Corpo dei quaternioni

Corpo finito non commutativo[modifica | modifica wikitesto]

Teorema (278 di Weidtreurn)

Ogni corpo finito è un campo, cioè in ogni corpo finito il prodotto è necessariamente commutativo.

 



Un esempio di corpo infinito e con prodotto non commutativo fu dato da Hamilton ed è costituito dal corpo dei quaternioni reali.


Considero l'inzieme :

sono simboli. Due espressioni di si ritengono coincidenti se e solo se hanno i coefficienti uguali nello stesso ordine.

Somma e prodotto[modifica | modifica wikitesto]

Siano

Definizione (279 Somma di quaternioni reali)

Definiamo la somma in nel modo seguente:

Il primo coefficiente è un reale.


sono le unità dei quaternioni.

 
Definizione (280 Prodotto di quaternioni reali)

Si definisce il prodotto in nel modo seguente:

Tale prodotto è determinato da somma e prodotto dell'insieme dei numeri reali , dall'uso delle proprietà distributive e dalle "tavole di moltiplicazione" delle unità:

 


Con queste operazioni si può verificare che è un anello non commutativo, infinito, in cui ogni espressione formale tranne quella identicamente nulla ha un'inversa in . E' un corpo ma non un campo.

Isomorfismo tra H e Mat(2, C )[modifica | modifica wikitesto]

Sia il sottoinsieme dell'anello . Consideriamo il sottoinsieme costituito da tutte e sole le matrici della forma:

dove variano in tutto il campo complesso.


Si verifica facilmente che questo è un sottoanello di .


La matrice identica è di questo tipo e anche il prodotto e l'inverso appartengono ancora al gruppo.


sono numeri complessi. Poniamo e . Consideriamo le matrici di :

Facendo i conti si ha che la matrice
è uguale a . Possiamo quindi identificare questa matrice con l'espressione formale e riconoscere che previa tale identificazione il prodotto e la somma definiti nell'insieme delle espressioni formali coincidono con la somma e il prodotto righe per colonne nell'anello . In altre parole, è isomorfo come anello a , quindi l'anello non commutativo può essere rappresentato con l'anello delle matrici a elementi complessi.

Inversi[modifica | modifica wikitesto]

Sia ora

un elemento di e calcoliamo il determinante di .
(infatti moltiplicando un numero complesso per il suo coniugato si ottiene il modulo al quadrato) Il determinante è una somma di quadrati di numeri reali che è strettamente positiva tranne nel caso in cui tutti i coefficienti sono uguali a , quindi se non è la matrice nulla.


L'inversa esiste perché per ogni matrice in della forma considerata, diversa dalla matrice nulla.


Calcolando l'inversa si ottiene ancora una matrice di questo tipo di .


Si conclude che e quindi anche è un corpo (perché ogni elemento è unitario) non commutativo (il prodotto in definito come sopra non è commutativo) e quindi non è un campo.

Osservazioni[modifica | modifica wikitesto]

Si può anche definite il prodotto di uno scalare per , cioè . Unendo la somma e il prodotto esterno si ottiene uno spazio vettoriale di dimensione sui reali. Se è definito per ogni reale, esso è legato al prodotto, perché .


Si definisce algebra una struttura con tre operazioni (somma, prodotto, prodotto esterno) che è uno spazio vettoriale rispetto a somma e prodotto esterno e un anello rispetto a somma e prodotto e con le proprietà formali definite sopra.


Quella dei quaternioni è un'algebra quattrodimensionale associativa sui reali. I reali considerati come sottoinsieme di quest'algebra commutano con tutte le espressioni formali, cioè stanno nel centro dell'algebra.


In questa rappresentazione si può anche vedere come uno spazio vettoriale 2-dimensionale sui complessi

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