Supponiamo di avere un anello
commutativo. Supponiamo che
siano ideali di
, allora possiamo considerare
- la somma, cioè

questo è un ideale (è chiuso rispetto alla differenza e rispetto al prodotto per elementi dell'anello). Esso è il più piccolo ideale che contiene

.
- l'intersezione insiemistica
, che è un ideale di
.
- il prodotto di due ideali
è l'insieme

. (infatti non è detto che l'insieme di tutti i possibili prodotti sia chiuso rispetto alla somma).
Nota: Il prodotto così definito è contenuto nell'intersezione.
In generale, presa una qualsiasi famiglia di ideali, si può definire l'ideale generato dalla famiglia.
Definizione (302 Ideale generato da un insieme)
Sia
un insieme finito di elementi di
.
Allora si dice ideale generato dall'insieme
l'ideale
.
Proposizione (303)
Sia
un anello, non necessariamente commutativo e
un ideale. Allora possiamo considerare l'anello quoziente
.
Il morfismo canonico
che ad ogni elemento associa il laterale
induce una biezione fra
l'insieme degli ideali di
contenenti
e l'insieme degli ideali dell'anello quoziente
.
Dimostrazione
Consideriamo per ogni ideale
contenente
l'immagine
.
Allora verifichiamo che
è un ideale di
contenente
.
Verifichiamo che
è chiusa rispetto alla differenza, cioè che


perché

è un morfismo.
Siccome un ideale è chiuso rispetto alla differenza,
, cioè
.
Inoltre devo verificare che per ogni
, se moltiplico
ottengo ancora un elemento di
(chiusura
rispetto al prodotto: gli
sono gli elementi dell'anello quoziente). Questo è vero perché per definizione di epimorfismo canonico
e quindi

e ottengo

, perché siccome

è un ideale,

.
La biezione richiesta dall'enunciato è l'applicazione
che a ogni
associa la sua immagine
nell'epimorfismo canonico.
è iniettiva. Supponiamo che
siano due ideali contenenti
e supponiamo
. Questo significa che per ogni
esiste
tale che
. Segue che se i due laterali coincidono, allora i due rappresentanti differiscono per un elemento di
, quindi esiste
tale che
.
contiene
, quindi
. Ho la somma di due elementi di
che appartiene a
.
Quindi
. Per simmetria, è vero che
.
Quindi
. Se due ideali hanno la stessa immagine, allora coincidono.
è suriettiva. Sia
un qualsiasi ideale di
, allora devo mostrare che ha una preimmagine. Sia
l'insieme di
tutte le preimmagini
mediante l'epimorfismo canonico
. Si verifica facilmente che
è un ideale di
(contenente
). L'insieme di tutte le preimmagini dello zero dell'anello quoziente è
.
.
(la preimmagine di un ideale in un morfismo è un ideale)
Quindi
è una biezione.
Notazione: Per comodità si scrive spesso
(
è un ideale che contiene
).
Teorema (304)
Sia
un anello. Se
è un ideale di
e
un sottoanello di
, allora la somma
è un sottoanello di
.
Siccome
, l'intersezione
è un ideale di
e c'è un isomorfismo tra l'anello quoziente
e il quoziente
.
Dimostrazione
Si consideri il morfismo dall'anello
all'anello quoziente
che ad ogni elemento
associa
il laterale
. Questa mappa è un epimorfismo, è suriettiva perché ogni elemento del quoziente
ha come preimmagine
.
Il nucleo è
![{\displaystyle \ker f=\{j\in J\,t.c.\,f(j)=[0]\}=\{j\in J\,t.c.I+j=I\}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/874249ad0ff31143699f3f2d9a75c201be0ed196)
ed è fatto da tutti e soli gli elementi di

che stanno anche in

, quindi se quoziento

rispetto al nucleo
che è

, ottengo un anello isomorfo a quello di arrivo, cioè

.
Teorema (305)
Sia
e siano
ideali di
.
Allora
è un ideale dell'anello quoziente
e il quoziente
è isomorfo all'anello
quoziente
(posso semplificare per
).
Dimostrazione
Considero la mappa che a ogni elemento di
associa l'elemento
. Il nucleo è

e questo avviene quando

.
Quindi il nucleo è

e l'anello di arrivo è isomorfo all'anello di partenza quozientato per il nucleo.
Definizione (306 Ideali primi e massimali)
Considero un anello commutativo
non banale.
Sia
un ideale nell'anello
.
si dice primo se per
, se il prodotto
, allora
o
.
si dice massimale se la catena di inclusioni
con
ideale di
implica
o
.
(in altre parole, non esiste nessun altro ideale dell'anello che contenga
e che sia diverso da
o da
)
L'ideale nullo dell'anello
è primo se e solo se
è un dominio.
Proposizione (307)
Sia
un anello commutativo e
un ideale di
. Allora
- l'ideale
è primo se e solo se l'anello quoziente
è un dominio
è massimale se e solo se
è un campo.
Dimostrazione
Siano
.
L'asserzione
implica
è equivalente all'asserzione
implica
o
.
Siccome
, la seconda asserzione dice che
è un dominio, cioè è privo di divisori dello zero.
Dire che
è massimale di
equivale a dire che non c'è nessun ideale
compreso tra
e
nella catena di inclusioni.
Questo avviene se e solo se
è privo di ideali non banali (questo perché preso un ideale
che contiene
, la sua immagine mediante
è un ideale di
. Se
ha solo ideali banali, si ha che
o
).
Se
è un anello commutativo, allora è privo di ideali non banali se e solo se è un campo (per un corollario), cioè se è generato da un
elemento unitario, quindi se e solo se
è un campo.
In un dominio,
se e solo se esiste
tale che
.
è un fattore banale se differisce da
per un elemento unitario
, oppure se è lui stesso unitario.
Due fattori si dividono a vicenda se i due ideali principali coincidono.
Sia
un dominio. Dire che
è un fattore proprio non banale di un elemento
nel dominio
equivale a dire che l'ideale principale
è contenuto propriamente nell'ideale principale generato da
.
Definizione (308 Dominio a ideali principali)
Un dominio
si dice a ideali principali (PID) se e solo se ogni suo ideale è principale.
Proposizione (309)
Sia
un dominio a ideali principali.
- Sia
,
non unitario. L'ideale principale generato da un elemento
è primo se e solo se
è primo.
- L'ideale
è massimale se e solo se
è irriducibile.
Dimostrazione
- Basta applicare la definizione, infatti se
è un elemento non unitario,
, con
.
Se
è primo, si ha che ogni volta che
, o
o
.
Segue immediatamente che se
, allora
e
.
Allora
o
e quindi o
o
, cioè
è primo.
Viceversa, se
è primo, si ha che se
, o
o
, quindi
, cioè
è primo.
- Se l'elemento
è irriducibile, non ammette fattori non banali, e quindi non si può trovare un
fattore
tale che
e
diverso da
.
Definizione (310 Massimo comun divisore)
Sia
un dominio e siano
.
Un elemento
si dice massimo comun divisore tra
se
e per ogni elemento
tale che
e
, allora
.
Non è detto che due elementi in un dominio abbiano sempre un
.
Se ho due massimi comun divisori, allora
e
quindi i due ideali coincidono,
e questo implica che
e
differiscono per un elemento unitario.
Un
è unico a meno di un elemento unitario.
Ad esempio, negli anelli dei polinomi gli elementi unitari sono le costanti, quindi due massimi comun divisori differiscono al più+ per una costante.
Un elemento
si dice minimo comune multiplo (
) di
se
e
e
per ogni
tale che
e
, allora
.
Condizione necessaria e sufficiente affinché
sia a ideali principali è che
sia un campo.
è un dominio a ideali principali.
Proposizione (312)
Sia
un dominio a ideali principali. Siano
. Allora valgono le seguenti proprietà:
(ideale generato da
e
) è a sua volta principale,
cioè contiene un elemento
che genera l'intero ideale.
.
Quindi
e in ogni dominio a ideali principali vale l'identità di Bézout.
è un ideale principale. Se
è un suo generatore, 
Dimostrazione
Per il punto 1, esiste
tale che
.
Allora
appartengono a
, ovvero
e
. Inoltre, siccome
,
esistono
tali che
. Se
e
, allora
, cioè
.
In particolare, vale la cosiddetta identità di Bézout.
Per il punto 2, esiste
tale che
.
Allora
dev'essere un multiplo sia di
che di
, cioè
,
.
Se
è tale che
e
, allora
e
quindi
. Siccome
allora
cioè
. Quindi
è un
.
Dato un anello commutativo
e presi due ideali
e
, essi sono coprimi se la somma
è l'intero dominio.
La somma è l'intero dominio quando
è unitario.
Presi due elementi
si possono definire
e
.
Se considero l'ideale generato da
e
, cioè
anch'esso è principale e se
è un suo generatore,
.
Per quanto riguarda
, se
è un suo generatore, allora
Se considero
posso definire induttivamente
.
Similmente si definisce l'
di una lista
di elementi.
Se considero
esso è principale quindi è generato da
con
.
Analogamente, l'ideale
è un ideale principale generato da
.