La seconda equazione di Maxwell e il potenziale vettore

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==La divergenza del campo di induzione magnetica==
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Passiamo, dopo aver osservato la formula generale per poter calcolare un campo magnetico, a studiarne le proprietà. In virtù del teorema di Helmotz, seguendo lo stesso approccio adottato in elettrostatica, studiamo rotore e divergenza di <math>\mathbf{B}</math>. Abbiamo già discusso nell'introduzione alla magnetostatica del perché deve essere <math>\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{B}=0</math>: non esistendo ''sperimentalmente'' cariche magnetiche puntiformi e isolate, saremo in presenza di linee di forza chiuse; poiché la teoria '''deve''' essere in accordo con i dati sperimentali, altrimenti è mera digressione matematica, questo sta a significare che, presa una qualsiasi superficie chiusa, il numero di linee di forza entranti del campo di induzione magnetica è uguale al numero di linee di forza uscenti, quindi il flusso è nullo. Applicando il teorema della divergenza, ne concludiamo quindi che <math>\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{B} =0</math>.
  
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Che tutto questo abbia senso, è indubbio. Dobbiamo solo vedere se questo è concorde con l'espressione del campo che abbiamo finora utilizzato, ovvero che se calcoliamo la divergenza del campo di induzione, espresso secondo la prima legge di Laplace, allora otteniamo davvero il valore nullo. Dobbiamo quindi calcolarlo esplicitamente:
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<math display="block">
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\begin{align}
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\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{B} = &\mathbf{\nabla} \cdot \left( \frac{\mu_0 }{4 \pi} \oint_{l'} I \frac{d \mathbf{l} ' \times \Delta \mathbf{r}}{|\Delta \mathbf{r}|^3} \right) = \\
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&\frac{\mu_0 I}{4 \pi} \mathbf{\nabla} \cdot \oint_{l'} \frac{d \mathbf{l} ' \times \Delta \mathbf{r}}{|\Delta \mathbf{r}|^3}
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\end{align}
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</math>
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Nel secondo passaggio abbiamo supposto essere la corrente stazionaria. A questo punto, osserviamo che l'integrale e la divergenza agiscono su variabili diverse (l'integrale sulle variabili ''primate'', mentre la divergenza sulle variabili pure), possiamo portare la divergenza sotto il segno di integrale:
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<math display="block"> \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{B} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi} \oint_{l'} \mathbf{\nabla} \cdot \frac{d \mathbf{l} ' \times \Delta \mathbf{r}}{|\Delta \mathbf{r}|^3} </math>
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A questo punto, sfruttiamo la relazione:
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&\mathbf{\nabla} \cdot ( \mathbf{u} \times \mathbf{v} ) = (\mathbf{\nabla} \times \mathbf{u}) \cdot \mathbf{v} - \mathbf{u} ( \mathbf{\nabla} \times \mathbf{v} ) \\
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&\mathbf{\nabla} \cdot \frac{d \mathbf{l} ' \times \Delta \mathbf{r}}{|\Delta \mathbf{r}|^3} = (\mathbf{\nabla} \times d \mathbf{l}' ) \cdot \frac{\Delta \mathbf{r}}{|\Delta \mathbf{r}|^3} - d \mathbf{l}' \cdot \left( \mathbf{\nabla} \times \frac{\Delta \mathbf{r}}{|\Delta \mathbf{r}|^3} \right)
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\end{align}
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Osserviamo che il primo fattore della somma presenta un <math>\mathbf{\nabla} \times d \mathbf{l}'</math>: poiché <math>d\mathbf{l}'</math> dipende solo dalle variabili primate, mentre il nabla agisce sulle variabili pure, questo darà contributo zero. Allo stesso tempo, però, il secondo fattore presenta un <math>\mathbf{\nabla} \times \frac{\Delta \mathbf{r}}{|\Delta \mathbf{r}|^3} = \mathbf{\nabla} \times \mathbf{\nabla} \left( \frac{1}{|\Delta \mathbf{r}|} \right) </math>: il rotore di un gradiente è sempre nullo. Quindi, possiamo scrivere '''la seconda equazione di Maxwell''' senza più esitazioni:
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<math display="block"> \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{B} = 0</math>
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Abbiamo appena visto che questa è concorde con l'espressione del campo dataci dalla legge di Laplace; come vedremo, questa continuerà a valere ''sempre'', sia in caso statico che dinamico. Come abbiamo già detto, inoltre, questa segue (o da questa può seguire) dal flusso nullo attraverso qualsiasi superficie chiusa.
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==Il potenziale vettore==

Versione delle 12:32, 13 mag 2017

La divergenza del campo di induzione magnetica

Passiamo, dopo aver osservato la formula generale per poter calcolare un campo magnetico, a studiarne le proprietà. In virtù del teorema di Helmotz, seguendo lo stesso approccio adottato in elettrostatica, studiamo rotore e divergenza di . Abbiamo già discusso nell'introduzione alla magnetostatica del perché deve essere : non esistendo sperimentalmente cariche magnetiche puntiformi e isolate, saremo in presenza di linee di forza chiuse; poiché la teoria deve essere in accordo con i dati sperimentali, altrimenti è mera digressione matematica, questo sta a significare che, presa una qualsiasi superficie chiusa, il numero di linee di forza entranti del campo di induzione magnetica è uguale al numero di linee di forza uscenti, quindi il flusso è nullo. Applicando il teorema della divergenza, ne concludiamo quindi che .

Che tutto questo abbia senso, è indubbio. Dobbiamo solo vedere se questo è concorde con l'espressione del campo che abbiamo finora utilizzato, ovvero che se calcoliamo la divergenza del campo di induzione, espresso secondo la prima legge di Laplace, allora otteniamo davvero il valore nullo. Dobbiamo quindi calcolarlo esplicitamente:

Nel secondo passaggio abbiamo supposto essere la corrente stazionaria. A questo punto, osserviamo che l'integrale e la divergenza agiscono su variabili diverse (l'integrale sulle variabili primate, mentre la divergenza sulle variabili pure), possiamo portare la divergenza sotto il segno di integrale:

A questo punto, sfruttiamo la relazione:

Osserviamo che il primo fattore della somma presenta un : poiché dipende solo dalle variabili primate, mentre il nabla agisce sulle variabili pure, questo darà contributo zero. Allo stesso tempo, però, il secondo fattore presenta un : il rotore di un gradiente è sempre nullo. Quindi, possiamo scrivere la seconda equazione di Maxwell senza più esitazioni:

Abbiamo appena visto che questa è concorde con l'espressione del campo dataci dalla legge di Laplace; come vedremo, questa continuerà a valere sempre, sia in caso statico che dinamico. Come abbiamo già detto, inoltre, questa segue (o da questa può seguire) dal flusso nullo attraverso qualsiasi superficie chiusa.

Il potenziale vettore

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