Morfismi

Anello quoziente

Se ho due anelli arbitrari $A,B$$A,B$ un'applicazione lineare tra i due anelli è un morfismo se conserva la somma, il prodotto e l'unità.

Il nucleo di un morfismo è l'insieme di tutti gli elementi di $A$$A$ che hanno come immagine lo zero di $B$$B$ (è il nucleo del morfismo che si avrebbe se si considerano i due anelli come gruppi additivi).

$$\ker f=\{a\in At.c.f(a)=0_{B}\}$$

$$\ker f=\{a\in At.c.f(a)=0_{B}\}$$

Come nel caso dei gruppi, ad ogni congruenza e quindi ad ogni ideale e ad ogni nucleo è associato un anello quoziente.

Sia $A$$A$ un anello e $I$$I$ un ideale (bilatero). Allora l'insieme quoziente di $A$$A$ rispetto alla congruenza di nucleo $I$$I$ si denota con $A/I$$A/I$.

Gli elementi di $A/I$$A/I$ sono i laterali additivi di $I\in A$$I\in A$, cioè un generico elemento $I+a$$I+a$ consiste di tutti gli elementi che differiscono da $a$$a$ per un elemento di $I$$I$.

Siccome $I$$I$ è il nucleo di una congruenza, le operazioni di somma e prodotto definite su $A$$A$ inducono operazioni di somma e prodotto di laterali nell'insieme quoziente $A/I$$A/I$. La somma è tale che $(I+A)+(I+B)=I+(a+b)$$(I+A)+(I+B)=I+(a+b)$ Analogamente il prodotto $(I+a)(I+b)=I+ab$$(I+a)(I+b)=I+ab$.

Con queste operazioni l'insieme quoziente è un anello chiamato anello quoziente di $A$$A$ rispetto all'ideale $I$$I$.

Lo zero dell'anello quoziente è la classe che contiene lo zero di $A$$A$, cioè il laterale $I+0_{A}$$I+0_{A}$ che coincide con $I$$I$. L'unità è $I+1_{A}$$I+1_{A}$.

Se $A$$A$ è un anello commutativo, anche il quoziente lo è.

Se $A$$A$ è privo di divisori dello zero, il quoziente potrebbe non esserlo.

Epimorfismo canonico

Possiamo considerare l'applicazione $\pi \colon A\to A/I$$\pi \colon A\to A/I$ tale che preso un elemento $a$$a$ la sua immagine è il laterale che contiene $a$$a$. Quest'applicazione è un epimorfismo e ha come nucleo $I$$I$.

Pensando ai gruppi additivi $\pi$$\pi$ può essere considerato come epimorfismo canonico.

Anche in questo caso $\pi$$\pi$ si definisce epimorfismo canonico di $A$$A$ sul quoziente.

Quindi il quoziente $A/I$$A/I$ per qualsiasi ideale $I$$I$ di $A$$A$ è epimorfo a $A$$A$.

Teorema fondamentale di epimorfismo per gli anelli

Dati due anelli $A,B$$A,B$ e un morfismo $f\colon A\to B$$f\colon A\to B$, se consideriamo il nucleo del morfismo esso è un ideale. Infatti, $\ker f$$\ker f$ è l'ìinsieme degli elementi che hanno come immagine $0_{B}$$0_{B}$. Rispetto alla relazione $r_{f}$$r_{f}$ che è la relazione di equivalenza associata a $f$$f$ come applicazione, il ker è un ideale: infatti, mediante la $r_{f}$$r_{f}$, gli elementi con la stessa immagine sono associati tra loro, siccome l'immagine di $0_{A}$$0_{A}$ è uguale a $0_{B}$$0_{B}$, allora il ker è l'insieme degli elementi associati a zero mediante $r_{f}$$r_{f}$, ed è il nucleo della congruenza $r_{f}$$r_{f}$, che è un ideale.

Possiamo dire che $r_{f}$$r_{f}$ è una congruenza perché se $aRf(a)$$aRf(a)$ e $bRf(b)$$bRf(b)$ allora $abRf(a)*f(b)=f(ab)$$abRf(a)*f(b)=f(ab)$.

Teorema (299)

Sia $f\colon A\to B$$f\colon A\to B$ un morfismo. Allora

1. Se $r_{f}$$r_{f}$ è la relazione di equivalenza associata a $f$$f$, questa relazione è una congruenza sull'anello $A$$A$ (compatibile

con somma e prodotto); $\ker f$$\ker f$ è la classe dello zero ed è un ideale di $A$$A$.

1. Se considero l'anello quoziente ${\frac {A}{\ker f}}$${\frac {A}{\ker f}}$ e considero l'epimorfismo canonico:

$$\pi \colon A\to {\frac {A}{\ker f}}$$

$$\pi \colon A\to {\frac {A}{\ker f}}$$

allora esiste ed è unica un'applicazione ${\bar {f}}$${\bar {f}}$ da ${\frac {A}{\ker f}}$${\frac {A}{\ker f}}$ a $B$$B$ tale che si possa fattorizzare $f$$f$ come ${\bar {f}}\circ \pi$${\bar {f}}\circ \pi$. ${\bar {f}}$${\bar {f}}$ è l'applicazione che porta un laterale $\ker f+a$$\ker f+a$ in $f(a)$$f(a)$.

1. ${\bar {f}}$${\bar {f}}$ è un monomorfismo (per la parte di questo teorema riguardante i gruppi), è un isomorfismo se e solo se $f$$f$ è suriettivo.

Il teorema fondamentale sui morfismi dice che se $B$$B$ è immagine epimorfa di $A$$A$, allora è isomorfa all'anello quoziente ${\frac {A}{\ker f}}$${\frac {A}{\ker f}}$.

 

Il caso degli interi

Se consideriamo l'anello degli interi $(\mathbb {Z} ,+,\cdot )$$(\mathbb {Z} ,+,\cdot )$, osserviamo che ogni sottogruppo di $(\mathbb {Z} ,+)$$(\mathbb {Z} ,+)$ è ciclico cioè ha la forma: $n\mathbb {Z} =nh,\,h\in \mathbb {Z}$$n\mathbb {Z} =nh,\,h\in \mathbb {Z}$.

Se $n=0$$n=0$ ho il sottogruppo del solo zero, se $n=\pm 1$$n=\pm 1$ ho tutto $\mathbb {Z}$$\mathbb {Z}$. Negli altri casi il sottogruppo è un ideale dell'anello $(\mathbb {Z} ,+,\cdot )$$(\mathbb {Z} ,+,\cdot )$. Infatti, preso un qualsiasi elemento $nh$$nh$ multiplo di $n$$n$, se lo moltiplico per un qualsiasi intero $z$$z$, esso è ancora un multiplo di $n$$n$. Quindi ogni sottogruppo ciclico di quella forma è ancora un ideale.

Gli ideali sono tutti e soli i sottogruppi ciclici di $\mathbb {Z}$$\mathbb {Z}$.

Poniamo $I=nz$$I=nz$. Allora se $n\neq 0$$n\neq 0$ o $n\neq \pm 1$$n\neq \pm 1$, l'anello quoziente ${\frac {\mathbb {Z} }{n\mathbb {Z} }}$${\frac {\mathbb {Z} }{n\mathbb {Z} }}$ con $i=n\mathbb {Z}$$i=n\mathbb {Z}$ è l'anello delle classi di resto modulo $n$$n$.

I laterali sono della forma $n\mathbb {Z} +a$$n\mathbb {Z} +a$ che è l'insieme di tutti gli elementi che differiscono da $a$$a$ per un multiplo di $n$$n$.

Se $n=0$$n=0$ il quoziente è isomorfo all'anello $\mathbb {Z}$$\mathbb {Z}$.

Se consideriamo il teorema fondamentale sui morfismi, siccome tutte e sole le immagini epimorfe sono a meno di isomorfismo i gruppi quoziente, allora tutte le immagini epimorfe di $\mathbb {Z}$$\mathbb {Z}$ sono $0$$0$, $\mathbb {Z}$$\mathbb {Z}$ e l'anello delle classi di resto modulo $n$$n$.

Caratteristica di un anello

Sia $A$$A$ un anello non banale, generico e definiamo l'applicazione

$$C\colon \mathbb {Z} \to A$$

$$C\colon \mathbb {Z} \to A$$

definita ponendo $f(z)=z*1_{A}$$f(z)=z*1_{A}$, cioè per ogni intero $z$$z$ si associa il multiplo secondo $z$$z$ dell'unità di $A$$A$. Questo è un morfismo di anelli.

Siano $z_{1},z_{2}$$z_{1},z_{2}$ due interi. $C$$C$ è un morfismo, infatti:

1. conserva la somma;

$$C(z_{1}+z_{2})=(z_{1}+z_{2})*1_{A}=z_{1}*1_{A}+z_{2}*1_{A}$$

$$C(z_{1}+z_{2})=(z_{1}+z_{2})*1_{A}=z_{1}*1_{A}+z_{2}*1_{A}$$

(l'immagine della somma è la somma delle immagini. Si dimostra applicando la proprietà delle potenze in versione additiva)

1. Conserva il prodotto:

$$C(z_{1}z_{2})=z_{1}z_{2}*1_{A}=z_{1}*(z_{2}*1_{A})=z_{1}*(1_{A}*z_{2}*1_{A})=z_{1}*1_{A}*z_{2}*1_{A}$$

$$C(z_{1}z_{2})=z_{1}z_{2}*1_{A}=z_{1}*(z_{2}*1_{A})=z_{1}*(1_{A}*z_{2}*1_{A})=z_{1}*1_{A}*z_{2}*1_{A}$$

Dipende dalla proprietà $n*(ab)=nab$$n*(ab)=nab$ e dalle proprietà delle potenze.

1. conserva l'unità: $g(1)=1_{A}$$g(1)=1_{A}$

Quindi $C$$C$ è un morfismo. La sua immagine è un sottonaello di $A$$A$. In questo caso il sottoanello che si ottiene è l'insieme dei multipli dell'unità.

Il nucleo di $C$$C$ è l'insieme $\{z\in \mathbb {Z} t.c.z*1_{A}=0_{A}\}$$\{z\in \mathbb {Z} t.c.z*1_{A}=0_{A}\}$ (in notazione additiva). Nel gruppo additivo dell'anello $A$$A$ l'insieme dei multipli di $a$$a$ equivale all'insieme delle potenze additive di $a$$a$.

Se $o(1_{A})=n$$o(1_{A})=n$ in $(A,+)$$(A,+)$ è finito, allora $\ker C=\{n*\mathbb {Z} \}$$\ker C=\{n*\mathbb {Z} \}$, cioè è l'ideale costituito dai multipli di $n$$n$.

Se invece $o(1_{A})=\infty$$o(1_{A})=\infty$ (nel gruppo additivo) allora non esiste $z\neq 0$$z\neq 0$ per cui $z*1_{A}=0$$z*1_{A}=0$ e quindi $\ker C=0$$\ker C=0$.

Nel primo caso per il teorema fondamentale sui morfismi, se $o(1_{A})\in (A,+)$$o(1_{A})\in (A,+)$ è uguale a $n$$n$ finito, allora ${\frac {\mathbb {Z} }{n\mathbb {Z} }}={\frac {\mathbb {Z} }{\ker C}}$${\frac {\mathbb {Z} }{n\mathbb {Z} }}={\frac {\mathbb {Z} }{\ker C}}$ (classi di resto modulo $n$$n$) è isomorfo all'immagine del morfismo $C$$C$, cioè ai multipli dell'unità.

Se invece $o(1_{A})$$o(1_{A})$ in $(A,+)$$(A,+)$ è infinito, si ha che l'immagine $C(\mathbb {Z} )$$C(\mathbb {Z} )$ è isomorfo a ${\frac {\mathbb {Z} }{\ker C}}={\frac {\mathbb {Z} }{0}}=\mathbb {Z}$${\frac {\mathbb {Z} }{\ker C}}={\frac {\mathbb {Z} }{0}}=\mathbb {Z}$.

Definizione (300 Caratteristica)

Se $o(1_{A})$$o(1_{A})$ in $(A,+)$$(A,+)$ è $n<\infty$$n<\infty$, diremo che $A$$A$ è un anello di caratteristica$n$$n$. Altrimenti se $o(1_{A})=\infty$$o(1_{A})=\infty$, allora $A$$A$ ha caratteristica zero.

 

Se l'anello $A$$A$ è un dominio, allora ci sono due possibilità:

1. se $o(1_{A})=\infty$$o(1_{A})=\infty$ si ha un dominio di caratteristica $0$$0$, come $\mathbb {Z}$$\mathbb {Z}$
2. se $A$$A$ ha caratteristica finita, è isomorfo alle classi di resto modulo $n$$n$, ma l'insieme delle classi modulo $n$$n$

è privo di divisori dello zero se e solo se $n$$n$ è primo. Quindi in un dominio di caratteristica $n$$n$ il periodo dell'unità è necessariamente primo. $pa=p*1_{A}*a=0$$pa=p*1_{A}*a=0$ perché $p*1_{A}=0$$p*1_{A}=0$. Quindi in un campo di caratteristica $p$$p$, non solo l'unità ma anche ogni elemento diverso da $0$$0$ ha periodo $p$$p$.

Osservazione (301)

L'identità di Bézout vale in ogni dominio in cui ogni coppia di elementi ha un $M.C.D$$M.C.D$..