La quarta equazione di Maxwell e il teorema di circuitazione di Ampere

Passiamo quindi a calcolare il rotore di <math>\mathbf{B}</math>, ovvero '''la quarta equazione di Maxwell'''; prima di discutere il calcolo, ragioniamo su ciò che abbiamo: la divergenza è nulla. Ne concludiamo che '''il rotore deve necessariamente essere diverso da zero''', altrimenti avremmo a che fare o con un campo idiota o con un campo inesprimibile, introvabile (e quindi inesistente) che però ha effetti sperimentali sugli oggetti. Se fosse, infatti, anche il rotore nullo, non potremmo ne dire ''cosa e dove sono le sorgenti del campo'' ma neanche studiarne le proprietà, che però abbiamo e stiamo continuando a fare (trovandoci nella scomoda posizione di costruire un tetto per una casa che non esiste). 

Per quanto possa sembrare strano, ci sono tanti modi diversi per calcolare il rotore di <math>\mathbf{B}</math>. Ne vediamo due: il primo è un calcolo diretto, usando la formula di Laplace, il secondo sfrutta il potenziale vettore, un po' più articolato ma, generalmente, più utilizzato.

==Calcolo diretto del rotore==
Partiamo dalla formula di Laplace espressa in termini di densità di corrente elettrica:

<math display="block"> \mathbf{B} ( \mathbf{r} ) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int_{\tau'} \frac{\mathbf{J} ( \mathbf{r}' ) \times \Delta \mathbf{r}}{|\Delta \mathbf{r}|^3} d \tau'</math>

Calcoliamo esplicitamente il rotore. Saltiamo un passaggio, portando l'operatore rotore sotto il segno di integrale sempre per la solita storia che agiscono su variabili diverse, ci troveremo a dover quindi calcolare:

<math display="block"> \mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int_{\tau'} \mathbf{\nabla} \times \left(\mathbf{J} \times \frac{\Delta \mathbf{r}}{|\Delta \mathbf{r}|^3} \right)d\tau'</math>

Usando la nota espressione per il doppio prodotto vettoriale <math>\mathbf{a} \times \mathbf{b} \times \mathbf{c} = \mathbf{b}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c} ) - \mathbf{c} ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} ) </math>, possiamo scrivere:

<math display="block">  \mathbf{\nabla} \times \left(\mathbf{J} \times \frac{\Delta \mathbf{r}}{|\Delta \mathbf{r}|^3} \right) = \mathbf{J} ( \mathbf{r}' ) \left(\mathbf{\nabla} \cdot \frac{\Delta \mathbf{r}}{|\Delta \mathbf{r}|^3} \right) - \frac{\Delta \mathbf{r}}{|\Delta \mathbf{r}|^3} \left(\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{J} ( \mathbf{r}') \right)</math>

Il secondo termine è nullo perché l'operatore nabla agisce su variabili pure, mentre la densità di corrente dipende dalle variabili primate. Per quanto riguarda il primo termine, osserviamo che:

<math display="block"> \frac{\Delta \mathbf{r}}{|\Delta \mathbf{r}|^3} = - \mathbf{\nabla} \left(\frac{1}{|\Delta\mathbf{r}|} \right) = \frac{1}{|\Delta \mathbf{r}|^2} \hat{\Delta r}</math>

Quindi, ricordando la ''definizione di delta di Dirac'', osserviamo che <math> \mathbf{\nabla} \cdot \frac{\Delta \mathbf{r}}{|\Delta \mathbf{r}|^3} </math> è proprio la delta di Dirac, e vale quindi:

<math display="block"> \mathbf{J} ( \mathbf{r}' ) \left(\mathbf{\nabla} \cdot \frac{\Delta \mathbf{r}}{|\Delta \mathbf{r}|^3} \right) = \mathbf{J} ( \mathbf{r}') \, 4 \pi \delta^3 ( \mathbf{r} - \mathbf{r}' ) </math>

Riportando tutto sotto il segno di integrale, otteniamo:

<math display="block"> \mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int_{\tau'} \mathbf{J} ( \mathbf{r} ' ) \, 4 \pi \delta^3 ( \mathbf{r} - \mathbf{r}' ) d\tau' = \mu_0 \mathbf{J} ( \mathbf{r} )</math>

Questa è '''la quarta equazione di Maxwell''' nel caso statico.

==Calcolo del rotore sfruttando il potenziale vettore==
Possiamo scrivere <math>\mathbf{B } = \mathbf{\nabla} \times \mathbf{A}</math>, quindi per calcolare il rotore dovremo calcolare ''il rotore del rotore di <math>\mathbf{A}</math>'', ovvero:

<math display="block">\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} = \mathbf{\nabla} \times \mathbf{\nabla} \times \mathbf{A} = - \nabla^2 \mathbf{A} + \mathbf{\nabla} ( \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{A} )</math>

Partiamo dalla divergenza di <math>\mathbf{A}</math>; possiamo calcolarla in due modi: un modo classico, ovvero procedere con i conti, oppure utilizzare un metodo ''moderno'', ovvero sfruttare delle particolari trasformazioni, chiamate '''trasformazione di gauge''': queste trasformazioni, largamente utilizzate nella teoria dell'interazione nucleare forte (che permettono uno sviluppo teorico molto elegante, semplice e soprattutto ''comodo''), sono trasformazioni tali da '''mantenere inalterata la lagrangiana di un sistema''': in pratica cambia il modo matematico con cui descriviamo la fisica, '''ma la fisica resta la stessa'''. Infatti, possiamo trasformare <math>\mathbf{A}</math> in un altro campo <math>\mathbf{A}'</math>, scrivendo <math>\mathbf{A}' = \mathbf{A} + \mathbf{\nabla} \phi</math>, dove <math>\phi</math> ''è un qualunque campo scalare a nostra discrezione''. Osserviamo che effettuando questa trasformazione il campo di induzione magnetica '''resta lo stesso''':

<math display="block"> \mathbf{B}' = \mathbf{\nabla} \times \mathbf{A}' = \mathbf{\nabla} \times \mathbf{A} + \mathbf{\nabla} \times ( \mathbf{\nabla} \phi) = \mathbf{\nabla} \times \mathbf{A} = \mathbf{B}</math>

Allora, se possiamo scegliere <math>\phi</math> a piacere, ne prendiamo uno tale che <math>\nabla^2 \phi = - \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{A}</math>. Perché questo? Perché se calcoliamo adesso la divergenza:

<math display="block"> \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{A}' = \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{A} + \nabla^2 \phi = \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{A} - \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{A} = 0</math>

Ovvero la divergenza del potenziale vettore è nulla. Poiché queste trasformazioni sembrano un po' un imbroglio (non lo sono, la matematica può servire anche per il bene e per diminuire i calcoli, non solo per allungarli a dismisura), calcoliamola anche direttamente, per convincere chiunque. Sfruttando l'espressione del potenziale vettore trovata nella precedente sezione, ci troviamo a dover calcolare:

<math display="block"> \mathbf{\nabla} \cdot \left( \frac{\mu_0}{4 \pi} \int_{\tau'} \frac{\mathbf{J} ( \mathbf{r}' )}{|\Delta \mathbf{r}|} d \tau' \right) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int_{\tau'} \left( \mathbf{\nabla} \cdot \frac{\mathbf{J} ( \mathbf{r} ' )}{|\Delta \mathbf{r}|} \right) d \tau'</math>

Sfruttiamo la relazione:

<math display="block"> 
\begin{align}
&\mathbf{\nabla} \cdot (f \mathbf{v} ) = \mathbf{\nabla} f \cdot \mathbf{v} + f ( \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{v} ) \\
&\mathbf{\nabla} \cdot \left( \frac{\mathbf{J} ( \mathbf{r} ')}{|\Delta \mathbf{r}|} \right) = \mathbf{J} ( \mathbf{r} ') \cdot \mathbf{\nabla} \left( \frac{1}{|\Delta \mathbf{r}|} \right) + \frac{\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{J} ( \mathbf{r} ' )}{|\Delta \mathbf{r}|}
\end{align}
</math>

Il secondo termine è nullo perché operatore nabla e densità di corrente agiscono su variabili diverse. Sul primo membro possiamo invece osservare questo particolare:

<math display="block"> \mathbf{\nabla} \cdot \left( \frac{1}{|\Delta \mathbf{r}|} \right)= - \mathbf{\nabla} ' \cdot \left( \frac{1}{|\Delta \mathbf{r}|} \right)</math>

Perché questo? Ricordiamo che <math>\Delta \mathbf{r} = \mathbf{r} - \mathbf{r}'</math>, quindi la divergenza sulle variabili pure è uguale alla divergenza sulle variabili primate a parte il segno meno, che ci si porta dietro proprio da questa differenza. Allora, passiamo tutto in divergenza primata:

<math display="block">\mathbf{\nabla}' \cdot \left(\frac{\mathbf{J} ( \mathbf{r} ')}{|\Delta \mathbf{r}|}\right) = \mathbf{J} ( \mathbf{r} ') \cdot \mathbf{\nabla}' \left(\frac{1}{|\Delta \mathbf{r}|}\right) + \frac{\mathbf{\nabla}' \cdot \mathbf{J} ( \mathbf{r} ' )}{|\Delta \mathbf{r}|}</math>

Il secondo membro è ancora nullo '''perché ci troviamo in regime stazionario''', e vale quindi l'equazione di continuità secondo cui <math>\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{J} = 0</math>; poiché ora sia il nabla che la densità di corrente dipendono dalle stesse variabili, questa equazione ha senso essere nulla. Quindi, la divergenza del potenziale vettore può essere espressa come:

<math display="block"> \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{A} = - \frac{\mu_0}{4 \pi} \int_{\tau} \left(\mathbf{\nabla} ' \cdot \frac{\mathbf{J} (\mathbf{r}')}{|\Delta \mathbf{r}|} \right) d \tau'</math>

Questo ''lo trasformiamo in un integrale di superficie'' in virtù del teorema della divergenza:

<math display="block">\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{A} = - \frac{\mu_0}{4 \pi} \int_{S'} \frac{\mathbf{J} ( \mathbf{r}')}{|\Delta \mathbf{r}|} d S'</math>

Dove <math>S'</math> è il bordo del volume <math>\tau'</math>. Il volume <math>\tau'</math>, però, è il volume che contiene il circuito, '''qualsiasi circuito che contiene il circuito'''. Quindi se ne prendiamo uno anche solo leggermente più ampio del circuito, risulta essere sul suo bordo nulla la densità di corrente <math>\mathbf{J}</math>, quindi l'integrale di superficie sarà, di conseguenza '''sarà nulla la divergenza di <math>\mathbf{A}</math>'''.

Quindi, dobbiamo calcolare solo il laplaciano di <math>\mathbf{A}</math> per avere il rotore del campo di induzione magnetica. Ma questo ha una forma che abbiamo già visto poco fa:

<math display="block"> - \nabla^2 \left( \frac{\mu_0}{4 \pi} \int_{\tau'} \frac{\mathbf{J} ( \mathbf{r}' )}{|\Delta \mathbf{r}|} d \tau' \right) = - \frac{\mu_0}{4 \pi} \int_{\tau'} \nabla^2 \left(\frac{\mathbf{J} ( \mathbf{r}' )}{|\Delta \mathbf{r}|} \right) d \tau'</math>

Osservando che <math>\mathbf{J} ( \mathbf{r}' )</math> non dipende dalle variabili pure, questo può essere escluso dall'operatore laplaciano. In sintesi dobbiamo calcolare <math>\nabla^2 \left(\frac{1}{|\Delta \mathbf{r} |} \right)</math>, ma questo, come abbiamo già visto nel calcolo del rotore esplicito, corrisponde alla delta di Dirac. Quindi avremo:

<math display="block"> - \nabla^2 \mathbf{A} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int_{\tau'} \mathbf{J} ( \mathbf{r}') \, 4 \pi  \delta^3 ( \mathbf{r} - \mathbf{r}') d \tau' = \mu_0 \mathbf{J} ( \mathbf{r})</math>

Concordemente a quanto calcolato esplicitamente, quindi, la quarta equazione di Maxwell nel caso statico è:

<math display="block"> \mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}</math>

Come ci aspettavamo, non è nullo il rotore di <math>\mathbf{B}</math>, quindi ''non è conservativo''; inoltre, da questa ricaviamo anche un'informazione che già sapevano, dall'intuizione di Ampere, ma mancavamo di confermare: '''la corrente elettrica è la sorgente del campo magnetico di induzione'''. Inoltre, possiamo ricavare anche la stazionarietà della corrente da questa equazione, ovvero ricavare l'equazione di continuità: 

<math display="block"> \mathbf{\nabla} \cdot ( \mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} ) = \mu_0 \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{J} = 0</math>

Per i più accorti, risulterà evidente che, nel caso dinamico, ''questa legge non sarà più valida'': in un passaggio abbiamo infatti supposto essere la corrente stazionaria, quindi quando questa non lo sarà più, otterremo qualcosa di leggermente diverso.

==Il teorema di circuitazione di Ampere==