La precessione di Larmor

L'effetto Larmor, noto anche come precessione di Larmor, è un modello classico che studia il moto di precessione degli atomi attorno la direzione di un campo esterno, è comune a tutti i materiali ed è spiegabile in tanti modi diversi, tutti sbagliati in quanto il processo è un fenomeno strettamente quantistico. Come abbiamo visto nella scorsa sezione, se consideriamo gli atomi come stupide trottole composte da un solo elettrone che circola ignorando tutto il resto sempre nello stesso modo e sullo stesso piano, allora questi avranno un loro momento di dipolo magnetico approssimabile . Vediamo due diversi modi di osservare l'effetto Larmor.

Un primo metodo, il più sbagliato

Fig. 7.10 A e B

Facciamo tutti i riferimenti alla figura 7.10, per ora la figura A. Come vediamo, l'atomo ha una corrente microscopica, e l'elettrone circola in senso inverso; possiamo esprimere in un modo molto particolare il momento di dipolo dell'atomo:

Moltiplicando e dividendo per la massa dell'elettrone, ricordando la definizione di quantità di moto , abbiamo:

Dove è il momento angolare dell'elettrone: infatti, quantità di moto e raggio atomico sono sempre perpendicolari (considerata l'orbita circolare) e, poiché la velocità degli elettroni è opposta al verso della corrente, il momento angolare avrà il verso opposto del momento di dipolo dell'atomo (figura 7.10 A). Nota: se a questo valore ci aggiungiamo classicamente il momento angolare di spin dell'elettrone, otteniamo esattamente zero.

Se a questo punto inseriamo un campo magnetico esterno nella stessa direzione del momento angolare, l'elettrone aumenterà la sua velocità sotto l'effetto della forza di Lorentz; la prima cosa che abbiamo detto riguardo la forza di Lorentz è che questa non compie lavoro, quindi il modulo della velocità resta costante, aumentando il raggio della particella. Negli atomi però, per come li stiamo trattando noi, il raggio resta costante, quindi la velocità deve aumentare (se qualcosa nella vostra mente scricchiola è proprio perché questo metodo ha tutti i limiti del caso). L'equilibrio delle forze prima del campo esterno vede solo forza di Coulomb e forza centripeta:

Quando inseriamo il campo esterno agisce la forza di Lorentz, che si aggiunge al bilancio energetico:

Osserviamo che la velocità dopo è maggiore di quella precedente, ; allora la forza di Lorentz può essere uguagliata alla forza centripeta aumentata:

La variazione di velocità è quindi proporzionale al campo locale:

Ricordando che il momento di dipolo dell'atomo è scrivibile come , la variazione di momento di dipolo sarà:

Proporzionale al campo locale e positiva, quindi il momento di dipolo magnetico aumenta quando inseriamo un campo esterno, quindi è concorde con quanto abbiamo detto nella prima parte del capitolo.

Il metodo classico, meno sbagliato ma sempre sbagliato

Sempre facendo affidamento alla figura 7.10 A, ricordiamo che l'elettrone ha un momento angolare opposto rispetto al momento di dipolo; il momento angolare può essere espresso come (ricordando che quantità di moto e raggio sono perpendicolari):

Come abbiamo visto nel caso precedente, i due sono relazionati da ; questo momento di dipolo viene di solito chiamato magnetone di Bohr, mentre la costante di rapporto tra i due è chiamata rapporto giroscopico.

A questo punto, inseriamo un campo magnetico lungo l'asse ; il momento di dipolo subisce un momento meccanico che tende a farlo allineare col campo esterno. Questo momento meccanico corrisponde a un'accelerazione angolare legata al momento angolare dalla seconda equazione cardinale della meccanica:

Osserviamo che è perpendicolare al versore del momento angolare; queste formule valgono ovviamente nel regime delle piccole oscillazioni, dove sia che sono imperturbati e il campo locale ha piccoli effetti sul sistema.

Ricordiamo che la derivata di un vettore può essere scritta come:

Poiché, come abbiamo visto, il momento della forza è perpendicolare al momento angolare, la componente parallela al campo magnetico del momento angolare resta costante; in particolare, il suo modulo non cambia, ma cambia solo la direzione. Questa è proprio la definizione di moto di precessione, come per esempio quello delle trottole. Allora, possiamo esprimere questo in termini di una velocità angolare:

Oltre a essere perpendicolare al versore del momento angolare, è anche perpendicolare al campo locale , quindi ancora una volta confermiamo che , la componente lungo l'asse del campo resta costante.

Possiamo a questo punto calcolare la velocità angolare di precessione; uguagliando un po' di formule scritte qua e là:

Da cui otteniamo l'espressione della pulsazione del moto di precessione, pari a:

Questa rotazione è nella direzione del campo esterno, quindi è presente un'altra corrente che si aggiunge alla corrente atomica (nella figura 7.10 B è in rosa). Le due correnti sono concordi tra loro (attenzione, in figura sembrerebbe di no; ricordiamo che il verso degli elettroni è opposto a quello della corrente , quindi le due correnti in considerazione sono concordi tra loro). Inoltre, come abbiamo anticipato, la corrente di Larmor che viene così generata è molto più piccola di quella atomica; allo stesso modo, la pulsazione di Larmor è molto più piccola della velocità angolare iniziale dell'elettrone, il che ci da un limite sul campo esterno da inserire affinché le nostre approssimazione di piccole oscillazioni abbiano senso:

Poiché nella realtà ottenere dei campi già dell'ordine di un tesla richiede accurate attrezzature, e quindi campi simili forse vengono raggiunti in particolari configurazioni astronomiche (come le stelle di neutroni), possiamo stare tranquilli che la nostra trattazione, per quanto sbagliata, abbia ancora un po' di senso.

Possiamo anche questa volta esprimere il momento magnetico che viene a crearsi; l'espressione della corrente di Larmor è:

Da questa ricaviamo il momento magnetico di dipolo di Larmor:

Dove è il raggio medio descritto dal momento angolare; in condizioni di isotropia vale , quindi ; otteniamo:

È molto simile al valore ottenuto col metodo precedente (c'è un 6 al denominatore dove prima c'era un 4), quindi i due metodi sono equivalenti. Questo processo spiega quindi cioè che avviene in tutte le sostanze quando sono immerse in un campo magnetico esterno, in particolare spiega esattamente ciò che avviene nei diamagneti dove non è presente l'orientamento dei dipoli. Si formerà quindi una magnetizzazione macroscopica dovuta all'effetto Larmor, che possiamo anche esprimere come:

Con una costante del materiale; sfruttando la relazione di Lorentz:

Andando a sostituire i valori, otteniamo , ed è negativa, quindi ci troviamo esattamente nel caso che abbiamo descritto macroscopicamente.

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