La quarta equazione di Maxwell e il teorema di circuitazione di Ampere

Passiamo quindi a calcolare il rotore di , ovvero la quarta equazione di Maxwell; prima di discutere il calcolo, ragioniamo su ciò che abbiamo: la divergenza è nulla. Ne concludiamo che il rotore deve necessariamente essere diverso da zero, altrimenti avremmo a che fare o con un campo idiota o con un campo inesprimibile, introvabile (e quindi inesistente) che però ha effetti sperimentali sugli oggetti. Se fosse, infatti, anche il rotore nullo, non potremmo ne dire cosa e dove sono le sorgenti del campo ma neanche studiarne le proprietà, che però abbiamo e stiamo continuando a fare (trovandoci nella scomoda posizione di costruire un tetto per una casa che non esiste).

Per quanto possa sembrare strano, ci sono tanti modi diversi per calcolare il rotore di . Ne vediamo due: il primo è un calcolo diretto, usando la formula di Laplace, il secondo sfrutta il potenziale vettore, un po' più articolato ma, generalmente, più utilizzato.

Calcolo diretto del rotore

Partiamo dalla formula di Laplace espressa in termini di densità di corrente elettrica:

Calcoliamo esplicitamente il rotore. Saltiamo un passaggio, portando l'operatore rotore sotto il segno di integrale sempre per la solita storia che agiscono su variabili diverse, ci troveremo a dover quindi calcolare:

Usando la nota espressione per il doppio prodotto vettoriale , possiamo scrivere:

Il secondo termine è nullo perché l'operatore nabla agisce su variabili pure, mentre la densità di corrente dipende dalle variabili primate. Per quanto riguarda il primo termine, osserviamo che:

Quindi, ricordando la definizione di delta di Dirac, osserviamo che è proprio la delta di Dirac, e vale quindi:

Riportando tutto sotto il segno di integrale, otteniamo:

Questa è la quarta equazione di Maxwell nel caso statico.

Calcolo del rotore sfruttando il potenziale vettore

 PrecedenteSuccessivo