Ideali primi e massimali

Somma, prodotto e intersezione

Supponiamo di avere un anello $A$$A$ commutativo. Supponiamo che $I,J$$I,J$ siano ideali di $A$$A$, allora possiamo considerare

1. la somma, cioè

$$I+J=\{i+j,\,i\in I,\,j\in J\}$$

$$I+J=\{i+j,\,i\in I,\,j\in J\}$$

questo è un ideale (è chiuso rispetto alla differenza e rispetto al prodotto per elementi dell'anello). Esso è il più piccolo ideale che contiene $I,J$$I,J$.

1. l'intersezione insiemistica $I\cap J$$I\cap J$, che è un ideale di $A$$A$.
2. il prodotto di due ideali $IJ$$IJ$ è l'insieme

$$\left\{\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right\}$$

$$\left\{\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right\}$$

. (infatti non è detto che l'insieme di tutti i possibili prodotti sia chiuso rispetto alla somma).

Nota: Il prodotto così definito è contenuto nell'intersezione.

Ideale generato da un insieme

In generale, presa una qualsiasi famiglia di ideali, si può definire l'ideale generato dalla famiglia.

Definizione (302 Ideale generato da un insieme)

Sia $X=\{a_{1},a_{2},a_{n}\}$$X=\{a_{1},a_{2},a_{n}\}$ un insieme finito di elementi di $A$$A$. Allora si dice ideale generato dall'insieme $X$$X$ l'ideale $(a_{1})+(a_{2})+(a_{n})$$(a_{1})+(a_{2})+(a_{n})$.

 

Proposizione (303)

Sia $A$$A$ un anello, non necessariamente commutativo e $I$$I$ un ideale. Allora possiamo considerare l'anello quoziente $A/I$$A/I$. Il morfismo canonico $\pi \colon A\to A/I$$\pi \colon A\to A/I$ che ad ogni elemento associa il laterale $I+a$$I+a$ induce una biezione fra l'insieme degli ideali di $A$$A$ contenenti $I$$I$ e l'insieme degli ideali dell'anello quoziente $A/I$$A/I$.

 

Dimostrazione

Consideriamo per ogni ideale $J$$J$ contenente $I$$I$ l'immagine $\pi (J)$$\pi (J)$. Allora verifichiamo che $\pi (J)$$\pi (J)$ è un ideale di $A/I$$A/I$ contenente $I$$I$. Verifichiamo che $\pi (J)$$\pi (J)$ è chiusa rispetto alla differenza, cioè che

$$\forall j_{1},j_{2}\in J,\,\pi (j_{1})-\pi (j_{2})\in \pi (J)$$

$$\forall j_{1},j_{2}\in J,\,\pi (j_{1})-\pi (j_{2})\in \pi (J)$$

$$\pi (j_{1})-\pi (j_{2})=\pi (j_{1}-j_{2})$$

$$\pi (j_{1})-\pi (j_{2})=\pi (j_{1}-j_{2})$$

perché $\pi$$\pi$ è un morfismo.

Siccome un ideale è chiuso rispetto alla differenza, $j_{1}-j_{2}\in J$$j_{1}-j_{2}\in J$, cioè $\pi (j_{1}-j_{2})\in \pi (J)$$\pi (j_{1}-j_{2})\in \pi (J)$.

Inoltre devo verificare che per ogni $j\in J,a\in A$$j\in J,a\in A$, se moltiplico $(I+a)*\pi (j)$$(I+a)*\pi (j)$ ottengo ancora un elemento di $\pi (J)$$\pi (J)$ (chiusura rispetto al prodotto: gli $I+a$$I+a$ sono gli elementi dell'anello quoziente). Questo è vero perché per definizione di epimorfismo canonico $i+a=\pi (a)$$i+a=\pi (a)$ e quindi

$$(i+a)*\pi (j)=\pi (a)*\pi (j)=\pi (aj)$$

$$(i+a)*\pi (j)=\pi (a)*\pi (j)=\pi (aj)$$

e ottengo $\pi (aj)\in \pi (J)$$\pi (aj)\in \pi (J)$, perché siccome $J$$J$ è un ideale, $aj\in J$$aj\in J$.

La biezione richiesta dall'enunciato è l'applicazione ${\bar {\pi }}$${\bar {\pi }}$ che a ogni $J$$J$ associa la sua immagine $\pi (J)$$\pi (J)$ nell'epimorfismo canonico.

1. ${\bar {\pi }}$${\bar {\pi }}$ è iniettiva. Supponiamo che $J_{1},J_{2}$$J_{1},J_{2}$ siano due ideali contenenti $I$$I$ e supponiamo ${\bar {\pi }}(J_{1})={\bar {\pi }}(J_{2})$${\bar {\pi }}(J_{1})={\bar {\pi }}(J_{2})$. Questo significa che per ogni $j_{1}\in J_{1}$$j_{1}\in J_{1}$ esiste $j_{2}\in J_{2}$$j_{2}\in J_{2}$ tale che $i+j_{1}=i+j_{2}$$i+j_{1}=i+j_{2}$. Segue che se i due laterali coincidono, allora i due rappresentanti differiscono per un elemento di $I$$I$, quindi esiste $i\in I$$i\in I$ tale che $j_{1}=i+j_{2}$$j_{1}=i+j_{2}$.

$J_{2}$$J_2$ contiene $I$$I$, quindi $i\in J_{2}$$i\in J_{2}$. Ho la somma di due elementi di $J_{2}$$J_2$ che appartiene a $J_{2}$$J_2$. Quindi $J_{1}\subset J_{2}$$J_{1}\subset J_{2}$. Per simmetria, è vero che $J_{2}\subset J_{1}$$J_{2}\subset J_{1}$. Quindi $J_{1}=J_{2}$$J_{1}=J_{2}$. Se due ideali hanno la stessa immagine, allora coincidono.

1. ${\bar {\pi }}$${\bar {\pi }}$ è suriettiva. Sia ${\bar {J}}$${\bar {J}}$ un qualsiasi ideale di $A/I$$A/I$, allora devo mostrare che ha una preimmagine. Sia $G$$G$ l'insieme di

tutte le preimmagini $\pi ^{-1}({\bar {J}})$$\pi ^{-1}({\bar {J}})$ mediante l'epimorfismo canonico $\pi$$\pi$. Si verifica facilmente che $J$$J$ è un ideale di $A$$A$ (contenente $I$$I$). L'insieme di tutte le preimmagini dello zero dell'anello quoziente è $I$$I$. ${\bar {\pi }}(J)={\bar {J}}$${\bar {\pi }}(J)={\bar {J}}$. (la preimmagine di un ideale in un morfismo è un ideale)

Quindi ${\bar {\pi }}$${\bar {\pi }}$ è una biezione.

 

Notazione: Per comodità si scrive spesso ${\bar {\pi }}(J)=J/I$${\bar {\pi }}(J)=J/I$ ($J$$J$ è un ideale che contiene $I$$I$).

Teoremi di isomorfismo per gli anelli

Teorema (304)

Sia $A$$A$ un anello. Se $I$$I$ è un ideale di $A$$A$ e $J$$J$ un sottoanello di $A$$A$, allora la somma $I+J$$I+J$ è un sottoanello di $A$$A$. Siccome $0_{A}\in J$$0_{A}\in J$, l'intersezione $I\cap J$$I\cap J$ è un ideale di $J$$J$ e c'è un isomorfismo tra l'anello quoziente $(I+J)/I$$(I+J)/I$ e il quoziente $J/(I\cap J)$$J/(I\cap J)$.

 

Dimostrazione

Si consideri il morfismo dall'anello $J$$J$ all'anello quoziente $(I+J)/I$$(I+J)/I$ che ad ogni elemento $j\in J$$j\in J$ associa il laterale $I+j$$I+j$. Questa mappa è un epimorfismo, è suriettiva perché ogni elemento del quoziente $I+j$$I+j$ ha come preimmagine $j\in J$$j\in J$.

Il nucleo è

$$\ker f=\{j\in J\,t.c.\,f(j)=[0]\}=\{j\in J\,t.c.I+j=I\}$$

$$\ker f=\{j\in J\,t.c.\,f(j)=[0]\}=\{j\in J\,t.c.I+j=I\}$$

ed è fatto da tutti e soli gli elementi di $J$$J$ che stanno anche in $I$$I$, quindi se quoziento $J$$J$ rispetto al nucleo che è $I\cap J$$I\cap J$, ottengo un anello isomorfo a quello di arrivo, cioè $(I+J)/I$$(I+J)/I$.

 

Teorema (305)

Sia $I\subset J$$I\subset J$ e siano $I,J$$I,J$ ideali di $A$$A$. Allora ${\bar {\pi }}(J)=J/I$${\bar {\pi }}(J)=J/I$ è un ideale dell'anello quoziente $A/I$$A/I$ e il quoziente $(A/I)/(J/I)$$(A/I)/(J/I)$ è isomorfo all'anello quoziente $A/J$$A/J$ (posso semplificare per $I$$I$).

 

Dimostrazione

Considero la mappa che a ogni elemento di $A/I$$A/I$ associa l'elemento $J+a$$J+a$. Il nucleo è

$$\ker f=\{(I+a)\in A/It.c.f(I+a)=J\}=\{(I+a)t.c.a+J=J\}$$

$$\ker f=\{(I+a)\in A/It.c.f(I+a)=J\}=\{(I+a)t.c.a+J=J\}$$

e questo avviene quando $a\in J$$a\in J$. Quindi il nucleo è $J/I$$J/I$ e l'anello di arrivo è isomorfo all'anello di partenza quozientato per il nucleo.

 

Ideali primi e massimali

Definizione (306 Ideali primi e massimali)

Considero un anello commutativo $A$$A$ non banale. Sia $I\neq A$$I\neq A$ un ideale nell'anello $A$$A$.

1. $I$$I$ si dice primo se per $a,b\in A$$a,b\in A$, se il prodotto $a*b\in I$$a*b\in I$, allora $a\in I$$a\in I$ o $b\in I$$b\in I$.
2. $I$$I$ si dice massimale se la catena di inclusioni $I\subset J\subset A$$I\subset J\subset A$ con $J$$J$ ideale di $A$$A$ implica $J=I$$J=I$ o $J=A$$J=A$.

(in altre parole, non esiste nessun altro ideale dell'anello che contenga $I$$I$ e che sia diverso da $I$$I$ o da $A$$A$)

 

L'ideale nullo dell'anello $(0_{A})$$(0_{A})$ è primo se e solo se $A$$A$ è un dominio.

Proposizione (307)

Sia $A$$A$ un anello commutativo e $I\neq A$$I\neq A$ un ideale di $A$$A$. Allora

1. l'ideale $I$$I$ è primo se e solo se l'anello quoziente $A/I$$A/I$ è un dominio
2. $I$$I$ è massimale se e solo se $A/I$$A/I$ è un campo.

 

Dimostrazione

Siano $a,b\in A$$a,b\in A$.

L'asserzione $ab\in I$$ab\in I$ implica $a\in I\vee b\in I$$a\in I\vee b\in I$ è equivalente all'asserzione $(I+ab)=(I+a)(I+b)=I$$(I+ab)=(I+a)(I+b)=I$ implica $I+a=I$$I+a=I$ o $I+b=I$$I+b=I$. Siccome $0\in I$$0\in I$, la seconda asserzione dice che $A/I$$A/I$ è un dominio, cioè è privo di divisori dello zero.

Dire che $I$$I$ è massimale di $A$$A$ equivale a dire che non c'è nessun ideale $J$$J$ compreso tra $I$$I$ e $A$$A$ nella catena di inclusioni. Questo avviene se e solo se $A/I$$A/I$ è privo di ideali non banali (questo perché preso un ideale $J$$J$ che contiene $I$$I$, la sua immagine mediante $\pi$$\pi$ è un ideale di $A/I$$A/I$. Se $A/I$$A/I$ ha solo ideali banali, si ha che $J=A$$J=A$ o $J=I$$J=I$). Se $A$$A$ è un anello commutativo, allora è privo di ideali non banali se e solo se è un campo (per un corollario), cioè se è generato da un elemento unitario, quindi se e solo se $A/I$$A/I$ è un campo.

 

osservazioni sui fattori

In un dominio, $b\mid a$$b\mid a$ se e solo se esiste $c$$c$ tale che $a=bc$$a=bc$. $b$$b$ è un fattore banale se differisce da $a$$a$ per un elemento unitario $c$$c$, oppure se è lui stesso unitario.

Due fattori si dividono a vicenda se i due ideali principali coincidono.

Sia $D$$D$ un dominio. Dire che $b$$b$ è un fattore proprio non banale di un elemento $a$$a$ nel dominio equivale a dire che l'ideale principale $(a)$$(a)$ è contenuto propriamente nell'ideale principale generato da $(b)$$(b)$.

Domini a ideali principali

Definizione (308 Dominio a ideali principali)

Un dominio $D$$D$ si dice a ideali principali (PID) se e solo se ogni suo ideale è principale.

 

Proposizione (309)

Sia $D$$D$ un dominio a ideali principali.

1. Sia $a\in D,a\neq 0$$a\in D,a\neq 0$, $a$$a$ non unitario. L'ideale principale generato da un elemento $a$$a$ è primo se e solo se $a$$a$ è primo.
2. L'ideale $(a)$$(a)$ è massimale se e solo se $a$$a$ è irriducibile.

 

Dimostrazione

1. Basta applicare la definizione, infatti se $a$$a$ è un elemento non unitario, $(a)=a*x$$(a)=a*x$, con $x\in A$$x \in A$.

Se $a$$a$ è primo, si ha che ogni volta che $a\mid bc$$a\mid bc$, o $a\mid b$$a\mid b$ o $a\mid c$$a\mid c$. Segue immediatamente che se $bc\in (a)$$bc\in (a)$, allora $bc=ax$$bc=ax$ e $a\mid bc$$a\mid bc$. Allora $a\mid b$$a\mid b$ o $a\mid c$$a\mid c$ e quindi o $c\in (a)$$c\in (a)$ o $b\in (a)$$b\in (a)$, cioè $(a)$$(a)$ è primo. Viceversa, se $(a)$$(a)$ è primo, si ha che se $bc\in (a)$$bc\in (a)$, o $b\in (a)$$b\in (a)$ o $c\in A$$c\in A$, quindi $a\mid b\vee a\mid c$$a\mid b\vee a\mid c$, cioè $a$$a$ è primo.

1. Se l'elemento $a$$a$ è irriducibile, non ammette fattori non banali, e quindi non si può trovare un

fattore $b$$b$ tale che $b\mid a$$b\mid a$ e $(a)\subset (b)$$(a)\subset (b)$ diverso da $a$$a$.

 

m.c.m. e M.C.D.

Definizione (310 Massimo comun divisore)

Sia $D$$D$ un dominio e siano $a,b\in D$$a,b\in D$. Un elemento $d\in D$$d\in D$ si dice massimo comun divisore tra $a,b$$a,b$ se $c\mid a\,c\mid b$$c\mid a\,c\mid b$ e per ogni elemento $c$$c$ tale che $c\mid a$$c\mid a$ e $c\mid b$$c\mid b$, allora $c\mid d$$c\mid d$.

Non è detto che due elementi in un dominio abbiano sempre un $M.C.D.$$M.C.D.$.

 

Osservazione (311)

Se ho due massimi comun divisori, allora $d_{1}\mid d_{2}$$d_{1}\mid d_{2}$ e $d_{2}\mid d_{1}$$d_{2}\mid d_{1}$ quindi i due ideali coincidono, e questo implica che $d_{1}$$d_{1}$ e $d_{2}$$d_{2}$ differiscono per un elemento unitario.

Un $M.C.D.$$M.C.D.$ è unico a meno di un elemento unitario. Ad esempio, negli anelli dei polinomi gli elementi unitari sono le costanti, quindi due massimi comun divisori differiscono al più+ per una costante.

Un elemento $t\in D$$t\in D$ si dice minimo comune multiplo ($l.c.m.$$l.c.m.$) di $a,b$$a,b$ se $a\mid d$$a\mid d$ e $b\mid d$$b\mid d$ e per ogni $s\in D$$s\in D$ tale che $a\mid s$$a\mid s$ e $b\mid s$$b\mid s$, allora $d\mid s$$d\mid s$.

Condizione necessaria e sufficiente affinché $A[x]$$A[x]$ sia a ideali principali è che $A$$A$ sia un campo. $\mathbb {Z}$$\mathbb {Z}$ è un dominio a ideali principali.

 

Proposizione (312)

Sia $D$$D$ un dominio a ideali principali. Siano $a,b\in D$$a,b\in D$. Allora valgono le seguenti proprietà:

1. $(a)+(b)$$(a)+(b)$ (ideale generato da $a$$a$ e $b$$b$) è a sua volta principale,

cioè contiene un elemento $d$$d$ che genera l'intero ideale. $d=M.C.D(a,b)$$d=M.C.D(a,b)$. Quindi $d=xa+yb$$d=xa+yb$ e in ogni dominio a ideali principali vale l'identità di Bézout.

1. $(a)\cap (b)$$(a)\cap (b)$ è un ideale principale. Se $t$$t$ è un suo generatore, $t=l.c.m.(a,b)$$t=l.c.m.(a,b)$

 

Dimostrazione

Per il punto 1, esiste $d\in D$$d\in D$ tale che $(d)=(a)+(b)$$(d)=(a)+(b)$. Allora $a,b$$a,b$ appartengono a $(d)$$(d)$, ovvero $d\mid a$$d\mid a$ e $d\mid b$$d\mid b$. Inoltre, siccome $d\in (a)+(b)$$d\in (a)+(b)$, esistono $y,x\in D$$y,x\in D$ tali che $d=xa+yb$$d=xa+yb$. Se $c\mid a$$c\mid a$ e $c\mid b$$c\mid b$, allora $d=xec+yfc=(xe+yf)c$$d=xec+yfc=(xe+yf)c$, cioè $c\mid d$$c\mid d$. In particolare, vale la cosiddetta identità di Bézout.

Per il punto 2, esiste $t\in D$$t\in D$ tale che $(a)\cap (b)=(t)$$(a)\cap (b)=(t)$. Allora $t$$t$ dev'essere un multiplo sia di $a$$a$ che di $b$$b$, cioè $a\mid t$$a\mid t$, $b\mid t$$b\mid t$. Se $s$$s$ è tale che $a\mid s$$a\mid s$ e $b\mid s$$b\mid s$, allora $s\in (a)$$s\in (a)$ e $s\in (b)$$s\in (b)$ quindi $s\in (a)\cap (b)$$s\in (a)\cap (b)$. Siccome $(t)=(a)\cap (b)$$(t)=(a)\cap (b)$ allora $s\in (t)$$s\in (t)$ cioè $t\mid s$$t\mid s$. Quindi $t$$t$ è un $l.c.m.$$l.c.m.$.

 

Dato un anello commutativo $A$$A$ e presi due ideali $I$$I$ e $J$$J$, essi sono coprimi se la somma $I+J$$I+J$ è l'intero dominio. La somma è l'intero dominio quando $M.C.D.(a,b)$$M.C.D.(a,b)$ è unitario.

M.C.D. di una lista

Presi due elementi $a,b\in D$$a,b\in D$ si possono definire $M.C.D.$$M.C.D.$ e $l.c.m.$$l.c.m.$. Se considero l'ideale generato da $a$$a$ e $b$$b$, cioè $(a)+(b)$$(a)+(b)$ anch'esso è principale e se $d$$d$ è un suo generatore, $d=M.C.D.(a,b)$$d=M.C.D.(a,b)$. Per quanto riguarda $(a)\cap (b)$$(a)\cap (b)$, se $t$$t$ è un suo generatore, allora $t=l.c.m.(a,b)$$t=l.c.m.(a,b)$

Se considero $a_{1},a_{2},a_{s}\in D$$a_{1},a_{2},a_{s}\in D$ posso definire induttivamente $M.C.D.(a_{1},\dots ,a_{s})$$M.C.D.(a_{1},\dots ,a_{s})$. Similmente si definisce l'$l'c.m.$$l'c.m.$ di una lista $a_{1},\dots a_{s}$$a_{1},\dots a_{s}$ di elementi.

Se considero $(a_{1},a_{2},a_{s})=(a_{1})+(a_{2})+(a_{s})$$(a_{1},a_{2},a_{s})=(a_{1})+(a_{2})+(a_{s})$ esso è principale quindi è generato da $d$$d$ con $d=M.C.D.(a_{1},\dots ,a_{s})$$d=M.C.D.(a_{1},\dots ,a_{s})$. Analogamente, l'ideale $(a_{1})\cap (a_{2})\cap (a_{s})$$(a_{1})\cap (a_{2})\cap (a_{s})$ è un ideale principale generato da $t=l.c.m.(a_{1},\dots ,a_{s})$$t=l.c.m.(a_{1},\dots ,a_{s})$.