La quarta equazione di Maxwell e il teorema di circuitazione di Ampere

Riga 31: Riga 31:
  
 
==Calcolo del rotore sfruttando il potenziale vettore==
 
==Calcolo del rotore sfruttando il potenziale vettore==
 +
Possiamo scrivere <math>\mathbf{B } = \mathbf{\nabla} \times \mathbf{A}</math>, quindi per calcolare il rotore dovremo calcolare ''il rotore del rotore di <math>\mathbf{A}</math>'', ovvero:
 +
 +
<math display="block">\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} = \mathbf{\nabla} \times \mathbf{\nabla} \times \mathbf{A} = - \nabla^2 \mathbf{A} + \mathbf{\nabla} ( \mathbf{\nabla} \cdot mathbf{A} )<math>
 +
 +
Partiamo dalla divergenza di <math>\mathbf{A}</math>; possiamo calcolarla in due modi: un modo classico, ovvero procedere con i conti, oppure utilizzare un metodo ''moderno'', ovvero sfruttare delle particolari trasformazioni, chiamate '''trasformazione di gauge''': queste trasformazioni, largamente utilizzate nella teoria dell'interazione nucleare forte (che permettono uno sviluppo teorico molto elegante, semplice e soprattutto ''comodo''), sono trasformazioni tali da '''mantenere inalterata la lagrangiana di un sistema''': in pratica cambia il modo matematico con cui descriviamo la fisica, '''ma la fisica resta la stessa'''. Infatti, possiamo trasformare <math>\mathbf{A}</math> in un altro campo <math>\mathbf{A}'</math>, scrivendo <math>\mathbf{A}' = \mathbf{A} + \mathbf{\nabla} \phi</math>, dove <math>\phi</math> ''è un qualunque campo scalare a nostra discrezione''. Osserviamo che effettuando questa trasformazione il campo di induzione magnetica '''resta lo stesso''':
 +
 +
<math display="block"> \mathbf{B}' = \mathbf{\nabla} \times \mathbf{A}' = \mathbf{\nabla} \times \mathbf{A} + \mathbf{\nabla} \times ( \mathbf{\nabla} \phi) = \mathbf{\nabla} \times \mathbf{A} = \mathbf{B}</math>
 +
 +
Allora, se possiamo scegliere <math>\phi</math> a piacere, ne prendiamo uno tale che <math>\nabla^2 \phi = - \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{A}</math>. Perché questo? Perché se calcoliamo adesso la divergenza:
 +
 +
<math display="block"> \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{A}' = \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{A} + \nabla^2 \phi = \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{A} - \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{A} = 0</math>
 +
 +
Ovvero la divergenza del potenziale vettore è nulla. Poiché queste trasformazioni sembrano un po' un imbroglio, calcoliamola anche direttamente, per convincere chiunque. Sfruttando l'espressione del potenziale vettore trovata nella precedente sezione, ci troviamo a dover calcolare:
 +
 +
<math display="block"> \mathbf{\nabla} \cdot \left( \frac{\mu_0}{4 \pi} \int_{\tau'} \frac{\mathbf{J} ( \mathbf{r}' )}{|\Delta \mathbf{r}|} d \tau' \right) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int_{\tau'} \left( \mathbf{\nabla} \cdot \frac{\mathbf{J} ( \mathbf{r} ' )}{|\Delta \mathbf{r}|} \right) d \tau'</math>
 +
 +
Sfruttiamo la relazione:
 +
 +
<math display="block">
 +
\begin{align}
 +
&\mathbf{\nabla} \cdot (f \mathbf{v} ) = \mathbf{\nabla} f \cdot \mathbf{v} + f ( \mathbf{nabla} \cdot \mathbf{v} ) \\
 +
&\mathbf{\nabla} \cdot \left( \frac{\mathbf{J} ( \mathbf{r) ')}{|\Delta \mathbf{r}|} \right) = \mathbf{J} ( \mathbf{r} ') \cdot \mathbf{\nabla} \left( \frac{1}{|\Delta \mathbf{r}|} \right) + \frac{\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{J} ( \mathbf{r} ' )}{|\Delta \mathbf{r}|}
 +
\end{align}
 +
</math>
 +
 +
Il secondo termine è nullo perché operatore nabla e densità di corrente agiscono su variabili diverse. Sul primo membro possiamo invece osservare questo particolare:
 +
 +
<math display="block"> \mathbf{\nabla} \cdot \left( \frac{1}{|\Delta \mathbf{r}|} \right)= - \mathbf{\nabla} ' \cdot left( \frac{1}{|\Delta \mathbf{r}|} \right)</math>
 +
 +
Perché questo? Ricordiamo che <math>\Delta \mathbf{r} = \mathbf{r} - \mathbf{r}'</math>, quindi la divergenza sulle variabili pure è uguale alla divergenza sulle variabili primate a parte il segno meno, che ci si porta dietro proprio da questa differenza. Allora, passiamo tutto in divergenza primata:
 +
 +
<math display="block">\mathbf{\nabla}' \cdot \left(\frac{\mathbf{J} ( \mathbf{r) ')}{|\Delta \mathbf{r}|}\right) = \mathbf{J} ( \mathbf{r} ') \cdot \mathbf{\nabla}' \left(\frac{1}{|\Delta \mathbf{r}|}\right) + \frac{\mathbf{\nabla}' \cdot \mathbf{J} ( \mathbf{r} ' )}{|\Delta \mathbf{r}|}</math>

Versione delle 17:10, 13 mag 2017

Passiamo quindi a calcolare il rotore di , ovvero la quarta equazione di Maxwell; prima di discutere il calcolo, ragioniamo su ciò che abbiamo: la divergenza è nulla. Ne concludiamo che il rotore deve necessariamente essere diverso da zero, altrimenti avremmo a che fare o con un campo idiota o con un campo inesprimibile, introvabile (e quindi inesistente) che però ha effetti sperimentali sugli oggetti. Se fosse, infatti, anche il rotore nullo, non potremmo ne dire cosa e dove sono le sorgenti del campo ma neanche studiarne le proprietà, che però abbiamo e stiamo continuando a fare (trovandoci nella scomoda posizione di costruire un tetto per una casa che non esiste).

Per quanto possa sembrare strano, ci sono tanti modi diversi per calcolare il rotore di . Ne vediamo due: il primo è un calcolo diretto, usando la formula di Laplace, il secondo sfrutta il potenziale vettore, un po' più articolato ma, generalmente, più utilizzato.

Calcolo diretto del rotore

Partiamo dalla formula di Laplace espressa in termini di densità di corrente elettrica:

Calcoliamo esplicitamente il rotore. Saltiamo un passaggio, portando l'operatore rotore sotto il segno di integrale sempre per la solita storia che agiscono su variabili diverse, ci troveremo a dover quindi calcolare:

Usando la nota espressione per il doppio prodotto vettoriale , possiamo scrivere:

Il secondo termine è nullo perché l'operatore nabla agisce su variabili pure, mentre la densità di corrente dipende dalle variabili primate. Per quanto riguarda il primo termine, osserviamo che:

Quindi, ricordando la definizione di delta di Dirac, osserviamo che è proprio la delta di Dirac, e vale quindi:

Riportando tutto sotto il segno di integrale, otteniamo:

Questa è la quarta equazione di Maxwell nel caso statico.

Calcolo del rotore sfruttando il potenziale vettore

Possiamo scrivere , quindi per calcolare il rotore dovremo calcolare il rotore del rotore di , ovvero:

; possiamo calcolarla in due modi: un modo classico, ovvero procedere con i conti, oppure utilizzare un metodo moderno, ovvero sfruttare delle particolari trasformazioni, chiamate trasformazione di gauge: queste trasformazioni, largamente utilizzate nella teoria dell'interazione nucleare forte (che permettono uno sviluppo teorico molto elegante, semplice e soprattutto comodo), sono trasformazioni tali da mantenere inalterata la lagrangiana di un sistema: in pratica cambia il modo matematico con cui descriviamo la fisica, ma la fisica resta la stessa. Infatti, possiamo trasformare in un altro campo , scrivendo , dove è un qualunque campo scalare a nostra discrezione. Osserviamo che effettuando questa trasformazione il campo di induzione magnetica resta lo stesso:

Allora, se possiamo scegliere a piacere, ne prendiamo uno tale che . Perché questo? Perché se calcoliamo adesso la divergenza:

Ovvero la divergenza del potenziale vettore è nulla. Poiché queste trasformazioni sembrano un po' un imbroglio, calcoliamola anche direttamente, per convincere chiunque. Sfruttando l'espressione del potenziale vettore trovata nella precedente sezione, ci troviamo a dover calcolare:

Sfruttiamo la relazione:

Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{align}'): {\displaystyle \begin{align} &\mathbf{\nabla} \cdot (f \mathbf{v} ) = \mathbf{\nabla} f \cdot \mathbf{v} + f ( \mathbf{nabla} \cdot \mathbf{v} ) \\ &\mathbf{\nabla} \cdot \left( \frac{\mathbf{J} ( \mathbf{r) ')}{|\Delta \mathbf{r}|} \right) = \mathbf{J} ( \mathbf{r} ') \cdot \mathbf{\nabla} \left( \frac{1}{|\Delta \mathbf{r}|} \right) + \frac{\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{J} ( \mathbf{r} ' )}{|\Delta \mathbf{r}|} \end{align} }

Il secondo termine è nullo perché operatore nabla e densità di corrente agiscono su variabili diverse. Sul primo membro possiamo invece osservare questo particolare:

Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle \mathbf{\nabla} \cdot \left( \frac{1}{|\Delta \mathbf{r}|} \right)= - \mathbf{\nabla} ' \cdot left( \frac{1}{|\Delta \mathbf{r}|} \right)}

Perché questo? Ricordiamo che , quindi la divergenza sulle variabili pure è uguale alla divergenza sulle variabili primate a parte il segno meno, che ci si porta dietro proprio da questa differenza. Allora, passiamo tutto in divergenza primata:

Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle \mathbf{\nabla}' \cdot \left(\frac{\mathbf{J} ( \mathbf{r) ')}{|\Delta \mathbf{r}|}\right) = \mathbf{J} ( \mathbf{r} ') \cdot \mathbf{\nabla}' \left(\frac{1}{|\Delta \mathbf{r}|}\right) + \frac{\mathbf{\nabla}' \cdot \mathbf{J} ( \mathbf{r} ' )}{|\Delta \mathbf{r}|}}

 PrecedenteSuccessivo