruenza di nucleo si denota con .
Gli elementi di sono i laterali additivi di , cioè un generico elemento consiste di tutti gli
elementi che differiscono da per un elemento di .
Siccome è il nucleo di una congruenza, le operazioni di somma e prodotto definite su inducono operazioni di somma e prodotto di laterali nell'insieme quoziente . La somma è tale che Analogamente il prodotto .
Con queste operazioni l'insieme quoziente è un anello chiamato anello quoziente di rispetto all'ideale .
Lo zero dell'anello quoziente è la classe che contiene lo zero di , cioè il laterale che coincide con . L'unità è .
Se è un anello commutativo, anche il quoziente lo è.
Se è privo di divisori dello zero, il quoziente potrebbe non esserlo.
Epimorfismo canonico[modifica | modifica wikitesto]
Possiamo considerare l'applicazione tale che preso un elemento la sua immagine è il laterale che contiene . Quest'applicazione è un epimorfismo e ha come nucleo .
Pensando ai gruppi additivi può essere considerato come epimorfismo canonico.
Anche in questo caso si definisce epimorfismo canonico di sul quoziente.
Quindi il quoziente per qualsiasi ideale di è epimorfo a .
Teorema fondamentale di epimorfismo per gli anelli[modifica | modifica wikitesto]
Dati due anelli e un morfismo , se consideriamo il nucleo del morfismo esso è un ideale. Infatti, è l'ìinsieme degli elementi che hanno come immagine . Rispetto alla relazione che è la relazione di equivalenza associata a come applicazione, il ker è un ideale: infatti, mediante la , gli elementi con la stessa immagine sono associati tra loro, siccome l'immagine di è uguale a , allora il ker è l'insieme degli elementi associati a zero mediante , ed è il nucleo della congruenza , che è un ideale.
Possiamo dire che è una congruenza perché se e allora .
Sia un morfismo. Allora
- Se è la relazione di equivalenza associata a , questa relazione è una congruenza sull'anello (compatibile
con somma e prodotto); è la classe dello zero ed è un ideale di .
- Se considero l'anello quoziente e considero l'epimorfismo canonico:
- è un monomorfismo (per la parte di questo teorema riguardante i gruppi), è un isomorfismo se e solo se è suriettivo.
Il teorema fondamentale sui morfismi dice che se è immagine epimorfa di , allora è isomorfa all'anello
quoziente .
Il caso degli interi[modifica | modifica wikitesto]
Se consideriamo l'anello degli interi , osserviamo che ogni sottogruppo di è ciclico cioè ha la forma: .
Se ho il sottogruppo del solo zero, se ho tutto . Negli altri casi il sottogruppo è un ideale
dell'anello .
Infatti, preso un qualsiasi elemento multiplo di , se lo moltiplico per un qualsiasi intero , esso è ancora un
multiplo di . Quindi ogni sottogruppo ciclico di quella forma è ancora un ideale.
Gli ideali sono tutti e soli i sottogruppi ciclici di .
Poniamo . Allora se o , l'anello quoziente con è l'anello delle classi
di resto modulo .
I laterali sono della forma che è l'insieme di tutti gli elementi che differiscono da per un multiplo di .
Se il quoziente è isomorfo all'anello .
Se consideriamo il teorema fondamentale sui morfismi, siccome tutte e sole le immagini epimorfe sono a meno di isomorfismo
i gruppi quoziente, allora tutte le immagini epimorfe di sono , e l'anello delle classi di resto modulo .
Caratteristica di un anello[modifica | modifica wikitesto]
Sia un anello non banale, generico e definiamo l'applicazione
Siano due interi. è un morfismo, infatti:
- conserva la somma;
- Conserva il prodotto:
- conserva l'unità:
Quindi è un morfismo. La sua immagine è un sottonaello di . In questo caso il sottoanello che si ottiene è l'insieme dei multipli dell'unità.
Il nucleo di è l'insieme (in notazione additiva). Nel gruppo additivo dell'anello
l'insieme dei multipli di equivale all'insieme delle potenze additive di .
Se in è finito, allora , cioè è l'ideale costituito dai multipli di .
Se invece (nel gruppo additivo) allora non esiste per cui e quindi .
Nel primo caso per il teorema fondamentale sui morfismi, se è uguale a finito, allora
(classi di resto modulo ) è isomorfo all'immagine del morfismo , cioè ai
multipli dell'unità.
Se invece in è infinito, si ha che l'immagine è isomorfo a
.
Se in è , diremo che è un anello di caratteristica. Altrimenti se , allora ha caratteristica zero.
Se l'anello è un dominio, allora ci sono due possibilità:
- se si ha un dominio di caratteristica , come
- se ha caratteristica finita, è isomorfo alle classi di resto modulo , ma l'insieme delle classi modulo
è privo di divisori dello zero se e solo se è primo. Quindi in un dominio di caratteristica il periodo dell'unità è necessariamente primo. perché . Quindi in un campo di caratteristica , non solo l'unità ma anche ogni elemento diverso da ha periodo .
L'identità di Bézout vale in ogni dominio in cui ogni coppia di elementi ha un ..